數(shù)列創(chuàng)新題追根溯源

■河南省平輿縣第一高級(jí)中學(xué) 楊國松

編者提醒：河南省平輿縣第一高級(jí)中學(xué)是全國中學(xué)名校，本刊本期特約該校的多位一線名師，詳細(xì)講解三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、不等式專題的考點(diǎn)、題型，精心命制核心考點(diǎn)演練試卷，盼讀者認(rèn)真讀一讀，練一練，能收獲滿滿喲!

近幾年，為了考查同學(xué)們?cè)谛碌膯栴}情景下知識(shí)的遷移、創(chuàng)新能力，各地的高考模擬題和高考試題中出現(xiàn)了不受大綱字句的約束，而所考查的內(nèi)容大體在高中數(shù)學(xué)范圍內(nèi)的問題，我們稱其為創(chuàng)新型問題。創(chuàng)新型試題編制的情景新穎，突出考查同學(xué)們靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，全面考查數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握和運(yùn)用情況，以及分析與解決問題的能力和思維的靈活性、深刻性、技巧性等，涉及的數(shù)學(xué)思想方法有從一般到特殊或從特殊到一般的思想、函數(shù)與方程的思想、探索性思想等。

例1定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M—數(shù)列”。

(1)已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足：a2a4=a5，a3-4a2+4a1=0，求證：數(shù)列{an}為“M—數(shù)列”。

(2)已知數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足：b1=1，其中S為數(shù)列的前n nn項(xiàng)和。

①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M—數(shù)列”{cn}(n∈N*)，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有ck≤bk≤ck+1成立，求m的最大值。

解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0。

因此數(shù)列{an}為“M—數(shù)列”。

由b1=1，S1=b1，得，則b2=2。

當(dāng)n≥2時(shí)，由bn=Sn-Sn-1，得bn=，整理得b+n+1bn-1=2bn。

所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列。

因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n(n∈N*)。

②由①知，bk=k，k∈N*。

因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M—數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q＞0。

因?yàn)閏k≤bk≤ck+1，所以qk-1≤k≤qk，其中k=1，2，3，…，m。

當(dāng)k=1時(shí)，有q≥1；

當(dāng)k=2，3，…，m時(shí)，有恒成立。

令f′(x)=0，得x=e。

所以f′(x)、f(x)在x∈(1，+∞)上的變化情況如表1所示。

因?yàn)?≤x≤m，所以h′(x)＜0，故h(x)在[3，m]上單調(diào)遞減。

所以t(m)在[3，+∞)上單調(diào)遞減。

所以m的最大值為5，此時(shí)q∈

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能力。

練習(xí)1：在m(m≥2)個(gè)不同數(shù)的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m時(shí)，Pi＞Pj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù))，則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序。一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)。記排列(n+1)n(n-1)…321的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)a1=1，排列321的逆序數(shù)a2=3，排列4321的逆序數(shù)a3=6。

(1)求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；

解析：利用逆序數(shù)的定義得到an的表達(dá)式。

(1)由已知得a4=10，a5=15，an=n+

綜上，2n＜b1+b2+…+bn＜2n+3，n=1，2，…。

點(diǎn)評(píng)：“新定義”主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解。但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶。

例2設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列。已知a1=4，b1=6，b2=2a2-2，b3=2a3+4。

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式。

(2)設(shè) 數(shù)列 {cn}滿 足c1=1，cn=其中k∈N*。

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q。

故an=4+(n-1)×3=3n+1，bn=6×2n-1=3×2n。

所以{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+1，{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3×2n。

=27×22n-1+5×2n-1-n-12(n∈N*)。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾榛瘹w與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)列求和的基本方法及運(yùn)算求解能力。

練習(xí)2：已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bnan-4。

(1)證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{anbn}是等差數(shù)列；

(2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式。

解析：(1)由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an

又因?yàn)閍1+b1=1，所以{an+bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。

由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8，即an+1-bn+1=an-bn+2。

又因?yàn)閍1-b1=1，所以{an-bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列。

例3在數(shù)列{an}中

(1)試比較anan+2與的大??；

解析：(1)由題設(shè)知，對(duì)任意n∈N*，都有an＞0。

當(dāng)n≥3時(shí)

所以an=a3+(a4-a3)+(a5-a4)+…

點(diǎn)評(píng)：此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法證明；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的；(4)數(shù)學(xué)歸納法。

練習(xí)3：已知斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段A B的中點(diǎn)為M(1，m)(m＞0)。

(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且證明成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差。

解析：(1)設(shè)，則，兩式相減，并由

(2)由題意得F(1，0)，設(shè)P(x3，y3)，則(x3-1，y3)+(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(0，0)。

由(1)及題設(shè)得x3=3-(x1+x2)=1，y3=-(y1+y2)=-2m＜0。

又點(diǎn)P在C上，所以，從而

設(shè)該數(shù)列的公差為d，由題意可得2|d|

所以l的方程為，代入C的方程，并整理得

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、等差數(shù)列的性質(zhì)，第(1)問利用點(diǎn)差法，設(shè)而不求可減小計(jì)算量，第(2)問由已知得到求出m得到直線方程很關(guān)鍵，考查了函數(shù)與方程的思想，還考查同學(xué)們的計(jì)算能力，難度較大。