認(rèn)識線性規(guī)劃問題 關(guān)鍵抓截距

對于線性規(guī)劃問題中的線性目標(biāo)函數(shù)：z=Ax+By(B≠0),如果把其中的z看成一個(gè)參數(shù),那么,線性目標(biāo)函數(shù)：z=Ax+By(B≠0)就是一個(gè)直線系方程,即該方程可以變形為,其中為斜率為截距。于是線性規(guī)劃問題中所要解決的z的最值問題就轉(zhuǎn)化為觀察直線系方程中的截距如何達(dá)到最值。當(dāng)然,要由截距的最值而獲得z的最值,其中B的正負(fù)必須明確。具體過程如下：

(1)當(dāng)B＞0時(shí),當(dāng)直線系經(jīng)過可行域上的點(diǎn)使其縱截距最大時(shí),由于此時(shí)B＞0,則相應(yīng)的z也取得最大值；反之,縱截距達(dá)到最小值時(shí),由于此時(shí)B＞0,則相應(yīng)的z也取得最小值。

(2)當(dāng)B＜0時(shí),與B＞0時(shí)情形正好相反。當(dāng)直線系經(jīng)過可行域上的點(diǎn)使其縱截距最大時(shí),由于此時(shí)B＜0,則相應(yīng)的z反而取得最小值；當(dāng)縱截距取得最小值時(shí),由于此時(shí)B＜0,則相應(yīng)的z反而取得最大值。

由此可見,當(dāng)我們要求解線性目標(biāo)函數(shù)：z=Ax+By(B≠0)中z的最值時(shí),首先,要明確的是其中B的正負(fù)；然后,把線性目標(biāo)函數(shù)：z=Ax+By(B≠0)轉(zhuǎn)化為斜截式形式的直線方程

例1已知實(shí)數(shù)x,y滿足若z=x+2y,則z的取值范圍為________。

解析：如圖1所示,為不等式組表示的可行域,解得點(diǎn)A(5,15)。

圖1

當(dāng)z=x+2y過點(diǎn)A(5,15)時(shí),z=x+2y取得最大值,zmax=5+30=35。

當(dāng)z=x+2y過點(diǎn)O(0,0)時(shí),z=x+2y取得最小值,zmin=0+0=0,故z的取值范圍為[0,35]。

點(diǎn)評：該題線性目標(biāo)函數(shù)z=x+2y中的B=2,于是截距就為故截距最大時(shí)z就最大,截距最小時(shí)z就最小。

例2已知實(shí)數(shù)x,y滿足線性目標(biāo)函數(shù)z=x-3y,則z的最小值是____。

解析：線性約束條件定義的可行域如圖2所示,當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)z=x-3y經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)時(shí),z取得最小值,zmin=2-3×3=-7。

圖2

點(diǎn)評：該題線性目標(biāo)函數(shù)z=x-3y中的B=-3＜0,截距就為-故截距最大時(shí)z就最小,截距最小時(shí)z就最大。