病原體毒性進化多樣性的動力學模型

原博

（山西工程職業(yè)學院，山西太原 030009）

生物上現(xiàn)在對于病原體毒性的適應性進化的一個比較合理的解釋是病原體毒性與病原體誘導的宿主死亡率之間存在一定的權(quán)衡關(guān)系，對于這種關(guān)系我們沒有具體的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，因此我們有必要建立一個具體的模型來研究病原體毒性的適應性進化的機制。利用臨界函數(shù)分析的方法來研究模型可能出現(xiàn)的進化效果。因此本文考慮宿主的出生率和自然死亡率都不依賴于種群密度的SI模型，利用進化入侵分析的方法研究單同態(tài)病原體毒性是否能夠產(chǎn)生進化分支，能夠產(chǎn)生進化分支前提下進一步是變成兩種具有不同毒性的病原體；還是進化到一個連續(xù)穩(wěn)定的策略而停下來。

1 病原體毒力的進化穩(wěn)定策略分析

1.1 死亡率不具有密度依賴的SI模型

本研究考慮這種由病原體誘發(fā)的傳染病會造成終身感染（即沒有恢復者R），宿主遷入率是常數(shù)，所有的新出生個體均為易感者，并且病原體只會水平傳播，不會垂直傳播（所有新出生個體均是無病的）。其中，S為易感者，I為帶有毒性α的病原體感染的感染者，單個感染者感染易感者的傳染率是與易感者的種群密度成正比即βS。

SI模型如下：

其中，b表示宿主的遷入率，m表示宿主的自然死亡率，v表示帶有毒性α的病原體的因病死亡率，β表示與病原體毒性α相關(guān)的傳染率。當毒性α增加時，相應的將會增加病原體的感染率β，但是同時也增加了因病死亡率v；假設因病死亡率v是毒性α的線性函數(shù)，不同的因病死亡率表示具有不同毒性的病原體，反之亦然。因此不失一般性，令v=α，所以β(α)可以看作β(v)。并且注意到傳染率是不可能無限增加的，當病原體毒性v很大時，β(v)接近飽和。因此，得到β(v)是關(guān)于v的一個單調(diào)增加且并具有飽和狀態(tài)的函數(shù)，此時SI模型就簡化如下：

其中β'(v)＞0。

當條件

1.2 模型（2）正平衡點的穩(wěn)定性分析

經(jīng)過計算雅可比矩陣Jres的特征值的實部均為-bβ(v)/2(m+v)。

1.3 突變病原體的入侵適合度

下面推導帶有變異病原體的種群動力學模型。當突變很稀少并且突變很小的時候，進一步假設不存在交叉感染的情況（一旦易感者宿主被一種病原體感染以后就不會被另一種病原體感染）。因此，由易感者宿主S，帶有毒性v的病原體感染的感染者I，帶有突變毒性vm的病原體感染的感染者Im組成的種群動力學模型如下：

其中，b為宿主的遷入率，m為宿主的自然死亡率，參數(shù)vm是變異病原體的因病死亡率，β(vm)為變異病原體相應的傳染率。模型（4）隱含的假設就是具有不同毒性的病原體可以對不同的易感者S進行感染，因此兩種不同毒性的病原體對于易感者的爭奪形成競爭機制。

令I(lǐng)m=0，可以得到?jīng)]有變異病原體的平衡點：

因此當條件

1.4 病原體毒力的進化動力學模型

當突變是稀少的并且突變很小時，通過成功的入侵與替代，病原體的毒性特征將一步一步地進化，并且進化的方向是由局部選擇梯度g(v)決定的，其中g(shù)(v)如下：

病原體的毒性特征v一步一步的進化過程可以用下面的典型方程去近似。其中典型方程如下：

1.5 病原體毒力的連續(xù)穩(wěn)定策略

當v*滿足條件g(v*)=0，時，就稱v*為進化奇異策略。

將（7）代入上式，可知v*滿足如下條件：

當在進化奇異策略v*處，

因此可以得到奇異策略v*是收斂穩(wěn)定的條件如下：

當進化奇異策略v*滿足條件

時，那么稱此進化奇異策略v*是進化穩(wěn)定的（ES）。由此，可以得到如下的結(jié)論：當條件（3）和（5）滿足時，如果權(quán)衡函數(shù)β(v)在進化奇異策略v*滿足β''(v*)＜0，那么進化奇異策略v*既是收斂穩(wěn)定的，也是進化穩(wěn)定的。即進化奇異策略v*為連續(xù)穩(wěn)定[3]的進化策略。

由以上分析，可以看到：當權(quán)衡函數(shù)曲線β(v)是全局凹時，如果進化奇異策略v*是收斂穩(wěn)定的，那么它必定是進化穩(wěn)定的。因此進化奇異策略是連續(xù)穩(wěn)定的，不可能產(chǎn)生進化分支。

2 參數(shù)對進化奇異策略的影響

2.1 自然死亡率對進化奇異策略影響

接下來研究隨著宿主的自然死亡率m的增加，毒性特征v的進化穩(wěn)定性（ESS）的改變。

假設β(v)滿足上面的限制條件即在奇異策略處是凹的，并且是關(guān)于v的增函數(shù)，因此只要模型中選擇的β(v)為飽和函數(shù)形式就同時滿足上面的兩個條件。

進化奇異策略v*必須滿足

從（12）可以發(fā)現(xiàn)，變異增長率r依賴于參數(shù)vm和v。因為vm和v同時在v*處取值，所以方程（12）可以寫成：F(v*,m)=0。

本研究的目標是弄清楚進化奇異策略v*是如何隨著參數(shù)m的增加而改變的。通過把關(guān)于m的隱式微分方程F(v*,m)=0中的v*看作是m的函數(shù)[4]，可以得到

通過變形，可以得到

可以利用定義的F(v,m)將（13）寫成

對于進化奇異策略v*來說，假設ESS是連續(xù)穩(wěn)定的，那么方程（14）的分母必定是負的，因此就有：

通過條件（11），可以計算方程（15）得到

給定的β(v)必定是正的并且在v*處的值是增加的才能出現(xiàn)ESS，此時方程（16）的右邊必定是正的，因此對于本模型來說，只要存在收斂穩(wěn)定的ESS，那么無論β(v)與v的具體關(guān)系如何，進化奇異策略的毒性水平v*都必將隨著宿主自然死亡率v*的增加而增加。

2.2 出生率對進化奇異策略的影響

通過類似的方法，可以研究進化奇異策略的毒性水平v*隨著宿主出生率b的增加是如何變化的[5]。

從圖1a可以看出，進化奇異策略v*隨著宿主死亡率m的增加而增加，類似的，從圖1b可以看出當宿主出生率b增加時，進化奇異策略v*是不變的。還可以發(fā)現(xiàn)無論出生率和死亡率如何變化，毒性水平的進化奇異策略v*都不可能出現(xiàn)進化分支的情形[6]。

3 結(jié)論

本文研究了病原體毒性的進化多樣性，主要分析最初的單同態(tài)病原體是否可以通過進化分支產(chǎn)生雙同態(tài)的病原體，討論了自然死亡率不具有種群密度依賴的SI模型，研究了模型（1）的進化動力學模型并得出進化奇異策略進化穩(wěn)定和收斂穩(wěn)定的條件，發(fā)現(xiàn)此模型下只要進化奇異策略是收斂穩(wěn)定的，就必定是進化穩(wěn)定的。因此不會出現(xiàn)進化分支的現(xiàn)象。最后討論了自然死亡率和出生率對毒性特征的進化奇異策略的影響。發(fā)現(xiàn)奇異策略v*隨著宿主死亡率m的增加而增加，而當宿主出生率v*的增加時，進化奇異策略v*是不變的，還發(fā)現(xiàn)無論出生率和死亡率如何變化，毒性水平的進化奇異策略v*都不可能出現(xiàn)進化分支的情形。

圖1 自然死亡率m和出生率b對進化奇異策略的影響