關(guān)于駐波的瞬態(tài)能量傳輸問題的探討

張榮利

(黃石市第十六中學(xué) 湖北 黃石 435002)

劉紅日

(湖北師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖北 黃石 435002)

駐波是一類特殊的干涉現(xiàn)象.當(dāng)兩列頻率相同、振動方向相同、振幅相等,相差恒定的波在同一直線上沿相反方向傳播時就會在疊加區(qū)域產(chǎn)生駐波.駐波在力學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.根據(jù)維度不同，駐波可以分為一維駐波、二維駐波和三維駐波[1]，根據(jù)振動的物理量不同可以分為機械駐波和電磁駐波等.駐波的主要特點是波形位置固定，相鄰波節(jié)之間分段振動而總能量不變.雖然各段之間沒有能量傳播，但是各段內(nèi)部存在瞬態(tài)能量傳遞.雖然關(guān)于駐波的能量問題已經(jīng)有很多研究[2,3]，但是關(guān)于駐波內(nèi)部瞬態(tài)能量傳播的討論較少[4].以機械駐波為例，瞬態(tài)能量傳播與波線上質(zhì)元的位移以及能量變化直接相關(guān).只有從質(zhì)元的位移和形變出發(fā)對駐波能流密度進行分析才能弄清駐波瞬態(tài)能量轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移的機理.本文以一維機械橫波形成的駐波為例，通過駐波中質(zhì)元的位移、能量和能流密度的圖像，再結(jié)合形變與彈性勢能的關(guān)系，對駐波內(nèi)部瞬態(tài)能量傳播給出了直觀分析，并分析了能流產(chǎn)生的機理，得到的結(jié)果有助于形象直觀理解駐波內(nèi)部能量傳播.

1 駐波的波形 能量和能流密度

以橫波為例，設(shè)角頻率為ω，波幅為A的兩列相干波，振動方向均沿y軸，沿x軸向相反方向傳播，其方程為[1]

(1)

則駐波方程為

y=y1+y2=2Acosωtcoskx

(2)

(3)

dEk=2ρA2ω2dVsin2ωtcos2kx

(4)

而質(zhì)元的勢能為[1]

(5)

其中G為彈性介質(zhì)的切變模量(橫波).由式(2)對x求偏微分得到

代入式(5)得到

dEp=2GdVk2A2sin2kxcos2ωt

(6)

彈性橫波的波速

(7)

代入式(6)得到

dEp=2ρA2ω2dVcos2ωtsin2kx

(8)

由式(4)與式(8)得到質(zhì)元的總能量

dE=dEk+dEp=

2ρA2ω2dV(sin2ωtcos2kx+cos2ωtsin2kx)

(9)

在水平向右的x軸上，由式(1)可得，右行波在dV質(zhì)元中的能量[2]

dE1=ρdVA2ω2sin2(ωt-kx)

能量密度

能流密度

I1=ε1v=ρvA2ω2sin2(ωt-kx)

(10)

左行波在dV質(zhì)元中的能量

dE2=ρdVA2ω2sin2(ωt+kx)

能量密度

能流密度

I2=-ε2v=-ρvA2ω2sin2(ωt+kx)

(11)

上式中負號代表左行波能量傳播方向沿x軸負向.則駐波的總能流密度

I=I1+I2=ρvA2ω2sin2(ωt-kx)-

ρvA2ω2sin2(ωt+kx)

得到

I=ρvA2ω2[sin2(ωt-kx)-sin2(ωt+kx)]=

-ρvA2ω2sin 2kxsin 2ωt

(12)

因為波動沿x軸傳播，能量也只能沿x軸正向或者負向傳播，如果根據(jù)式(12)計算出的I為正值，則代表波線上某處能量沿x軸正向傳播，反之，如果I為負值，則代表該處能量沿x軸負向傳播.

2 駐波的位移 能量和能流密度瞬態(tài)分布

圖時間內(nèi)駐波的瞬態(tài)能流圖

圖時間內(nèi)駐波的瞬態(tài)能流圖

由圖1(a)可見，在t=0時，駐波的波形為一余弦函數(shù)圖形，波線上除了波節(jié)之外的所有質(zhì)元均處于最大位置，運動速度為零，此時質(zhì)元的所有能量全部為彈性勢能.由圖可見，波節(jié)處質(zhì)元形變最大，而波腹處形變?yōu)榱?，因此波?jié)處能量最大，而波腹處能量為零.同時可見此時波線上能流密度處處為零，因此t=0時波線上無能量傳播.

3 討論

由圖1和圖2可見，在駐波振動過程中的任何時刻，波節(jié)處能流密度始終為零， 說明雖然駐波在振動過程中各段內(nèi)部有能量傳播，但從總體上看是分段獨立振動的，各分段之間沒有能量傳播.

以彈性橫波為例，在不考慮重力的情況下，除了所有質(zhì)元均處于平衡位置的狀態(tài)之外，如圖1(c)和2(c)所示的狀態(tài)，質(zhì)元越靠近波腹形變越小，越靠近波節(jié)形變越大.當(dāng)質(zhì)元由最大位置向平衡位置振動時，某一質(zhì)元受到相鄰的離波節(jié)較近的一側(cè)質(zhì)元的切應(yīng)力大于相鄰的離波節(jié)較遠的另一側(cè)質(zhì)元的切應(yīng)力，切應(yīng)力的合力指向平衡位置，做正功，將彈性勢能轉(zhuǎn)化為動能.而質(zhì)元由平衡位置向最大位置運動時，受到的切應(yīng)力的合力仍然指向平衡位置，做負功，將動能轉(zhuǎn)化為彈性勢能.因此彈性橫波形成的駐波，能量的轉(zhuǎn)化和轉(zhuǎn)移要通過切應(yīng)力做功來實現(xiàn).

雖然駐波是分段振動的，每一段在振動過程中能量守恒，與獨立諧振子有相似之處，但其中任意彈性質(zhì)元的運動與獨立諧振子有著本質(zhì)區(qū)別.以波腹處質(zhì)元為例，當(dāng)其位移最大時，能量為零，處在平衡位置時能量最大，在振動過程中能量并不守恒.其他位置的質(zhì)元也一樣，在振動過程中部分時段吸收能量，總能量增加，部分時段釋放能量，總能量減小.而獨立的彈性諧振子，振動過程中總能量始終守恒.

對于波節(jié)處的質(zhì)元，在振動過程中始終“不動”，其實只是質(zhì)心不動.在振動過程中，波節(jié)處的質(zhì)元要不斷改變剪切形變大小來實現(xiàn)彈性勢能的吸收和釋放.

4 結(jié)論

(1) 一維彈性駐波，在相鄰的兩個波節(jié)之間存在著瞬態(tài)能量傳播，能量部分時段從波腹傳到波節(jié)，部分時段從波節(jié)到波腹.在傳輸過程中，相鄰兩波節(jié)之間總能量不變.

(3)當(dāng)所有質(zhì)元均處于平衡位置時，質(zhì)元的能量全部為動能，此時波腹能量最大，波線上能流密度處處為零，局部沒有能量定向傳播.

(4)當(dāng)所有質(zhì)元均具有最大位移時，質(zhì)元能量全部為彈性勢能，此時波節(jié)處質(zhì)元能量最大，波線上能流密度處處為零，局部亦無能量傳播.