有限平面波疊加模擬中低頻混響聲場的方法

朱衛(wèi)紅，高 強(qiáng)，鄒元杰

（1. 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094； 2. 中國航天科工防御技術(shù)研究院，北京 100039）

0 引言

在航天任務(wù)過程中，航天器能否經(jīng)受住發(fā)射段嚴(yán)苛的力學(xué)環(huán)境考驗，是決定任務(wù)成敗的關(guān)鍵因素之一[1]。而噪聲環(huán)境是其中最為典型的一種動力學(xué)環(huán)境，可能造成機(jī)電設(shè)備、光學(xué)儀器、電子電路等的失效或性能下降，以及部分部組件（如天線、饋源等輕質(zhì)薄璧結(jié)構(gòu)）的結(jié)構(gòu)性破壞。

噪聲載荷的分布頻段較寬（20 Hz～10 kHz）。航天工程中針對不同的頻段采用不同的分析方法進(jìn)行聲振力學(xué)環(huán)境預(yù)示[2-3]：在低頻段采用結(jié)構(gòu)有限元-聲學(xué)邊界元方法建模，即航天器結(jié)構(gòu)采用有限元方法、航天器的內(nèi)外聲場采用邊界元方法[4]；在中頻段采用有限元-統(tǒng)計能量分析方法建模，即對模態(tài)密度較低的結(jié)構(gòu)、關(guān)鍵設(shè)備等采用有限元方法，對高模態(tài)密度結(jié)構(gòu)和聲場采用統(tǒng)計能量分析法[5]；在高頻段主要采用統(tǒng)計能量分析方法建模[6]。不論采用哪種方法，都需要建立準(zhǔn)確的噪聲載荷模型。

目前，通常采用擴(kuò)散聲場（DAF）載荷方法建立噪聲載荷模型，假定噪聲空間為完全混響空間，基于直接場與擴(kuò)散聲場的互易關(guān)系，將聲壓轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格節(jié)點上的力譜，直接施加在結(jié)構(gòu)上求解[7]。該方法能夠描述聲場載荷的空間相關(guān)性，但是只在其施加的區(qū)域內(nèi)滿足，無法刻畫混響聲空間中由于結(jié)構(gòu)存在導(dǎo)致的聲場不均勻性；另外該模型主要面向結(jié)構(gòu)的承載，無法考慮結(jié)構(gòu)本身的聲輻射、散射特征，因此需要結(jié)合半無限聲場系統(tǒng)來模擬結(jié)構(gòu)的聲輻射等特征[8]。而采用平面波疊加模擬噪聲載荷，能夠刻畫整個聲空間的載荷空間相關(guān)性。這種噪聲載荷模型結(jié)合有限元-邊界元模型，可充分刻畫聲散射、輻射和聲載荷的不均勻性，但與DAF 不同的是只能施加在聲學(xué)邊界元模型中。高強(qiáng)等[9]研究了平面波疊加對聲場載荷的空間相關(guān)性影響，證明該方法能夠準(zhǔn)確描述載荷的空間特征，但是如何基于該方法建立混響載荷模型尚未得到解決。

本文提出采用基于隨機(jī)相位的平面波疊加方法建立中低頻混響載荷，結(jié)合傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)有限元-聲學(xué)邊界元模型建模方法進(jìn)行聲振響應(yīng)預(yù)示。文中對基于平面波疊加的混響載荷建模方法的理論、空間特征及平面波數(shù)目的確定方法進(jìn)行詳細(xì)的研究，并結(jié)合實際工程算例驗證該方法的可行性與有效性，可為后續(xù)的航天工程應(yīng)用提供支撐。

1 基于平面波疊加的混響載荷建模

1.1 多列平面波疊加的聲能密度

混響聲場是一種理想的聲場，在聲場各個位置處，聲能量向各個方向的傳播概率相同，平均聲能密度處處相同。設(shè)在聲場中有一足夠小的體積元，聲壓為p，空氣密度為ρ0，則其聲能密度為

式中：v為體積元速度；c0為空氣中的聲速。

定義平面波的聲壓[10]為

式中：x、y、z為空間位置坐標(biāo)；t為傳播時間；P0為平面波聲壓幅值；ω為平面波的角頻率；φ0為初始相位；k為波數(shù)；α、β、γ為平面波傳播的方向角。

對固定空間位置的平面波，在1 個振動周期T內(nèi)求取其聲能密度的平均值，有

式中：T=2π/ω；ΔE為平面波的能量；V0為聲場的體積。可以看出，平面波的平均聲能密度僅與其聲壓幅值有關(guān)，而與相位和位置無關(guān)。

對于具有相同波長的2 列平面波，在該位置處的聲壓為

在1 個周期內(nèi)對聲能密度進(jìn)行平均，有

式中：

如果相位 φ1和 φ2平均分布在區(qū)間[0, 2π]內(nèi)，則相位相干函數(shù)的均值為0，即

則

因此，對于具有隨機(jī)相位的2 個平面波之總成，其1 個周期內(nèi)的平均聲能密度等于其中每列平面波平均聲能密度的線性疊加。同理可以推得，對于n個平面波之總成，其1 個周期內(nèi)的平均聲能密度為

1.2 基于混響載荷聲壓的平面波分布設(shè)計

1.1 節(jié)的分析表明，在各個平面波相位隨機(jī)的情況下，平面波的聲能密度滿足線性疊加原理。

假設(shè)將整個聲空間建立在球坐標(biāo)系中，將聲空間球面按照經(jīng)度和緯度進(jìn)行切分，將緯度分為m層，則每層之間的角間隔為Δθ=π/m，θi=Δθ/2+(i-1)Δθ, (i=1, ···,m)；將經(jīng)度分為n層，每層之間的角間隔為Δψ=2π/n，ψj=Δψ/2+(j-1)Δψ, (j=1, ···,n)。如圖1 所示，假定球坐標(biāo)的中心為物理坐標(biāo)原點，令緯度為θi、經(jīng)度為ψj位置的聲壓幅值為Pij，其空間矢量方向為

圖 1 平面波位置及其有效輻射面積示意Fig. 1 Locations and effective action area of plane waves

平面波將球體分為m×n份，假設(shè)平面波Pij作用在球面上的面積為Sij，面積元在緯度方向上的球面寬度為Δθ。因此，平面波Pij在球面上的作用面積近似為

為了保證混響場在球面上的能量均勻分布，須滿足：

對于具有均勻分布隨機(jī)相位的平面波，其平均聲能滿足線性疊加關(guān)系，即

因此，每個平面波的聲壓幅值可以表示為

例如，取n=m=2，計算得到θi=[45°, 135°]，ψj=[90°, 270°]，P2=1，則不難計算得到：

圖2 為平面波在整個球面上的聲壓貢獻(xiàn)量分布，可以看出，采用經(jīng)緯度劃分的方式，球面的兩極位置聲壓幅值非常小，赤道附近聲壓幅值最大。這是由于在不同的位置，平面波之間的間距和有效面積不同導(dǎo)致的；如果采用球面等分方式確定平面波位置，那么球面上的聲壓將會平均分布。

圖 2 平面波在球面上的聲壓幅值分布Fig. 2 Acoustic pressure distribution on the spherical surface

2 基于平面波疊加的混響場空間特征分析

根據(jù)式(10)，可計算得到波數(shù)在3 個軸方向上的分量，對于平面波Pij，有：

假設(shè)在結(jié)構(gòu)表面有l(wèi)個節(jié)點，則每個節(jié)點處的聲壓值為

聲壓的互譜功率譜密度為

其中非對角元素代表的是空間任意兩點之間的互譜密度。設(shè)節(jié)點u和v之間的矢量為r，定義其與平面波方向的夾角為βj，則互譜功率譜密度可簡寫為

將式(14)代入式(19)，則有：

設(shè)矢量r的方向角為[ε,?]，則有：

當(dāng)m→∞,n→∞時，Δθ→0, Δψ→0，則求和可近似用積分表示，

因此，可將式(20)改寫為

3 平面波疊加的混響聲場空間特征驗證與數(shù)目確定方法

3.1 平面波疊混響載荷的空間相關(guān)性分析

公式(26)無法直接進(jìn)行積分計算，需要作一些數(shù)學(xué)處理。在此考慮取系統(tǒng)坐標(biāo)系的z軸與距離矢量r重合，矢量r與矢量k之間的夾角為θ，因此有cosβ=cosθ，則式(26)中的各項積分可寫為：

則有

根據(jù)空間相關(guān)性系數(shù)的定義

上述結(jié)論與理論解[11]完全一致。

對于任意空間矢量r，無法直接獲得解析解，這里采用數(shù)值解法驗證對于任意的空間兩點均滿足理論相干系數(shù)。圖3 為空間矢量r=[172.35°,347.35°]無限多平面波疊加模擬的空間相關(guān)性與理論相關(guān)性的對比結(jié)果，可以看出，不論是隨著波數(shù)k的變化還是隨著距離r的變化，無限多平面波疊加模擬的空間相關(guān)性與理論相關(guān)性的誤差均小于10-4dB。

圖 3 任意空間矢量r 的空間相關(guān)性（無限多平面波疊加模擬與理論值的對比）Fig. 3 Spatial correlation coefficient of an arbitrary vector

理論上，當(dāng)整個空間中分布無限平面波時，其疊加結(jié)果滿足理論空間相關(guān)性，而幅值是通過對已知混響聲壓進(jìn)行分解得到，因此其疊加聲壓與實際混響聲壓也是相等的。然而在實際的工程應(yīng)用過程中，混響場只能采用有限的平面波疊加進(jìn)行近似，因此其空間相關(guān)性會存在一定的建模誤差，下面對誤差進(jìn)行分析。

圖4 為針對固定的空間矢量r，當(dāng)平面波數(shù)目n分別為2、8、16、32 時，通過Monte Carlo 仿真（仿真次數(shù)250）得到的平面波疊加的聲場空間相關(guān)性隨著(kr)的變化?？梢钥闯?，平面波數(shù)目越多，模型與理論解越吻合，n=32 時基本與理論解一致。因此，采用有限數(shù)目的平面波疊加模擬混響場時，模型的空間相關(guān)性與平面波數(shù)目n、空間點位置矢量r相關(guān)；但是隨著平面波數(shù)目的增加，兩者的影響越來越小。

圖 4 空間相關(guān)性與平面波數(shù)目和位置矢量的關(guān)系Fig. 4 The spatial correlation coefficient against the number and the location vectors of plane waves

3.2 平面波數(shù)目的確定方法

一般而言，采用聲學(xué)邊界元和有限元建模用于低中頻的聲振耦合分析，而平面波的數(shù)目與分析頻率的上限和航天器結(jié)構(gòu)的特征尺寸（最大包絡(luò)尺寸）密切相關(guān)。以分析頻率上限和結(jié)構(gòu)最大包絡(luò)尺寸為參數(shù)，以空間理論相關(guān)性為目標(biāo)函數(shù)，以經(jīng)度與緯度的平面波數(shù)目（二者相等）為自變量，確定使得目標(biāo)函數(shù)滿足給定誤差。容差函數(shù)是具有多個零點的振蕩函數(shù)，在零點處無法定義相對誤差；考慮到空間相關(guān)性最大值為1，并隨著分析頻率與空間距離的增加逼近于0，因此取絕對誤差。這里僅給出絕對誤差為0.01 的結(jié)果：

圖5 為容差為0.01 時，平面波數(shù)目n與最大包絡(luò)尺寸r和分析頻率上限f的關(guān)系。為了便于工程應(yīng)用，采用二次曲面進(jìn)行擬合，n、r、f滿足如下關(guān)系：

其中：

圖 5 平面波數(shù)目n 與最大包絡(luò)尺寸r 和分析頻率上限f 的關(guān)系（容差0.01 時）Fig. 5 The number of plane waves vs. the max envelope size and the top analyzing frequency

根據(jù)公式(31)確定的平面波數(shù)目疊加后，模型的空間相關(guān)性基本與理論解吻合，參見圖6。

圖 6 根據(jù)擬合公式確定的平面波數(shù)目疊加后模型的空間相關(guān)性Fig. 6 The spatial correlation of the model by superimposed plane waves determined by the fitting equation

本文提出的方法偏于保守，而且給出的經(jīng)驗公式假定經(jīng)度方向和緯度方向的平面波數(shù)目相同。在實際工程應(yīng)用中，需要通過多次不同的平面波數(shù)目仿真進(jìn)行對比分析，最終綜合精度和運(yùn)算的要求，確定合理的平面波數(shù)目。

4 工程應(yīng)用與驗證

下文將依據(jù)本文提出的混響載荷建模方法，結(jié)合混合有限元-邊界元建模方法，開展混響載荷的聲學(xué)特征與航天工程應(yīng)用案例分析，驗證方法的有效性。

4.1 多列平面波疊加模擬混響聲場

圖 7 平面波疊加模擬混響聲場的聲壓分布Fig. 7 Pressure distribution of reveberant sound field overlayed by plane waves

針對聲場中的方形障礙物，采用多列平面波疊加模擬混響載荷分析障礙物對聲場的散射效應(yīng)。圖7 為多列平面波疊加后不同頻率下整個聲空間的聲壓分布。由圖可以看出：整個聲空間的聲壓與期望聲壓（1 Pa2/Hz）基本一致，聲壓分布均勻；在障礙物或者結(jié)構(gòu)表面仍有明顯的硬邊界效應(yīng)，不同的頻率下硬邊界效應(yīng)的區(qū)域分布大不相同，因此如果直接在結(jié)構(gòu)表面施加等效的聲壓載荷，可能無法準(zhǔn)確描述該特征。

4.2 低頻混響載荷的遮擋效應(yīng)模擬

采用平面波疊加模擬混響場可刻畫復(fù)雜結(jié)構(gòu)在混響聲場中由于其幾何構(gòu)型導(dǎo)致的遮擋效應(yīng)，如果直接在結(jié)構(gòu)表面施加聲載荷則無法刻畫之。以某結(jié)構(gòu)尺寸為0.5 m×0.5 m×4 m 的復(fù)雜構(gòu)型結(jié)構(gòu)（參見圖8）為例，研究在混響載荷（多列平面波疊加模擬）下的聲場聲壓分布情況。圖9 所示為在不同頻率下結(jié)構(gòu)遮擋效應(yīng)引起的聲壓分布：由于構(gòu)型原因，在不同位置不同頻率下聲壓的分布差異較大，尤其是在低頻下，窄小聲腔結(jié)構(gòu)引起的聲壓放大達(dá)到15 dB。這可能是低頻結(jié)構(gòu)由于聲載荷導(dǎo)致破壞的原因之一。

圖 8 遮擋效應(yīng)分析模型Fig. 8 Illustration of masking effect

圖 9 不同頻率下結(jié)構(gòu)遮擋效應(yīng)引起的的聲壓分布Fig. 9 Pressure distribution change of different frequencies due to masking effect

4.3 太陽電池陣聲振響應(yīng)分析與驗證

采用某平臺的太陽電池陣模型進(jìn)行噪聲試驗，每塊電池陣由內(nèi)外2 塊板構(gòu)成。試驗時，南北太陽電池陣同時安裝在模擬墻上，如圖10 所示。根據(jù)試驗要求在太陽電池陣外側(cè)板布置約10 個測點，太陽電池陣的聲振響應(yīng)以面外響應(yīng)為主，因此主要考察面外響應(yīng)，測點布置如圖11 所示。仿真載荷采用試驗給定條件確定：試驗條件為遠(yuǎn)場聲壓，因此邊界元載荷定義時采用遠(yuǎn)場聲壓；試驗條件是在倍頻程下給定的，因此需要通過計算轉(zhuǎn)換為4 Hz 等帶寬的載荷；為了模擬測量噪聲，在載荷中引入噪聲。

圖 10 太陽電池陣試驗狀態(tài)Fig. 10 Acoustic test of solar panels

圖 11 太陽電池陣測點布置Fig. 11 Locations of sensors on the solar panel

通過對仿真分析結(jié)果對比觀測發(fā)現(xiàn)，測點的位置攝動對預(yù)示結(jié)果的影響較大，因此在測點附近選取多個測點測量結(jié)果與試驗結(jié)果進(jìn)行對比。太陽電池陣上10 個測點的加速度響應(yīng)結(jié)果如圖12 所示?？梢钥闯觯夯诒疚奶岢龅幕祉戄d荷建模方法能夠準(zhǔn)確描述太陽電池陣聲振試驗所經(jīng)受的聲載荷，預(yù)示結(jié)果與試驗結(jié)果基本吻合。為進(jìn)一步分析測點位置精度對仿真結(jié)果的影響，圖13 給出了測點8 附近15 個不同位置的響應(yīng)預(yù)示結(jié)果與試驗值的總方均根誤差，發(fā)現(xiàn)最大誤差大約為4 dB，南板與北板的誤差分布基本一致，仿真模型與實際結(jié)構(gòu)的測點位置存在的偏差會對仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性造成一定的影響?？傮w而言，在實際工程應(yīng)用中可以通過改善模型精度、聲載荷譜的準(zhǔn)確程度以及測點的位置精度來不同程度地提高預(yù)示結(jié)果的準(zhǔn)確度。

圖 12 太陽電池陣加速度響應(yīng)Fig. 12 Acceleration responses of the solar panels

圖 13 測點8 附近不同位置的聲場響應(yīng)預(yù)示誤差Fig. 13 Influence of sensor location on the RMS vibroacoustic response of the sound field

5 結(jié)束語

本文提出在平面波中引入隨機(jī)相位，通過平面波疊加模擬航天器經(jīng)受的混響聲場載荷；當(dāng)平面波的數(shù)目足夠多時，則整個聲空間的分布特征滿足理論空間相關(guān)性，能夠較為準(zhǔn)確地模擬低頻段的聲空間模型。

數(shù)值算例分析表明：1）采用隨機(jī)相位的平面波疊加的混響載荷建模方法，整個聲空間的聲壓與期望聲壓基本一致。與傳統(tǒng)分析中將硬邊界效應(yīng)定義為剛性邊界放大3 dB 不同，基于本文方法能夠明顯觀察到結(jié)構(gòu)周圍的硬邊界特征，得到的硬邊界效應(yīng)是隨著頻率變化的，其規(guī)律有待于進(jìn)一步深入研究。2）本文提出的建模方法能夠描述復(fù)雜結(jié)構(gòu)幾何形狀引起的遮擋效應(yīng)，因此能夠改善中低頻聲振預(yù)示的精度。

實際工程應(yīng)用案例表明：試驗結(jié)果與采用本文方法建立混響載荷模型進(jìn)行聲振預(yù)示的分析結(jié)果基本吻合，驗證了本文方法的有效性。但傳感器的位置誤差會對分析結(jié)果有一定的影響，應(yīng)予以關(guān)注。