基于熱傳導模型的多層高溫服裝溫度分布研究＊

池睿潔，于國龍，馮蓉，毛建超，周廣

基于熱傳導模型的多層高溫服裝溫度分布研究＊

池睿潔，于國龍，馮蓉，毛建超，周廣

（貴州師范學院 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，貴州 貴陽 550018）

針對高溫作業(yè)服裝設計問題，對高溫服裝的紡織材料層的物理屬性、傳導方式以及材料參數(shù)等主要因素進行分析，利用假人皮膚原始測量數(shù)據(jù)多項式函數(shù)擬合結合熱傳導方程，進而構建多層織物熱傳導模型。對其所設環(huán)境溫度，通過有限差分方程求解各材料層的溫度分布，實際案例結合二分法模型設計出實際工作時間范圍內各材料層的最優(yōu)厚度。

熱傳導模型；傅里葉定律；有限差分；溫度分布

根據(jù)2018年全國大學生數(shù)學建模競賽A題[1]所給信息，設計高溫環(huán)境下專用服裝。將假人放置在體內的溫度控制在37 ℃，外部環(huán)境處于高溫環(huán)境，測量假人皮膚外側的溫度分布。

針對于服裝的導熱模型研究問題，本文主要對其外部環(huán)境、材料屬性對假人皮膚外側溫度分布影響進行研究，建立相關熱傳導模型，運用有限差分法對其所建模型求解。

本文在已知皮膚外側原始溫度的前提下，建立有效的模型進行問題的解決，運用題給[1]原始數(shù)據(jù)與模型所求解數(shù)值進行數(shù)據(jù)擬合，根據(jù)擬合程度檢驗所建模型的有效性。根據(jù)所建模型，進而討論求解厚度優(yōu)解，采用二分法模型結合初始所建一維熱傳導方程模型，根據(jù)題給厚度初步設定厚度初始范圍，依次迭代，最終得到最優(yōu)厚度。

1 模型準備

根據(jù)2018年全國大學生數(shù)學建模競賽A題[1]提供的數(shù)據(jù)，其中已知題目所給出服裝各材料層的參數(shù)值、原始所測假人皮膚外側的測量溫度以及所需環(huán)境溫度等條件。根據(jù)所給的原始所測假人皮膚外側的測量溫度，利用其MATLAB軟件進行數(shù)據(jù)分析，得到其假人皮膚溫度與時間關系，如圖1所示。

由圖1可知皮膚外側溫度初始值為37℃，穩(wěn)定值為48.08 ℃，圖像趨勢呈三次曲線函數(shù)。

由此，運用MATLAB軟件中函數(shù)工具進行多項式函數(shù)擬合，得到擬合函數(shù)[2]為：

2 數(shù)學模型建立與求解

2.1 模型建立

根據(jù)題目所給信息[1]，可以進行如下假設：①在進行測試時，外部環(huán)境溫度保持恒定不變；②溫度在傳遞過程中，只存在熱傳遞這一傳導形式；③溫度傳遞過程中，各材料屬性不會因為溫度變化而改變。

基于以上假設條件，對其專用服裝各層織物材料第Ⅰ層、第Ⅱ層、第Ⅲ層及第Ⅲ層與皮膚之間空隙的第Ⅳ層進行溫度傳遞分析。

溫度傳遞方向：溫度由高溫向低溫方向傳遞，在此過程中由能量守恒定律可知溫度是保持恒定不變的，隨著傳遞入織物材料層后逐漸降低。在整個傳遞過程中，內部除了人體這一熱源外，并無其他熱源。

圖1 假人皮膚溫度與時間關系圖

在傳遞過程中，外部環(huán)境溫度與人體溫保持恒定不變，則它的邊界溫度恒定不變。

由此，根據(jù)傅里葉熱傳導定律得[3]：

式（1）中：為熱導率；為導熱面積。

根據(jù)熱傳導方程、Fourier定律以及熱學第一定律[4]可得到其一維熱傳導模型為：

式（2）中：為材料層的密度；為材料層的比熱容；為材料層的熱傳導率。

根據(jù)模型假設溫度在材料層與材料層之間的傳遞溫度是相同的，可知層與層的界面處傳導率處于平衡且溫度相等，即：

式（3）中：=1，2，3，4分別為第Ⅰ層，第Ⅱ層，第Ⅲ層，空氣層為第Ⅳ層。

根據(jù)以上可以建立各層材料的一維熱傳導微分方程模型為：

式（4）中：為材料層到外界環(huán)境之間的距離；i為材料層的熱傳導率；i為各材料層的密度；i為材料層的比熱容；i（=1，2，3，4）為各材料層的厚度。

所建模型的邊界條件為：

式（5）中：0為外部環(huán)境溫度；（）為原始所測假人皮膚外側的測量溫度擬合函數(shù)。

根據(jù)所建立模型，利用差分的方法求出其近似的數(shù)值解，將其求解數(shù)值解變成求解近似解，即將方程離散到各個節(jié)點上后進而對其進行數(shù)值近似解的計算[5-6]。

建立一維熱傳導的向前差分格式為：

建立一維熱傳導的中心差分格式為：

利用式（6）（7）對其熱傳導微分方程進行離散化，得到差分方程為：

對式（8）進行整理簡化后，得：

2.2 模型求解

對于所建立的模型，對環(huán)境溫度為75 ℃、第Ⅰ層厚度為0.6 mm、第II層厚度為6 mm、第Ⅲ層厚度為3.6 mm、第IV層厚度為5 mm、工作時間為90 min的情形開展實驗，利用MATLAB軟件得到其溫度分布情況，如圖2所示。

擬合結果分析：根據(jù)所建模型得到假人皮膚外側的溫度趨于穩(wěn)定時，數(shù)值為48.11 ℃。將其與題給穩(wěn)定時，數(shù)值為48.08 ℃進行結果對比，得到結果誤差為0.03 ℃。

因此可知，模型數(shù)據(jù)擬合效果比較好，所建模型具有可行性。

圖2 溫度分布情況圖

3 案例分析

根據(jù)題目所給信息[1]，即當外部環(huán)境溫度為65 ℃，而且第IV層的厚度為5.5 mm時，需要確定第II層的最優(yōu)厚度，從而使得工作60 min時，假人皮膚外側溫度超過44 ℃的時間不能超過5 min，并且保證皮膚外側溫度不超過47 ℃。由于所求解為其最優(yōu)解，因此，建立二分法模型求解其優(yōu)解[7]。

根據(jù)假人外側皮膚的相關信息，得到熱阻值，進而求解假人外側皮膚的熱導率5。

熱阻公式為：

單層熱阻與熱傳導率的關系為：

多層熱阻與熱傳導率的關系為：

根據(jù)公式以及假設人體皮膚相關信息數(shù)據(jù)可以得到熱阻與熱傳導率[8]分別為：=0.116，5=0.026。

為求解第Ⅱ層的最優(yōu)厚度，以滿足第Ⅱ層的條件的最小厚度作為其最優(yōu)解，求解采用二分法進行數(shù)值求解。對于二分法，確定第Ⅱ層厚度的初始條件為：

針對于第Ⅱ層厚度的選取，根據(jù)二分法原則：

對式（10）依次進行迭代，將其代入所建立的問題一模型中求解出相應的（，）。

對其使用二分法滿足條件：

根據(jù)條件分析可知，如所其解第Ⅱ層厚度滿足式（10）（12）條件，則進行下一次的迭代；否則，退出算法，停止迭代。

經過有限次迭代，得到相應的結果，從而知道第Ⅱ層最優(yōu)厚度。

利用MATLAB軟件求解，取其每次中間值，迭11代有限次后，得到其第Ⅱ層最優(yōu)解2=12.23 mm。

4 結束語

基于無熱內源的熱傳導控制方程，建立一維熱傳導方程模型，將其數(shù)據(jù)離散化，利用有限差分求解近似解，得出材料層之間的溫度分布情況圖。

通過將所建立模型的求解結果穩(wěn)定狀態(tài)數(shù)據(jù)與原題給穩(wěn)定狀態(tài)數(shù)據(jù)進行擬合，驗證模型的可行性。實例研究中采用二分法算法結合所建模型，求解材料層最優(yōu)厚度，體現(xiàn)模型的實用性。

［1］全國大學生數(shù)學建模競賽組委會.2018年全國大學生數(shù)學建模競賽A題［EB/OL］.［2018-09-13］.html.http:// www.mcm.edu.cn/html_cn/node/7cec7725b9a0ea07b4dfd175e8042c33.html.

［2］蔡志杰.高溫作業(yè)專用服裝設計［J］.數(shù)學建模及其應用，2019，8（1）：44-52，83.

［3］潘斌.熱防護服裝熱傳遞數(shù)學建模及參數(shù)決定反問題［D］.杭州：浙江理工大學，2017.

［4］蔡姝婷.偏微分方程解的數(shù)值驗算［J］.赤峰學院學報（自然科學版），2015，31（18）：7-9.

［5］謝滿林，丁宣浩.熱傳導方程求解中的快速小波-有限差分方法［J］.重慶工商大學學報（自然科學版），2008，25（6）：592-595.

［6］金蒙，高峰，李嬌，等.二維穩(wěn)態(tài)輻射傳輸方程的有限差分求解法［J］.光子學報，2010，39（9）：1594-1601.

［7］王海濤，朱洪.改進的二分法查找［J］.計算機工程，2006（10）：60-62，118.

［8］張澤群，李宏，劉毅，等.基于熱傳導學和有限差分法的高溫專用服裝設計［J］.新型工業(yè)化，2019，9（4）：123-128.

O241.1

A

10.15913/j.cnki.kjycx.2019.20.001

2095－6835（2019）20－0001－03

池睿潔（1999—），女，貴州銅仁人，貴州師范學院在讀本科生。于國龍（1981—），男，遼寧東港人，碩士，副教授，主要研究方向為智能計算、大數(shù)據(jù)。

貴州省2019年大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目“多層高溫服裝溫度分布的模型構建”（編號：20195200197）；貴州省級重點學科“計算機科學與技術”（編號：ZDXK〔2018〕007號）；2016年貴州省省級重點支持學科“計算機應用技術”（編號：黔學位合字ZDXK〔2016〕20號）；貴州師范學院大學生互聯(lián)網+創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練中心（編號：黔教高發(fā)〔2015〕337號、黔教高發(fā)〔2017〕158號）；貴州省教育廳創(chuàng)新群體重大研究項目（合同編號：黔教合KY字〔2016〕040）；貴州省普通高等學校工程研究中心（合同編號：黔教合KY字〔2016〕015）

〔編輯：嚴麗琴〕