隨機通貨膨脹下DB養(yǎng)老金計劃風險管理—Funding期權和Buyout期權及其定價

安徽工程大學數(shù)理學院，安徽 蕪湖，241000

1 引言

養(yǎng)老金計劃可以分為DB計劃和DC計劃。在DB養(yǎng)老金計劃下，員工的退休金的額度將會在其加入DB養(yǎng)老金計劃時給定，因此計劃的投資風險主要由DB養(yǎng)老金計劃發(fā)起人承擔。羅伊(Roy，2012)[3]指出DB養(yǎng)老金計劃主要面臨人口和市場變動的兩大風險。

在過去十年里，空前的市場波動和利率的持續(xù)下降，一連串的壞消息使許多DB計劃的發(fā)起人遭受了巨大的損失。Cox 等人(Cox，2013)[4]發(fā)現(xiàn)死亡率的意外提高增加了DB養(yǎng)老金的負債，面臨著嚴峻的養(yǎng)老基金赤字問題。其結果是，Coughlan 等人(2013)[5]發(fā)現(xiàn)近幾年DB養(yǎng)老金計劃發(fā)起人對用策略來減少他們DB養(yǎng)老金風險的興趣逐漸增加。Lin 等人(Lin，2015)[1]提出用長壽對沖和DB養(yǎng)老金收購(buyout)來減少DB養(yǎng)老金風險。王曉軍等人(王曉軍，2018)[6]從保險公司風險管理的角度看，長壽風險使得保險公司的未來負債增加，特別是在長期低利率環(huán)境下，長壽風險的影響更加突出。與這一觀察一致，Lin 等人(Lin，2017)[7]發(fā)現(xiàn)，在企業(yè)風險管理框架中收購比長壽對沖創(chuàng)造更多的價值。陳翠霞等人(2018)[8]基于buyin和buyouts 進行DB養(yǎng)老金計劃去風險化研究并對其定價。Cox 等人(Cox，2017)[2]研究創(chuàng)新的方法去獲得資金不足的DB養(yǎng)老金計劃的DB養(yǎng)老金收購在提升價值上的途徑，他們提出兩種期權，即DB養(yǎng)老金基金期權(funding 期權)和DB養(yǎng)老金收購期權(buyout 期權)。

公認的期權定價理論創(chuàng)始人是法國數(shù)學家 Louis Bachelicr?，F(xiàn)代期權定價理論的革命發(fā)生在1973年，美國金融學家 Black和Scholes[9]在有效市場和股票價格遵循幾何布朗運動等一系列假設條件下，運用連續(xù)交易保值策略推出了 Black-Scholes 定價模型。Cox 等人(Cox，2017)[2]的這篇文獻展示了如何明確地為這些期權定價，可獲得的公開預測死亡率表由Lee和Carter(1992)[10]的死亡率模型統(tǒng)計。Cox 等人(Cox，2013)[11]他們的工作促進了越來越多的DB養(yǎng)老金去風險研究，DB養(yǎng)老金套期保值政策被認為是由風險轉移所需的風險溢價、搜索和信息成本等交易成本以及監(jiān)測和執(zhí)行合同執(zhí)行的成本決定的。

本文主要基于Cox 等人(Cox，2017)[2]提出的兩個期權定價方式作進一步改進，在計算DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)時，將隨機通貨膨脹率考慮進去，本文假設通脹風險由服從幾何布朗運動的物價指數(shù)來度量。目前現(xiàn)有的文獻還沒有考慮通脹在DB養(yǎng)老金風險定價的影響。與目前現(xiàn)有文獻相比，本文的創(chuàng)新點表現(xiàn)為以下三個方面：(1)本文研究的兩個期權有利于減少DB養(yǎng)老金風險，對DB養(yǎng)老金風險管理的文獻進行補充。(2)為了增加市場的流動性，減少道德風險和逆向選擇問題，引入一個透明的DB養(yǎng)老金基金指數(shù)基于市場指數(shù)、公開可獲得的死亡率表和DB養(yǎng)老金強制性繳費。(3)我們?yōu)槟壳暗腄B養(yǎng)老金風險定價研究做出貢獻，我們展示了如何為這些新的DB養(yǎng)老金去風險化證券定價，同時認識到投資風險、通貨膨脹風險、長壽風險和利率風險。

2 基本框架

2.1 DB養(yǎng)老金負債指數(shù)

DB養(yǎng)老金負債指數(shù)是基于一組年齡為x0人數(shù)為N(0)的退休群體。為確保透明度，在計算t時DB養(yǎng)老金負債指數(shù)時，我們根據(jù)預測的未來死亡率使用一個公開的人口死亡率表。假設隊列中的每個幸存成員每年都獲得P的生存福利，并在每年年底支付。對于給定的計劃，在時間t=0 時，我們可以使用N(0)隊列成員的平均年福利。然后，PLIt是在t時向N(t)個未亡退休人員支付的所有未來養(yǎng)恤金的現(xiàn)值：

在時間t=0 時，已知退休人員人數(shù)N(0)和年費P。因此，在0 時刻，PLI0是已知的：PLI0=N(0)·Pax0。在(1)中，ax0+t是年齡x=x0+t在t時刻給定的預測死亡率的生存貼現(xiàn)因子：

DB養(yǎng)老金負債的價值與長期企業(yè)債券的收益率密切相關，正如 GüKaynak 等人(2005年)[12]指出的那樣，“由于許多宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)的發(fā)布和貨幣政策公告，長期遠期利率大幅波動”。雖然 Cox(Cox,1985)[13]和Hull and White(Hull and White,1990)[14]文獻中存在各種短期利率模型，但很少有人提出簡單有效的模型來捕捉長期利率的變化。在本文中，我們謹慎地使用CIR 模型(Cox,1985年)[13]來說明DB養(yǎng)老金估值率的動態(tài)變化。即DB養(yǎng)老金估值率滿足以下過程：

其中v是平均回歸率，θ和σp是DB養(yǎng)老金估值率的長期均值和瞬時波動率，是一個標準的布朗運動。通過控制參數(shù)σp，DB養(yǎng)老金估值率的波動相對平穩(wěn)，有望與長期利率行為相一致。利用 2001年1月至2010年12月的美國國稅局綜合公司債券利率月度數(shù)據(jù)，我們得到了表1所示的最大似然估計數(shù)。

2.2 DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)

假設DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)PAIt是由t時刻的三個指數(shù)組成：美國標準普爾 500 指數(shù)(i=1)、美林公司債券指數(shù)(i=2)和3個月國債指數(shù)(i=3)，其權重分別為ω1，ω2和ω3。在物理風險測度下(P)，標普 500 指數(shù)在t時刻的過程A1,t由下面這個隨機微分方程描述

其中α1是標普 500 指數(shù)的瞬時期望回報，σ1是標普500指數(shù)的瞬時波動率 。是均值為0 方差為t的標準布朗運動，λ1為泊松過程N1t單位時間內(nèi)的抵達率，獨立同分布大小V1j，j=1,2,...被建模為對數(shù)正態(tài)隨機變量，因此，它的對數(shù)Y1j=logV1j是一個均值為m1、標準差為s1的標準正態(tài)隨機變量。泊松事件將導致標普 500 指數(shù)中預期的百分比改變相當于k1=E(V1j-1)。隨機微分方程(5)的解為：

為了在測度變化下保持相同的跳躍擴散框架，我們遵循 Gerber和Shiu(1994)[15]的方法，采用對數(shù)資產(chǎn)收益的必要變換作為鞅等價測度，證明了這種風險中性測度是最接近的鞅等價測度。通過其相應的Radon-nikodym 導數(shù)定義風險中性 Esscher 測度P*(Xt,h)為：

表1 DB養(yǎng)老金估值率的最大似然參數(shù)估計Table1 Estimation of maximum likelihood parameter of BD pension estimation rate

其中h是常數(shù)，使得存在。

其中r是無風險利率，是一個P*測度下的標準布朗運動，并且新的泊松和跳躍大小參數(shù)是：

確定了參數(shù)h，使得是關于Esscher 風險測度P*的鞅。更具體地說，參數(shù)h滿足：

這種物理風險測度和風險中性 Esscher 測度下的參數(shù)之間的顯式解析關系為第5 節(jié)的數(shù)值說明提供了很大的方便。

美林公司債券指數(shù)和3個月國債指數(shù)(i=3)的動態(tài)過程被建模為幾何布朗運動：

其中常數(shù)α2(α3)是美林公司債券指數(shù)(3個月國債指數(shù))的漂移項，其瞬時波動率為σ2(σ3)。在(11)和(12)中的是均值為0 方差為t的標準布朗

假設資產(chǎn)的價格X(t)可表示為：

大量的事實證明，在市場經(jīng)濟條件下，通貨膨脹是時有發(fā)生的，我們假設通貨膨脹是隨機過程，其價格水平Qt服從如下的隨機微分方程：

命題1 如果標普 500 指數(shù)在t時刻的過程A1,t滿足隨機微分方程(5)，美林公司債券指數(shù)(i=2)和3個月國債指數(shù)(i=3)的動態(tài)過程滿足幾何布朗運動(11)，則基于通貨膨脹風險(14)下的隨機方程(15)的解為：

證明

其中ω1+ω2+ω3=1，根據(jù)幾何布朗運動求解公式(17)解得：

DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)PAIt是由指數(shù)I在時間t組成的市場投資組合的價值決定的。即

為了增加模型校準的觀測量，我們利用 1988年1月至2010年12月的月數(shù)據(jù)估計了這三個指標的(6)和(11)中的參數(shù)。美國標準普爾 500 指數(shù)、美林公司債券指數(shù)和3個月國債指數(shù)的月度歷史數(shù)據(jù)都是從數(shù)據(jù)流中獲取的。由于建議的退休金方案只有在每年年底才可行使，所以我們將每月的估計數(shù)轉換為按年計算的估計數(shù)。表2 報告了年度最大似然估計數(shù)。

2.3 DB養(yǎng)老金基金指數(shù)

基于指數(shù)證券化降低了道德風險和逆向選擇，增加了流動性，降低了交易成本，并提供了一個標準化和透明的結構。具體來說，t時刻的DB養(yǎng)老金基金指數(shù)PFIt是指DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)PAIt與DB養(yǎng)老金負債指數(shù)PLIt的比率：

由于我們在計算DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)時考慮了通貨膨脹，這因此就改變了DB養(yǎng)老金基金指數(shù)，下面我們來討論通貨膨脹下的DB養(yǎng)老金基金期權和DB養(yǎng)老金收購期權的定價方式。

表2 三種資產(chǎn)指數(shù)的最大似然參數(shù)估計Table2 Estimation of maximum likelihood parameters of three asset indexes

3 DB養(yǎng)老金期權定價

根據(jù)上述DB養(yǎng)老金資產(chǎn)和負債指數(shù)模型，可以使用傳統(tǒng)的風險中性定價技術對基金和收購期權進行估價。

3.1 資金充足計劃下的DB養(yǎng)老金期權

考慮一項DB養(yǎng)老金計劃，該計劃在0 時刻得到全額資助。假設其資金狀況與DB養(yǎng)老金基金指數(shù)PFIt高度相關。為了管理其DB養(yǎng)老金基金風險，該計劃可以購買以下的n年基金期權，并設置敲定水平K。期權定義為名義金額NA、可行使期權的觸發(fā)基金指數(shù)z，當敲定水平K＞z。它可以在時間t=1,2,...,n時被執(zhí)行，當且僅當PFIt＜z，t時刻的收益概述如下：

我們定義了第二個期權，它識別收購提供者的風險溢價，如下所示，與觸發(fā)水平z、敲定水平K和期限n的定義相同。這一收購期權提供了一個目前資金充足的計劃，在t時有以下回報：

其中Rt是t時刻估計的收購風險溢價。在(11)中，這種收購期權的收益高于基金期權。因此，收購期權的價格將高于基金期權。

3.2 資金不充足計劃下的DB養(yǎng)老金期權

與資金充足的DB養(yǎng)老金計劃不同的是，資金不足的計劃可能沒有立即進行收購的現(xiàn)金。為了使DB養(yǎng)老金收購可行，這樣的計劃可以購買具有敲定水平和名義金額的年期基金期權，但必須滿足當。以下表達式描述時間處此期權的值：

資金不足的公司可能希望在基金比率達到z后立即進行收購交易。在資金完全到位的情況下，我們引入了一種確認的提供者的風險溢價的收購期權。對于這種資金不足的計劃，收購期權的回報，但在時間t的定義如下：

3.3 期權定價

給定期權收益函數(shù)(19)，資金充足的DB養(yǎng)老金的n年基金期權的風險中性價格(按名義金額的百分比計算)可以表示為

其中T1表示第一個觀察到的年底，即DB養(yǎng)老金基金指數(shù)低于觸發(fā)水平z。DB養(yǎng)老金群體N*(t)在(23)中的生存演化是基于轉換后的死亡率，以反映市場對死亡率改善的預期。

如果在基金期權的頂部添加了直接收購功能，且結構完全相同，則n年收購期權的價格將由下式給定

其中

是收購功能的期權溢價。請注意，Rt是一個在時間t時資金充足的DB養(yǎng)老金計劃的立即收購溢價。據(jù) Lin 等人(2017b)[16]，Rt可以分解為投資風險溢價和長壽風險溢價。更具體地說，考慮到PAIt=PLIt在t時刻，

其中立即收購投資風險溢價Pinvest,t由下式給出

其中

及時收購長壽風險溢價Plongevity,t如下

為了獲得DB養(yǎng)老金基金和收購期權的價格，我們需要使用反映市場對未來死亡率改善的預期的轉換死亡率。我們使用 Wang 變換來扭曲死亡率。要轉換的隨機變量是生命年齡x在時間 0 時的剩余壽命時間T(x,0)。該變換適用于其從而得到轉換后的cdc如下：

其中累積概率

是一個生命年齡x在時間上 0 在s年內(nèi)死亡的概率。在(29)中，λ＞0 是系統(tǒng)長壽風險的市場價格。Ф(·)是標準正態(tài)cdf。經(jīng)過變換，我們可以得到年齡為x的風險中性的s年生存率用于定價：

同樣，根據(jù)(21)中定義的資金不足計劃的n年基金期權收益可以獲得期權價格通過

其中T2表示第一個觀察到的年底，即DB養(yǎng)老金基金指數(shù)超過觸發(fā)水平z。最后，對于資金不足的計劃的n年基金期權收益可以獲得其價格是

其中

也是收購附加的溢價。

4 數(shù)值計算

假設時間為0 時刻，W 公司的所有計劃參與者都達到退休年齡x0=65，每名退休人員只要是在每年年底還活著，每年可領取 60000 便士的生存津貼。這個群體假設有N(0)=5000 名退休人員在0 時刻與美國男性人口有相同的死亡經(jīng)歷，因此，它遵循了DB養(yǎng)老金負債指數(shù)PLIt在(1)中的相同動態(tài)。進一步假設W 公司最初將其DB養(yǎng)老金資產(chǎn)的比例ω1=0.5 投資于美國標準普爾 500 指數(shù)、ω2=0.45 投資于美林公司債券指數(shù)和ω3=0.05 投資于3個月國債指數(shù)在0 時刻時。我們進一步假設 W 公司選擇在每年年底將其資產(chǎn)配置重置為初始權重。

在0 時刻，W 公司的DB養(yǎng)老金計劃資金充足，基金比率為1。為了對沖未來面臨資金限制時無法彌補嚴重資金赤字的風險，公司以t=0 時的價格購買了一個終身DB養(yǎng)老金基金期權。該期權允許公司在整個計劃的整個生命周期內(nèi)，當DB養(yǎng)老金基金指數(shù)PFIt低于觸發(fā)級別z時行使該期權。當在t時刻觸發(fā)此基金期權時，給定敲定水平K，W 公司將獲得由(19)確定的報酬。

假設 0 時刻的DB養(yǎng)老金估值率為rp,0，長期無風險率低于1%，等于r=0.047。在(23)中，我們計算了不同觸發(fā)水平z和敲定基金比率K下的基金期權溢價PFω。結果見表3。當觸發(fā)水平為z=0.8，敲定水平為K=1.00 時，如果基金指數(shù)PFIt降低到80%，W 公司將行使此期權。當這種情況發(fā)生時，該期權將支付足以彌補整個資金短缺的款項，因為該計劃的供資狀況遵循PFIt。為獲得這一期權，在0 時刻按初始DB養(yǎng)老金負債比例PLI0表示，W 公司支付保險費等于PFω=11。28%。

W 公司可以購買具有不同觸發(fā)和敲定水平的其他基金期權。由于觸發(fā)和敲定水平下降，基金期權溢價也會下降。這是因為它不太可能觸發(fā)該期權，如果該期權被觸發(fā)，則該期權的回報較低。例如，如表3所示，當觸發(fā)級別z從 0.8 降至0.7，敲定基金比率K從 1.00 降至0.90 時，基金期權溢價PFω從 11.28% 降至6.08%。

如果在未來出現(xiàn)嚴重的資金赤字后，W 公司很難為退休人員的DB養(yǎng)老金提供資金，那么它可能想通過收購來降低DB養(yǎng)老金的風險。然而，在這種情況下，DB養(yǎng)老金收購成本將高得令人望而卻步。除了用現(xiàn)金注入來彌補資金赤字外，W 公司還必須支付收購風險溢價。為了對沖這一風險，W 公司可以購買DB養(yǎng)老金收購期權。表3的最后一列顯示了在給定觸發(fā)水平下購買收購期權的風險溢價價格PRω。例如，當觸發(fā)器z=0.8 時，買斷附加成本PRω=5.62%。這意味著 W 公司需要支付 16.90%(PFω+PRω=11.28%+5.62%)的溢價才能購買這種收購期權。這種收購期權允許 W 公司在養(yǎng)老基金指數(shù)降至z=0.8 時將其全部DB養(yǎng)老金負債轉移給期權賣方。類似于基金期權的模式，收購期權的價格隨著觸發(fā)水平的降低而下降。當觸發(fā)水平z從 0.8 降至0.7 時，收購期權溢價PRω從 16.90%(PFω+PRω=11.28%+5.62%)降至12.35%(PFω+PRω=9.21%+3.14%)。

對于資金充足的養(yǎng)老公司來說，收購期權是否很昂貴？為了回答這個問題，我們在第0 時間比較了收購期權和即時DB養(yǎng)老金收購的成本。跟蹤Eqs.(25)-(28)，如果公司將其DB養(yǎng)老金義務在0 時轉移給收購風險承擔者，則我們獲得的收購價格等于R0=13.83%。當觸發(fā)點為z=0.8 時，收購期權溢價為PRω=16.90%。雖然收購期權要求的現(xiàn)金流出要高于0 時刻收購，但當期權被觸發(fā)時，它提供了額外的保護，彌補了整個資金赤字，至少占DB養(yǎng)老金負債的22.20%。如果將觸發(fā)因素降低到z=0.7%，則收購期權的總成本僅為PRω=12.35%，低于即時收購R0=13.83%的價格，如果 W 公司只想在最需要保護的時候轉移DB養(yǎng)老金風險，就可以購買低觸發(fā)水平的收購期權(例z=0.7)。

與像 W 公司這樣的計劃資金充足的公司相比，資金不足的公司可能希望從資產(chǎn)負債表中消除DB養(yǎng)老金負債，因為強制性DB養(yǎng)老金繳款會帶來巨大的財政負擔。隨著DB養(yǎng)老金收購，他們不得不等到他們的計劃得到充分的資金，他們有財政資源支付買斷風險溢價。收購期權使得DB養(yǎng)老金收購變得越來越容易。假設 U 公司的DB養(yǎng)老金計劃與 W 公司的DB養(yǎng)老金計劃成員和資產(chǎn)組成相同，但在第0 時其資金不足 20%(基金比率為PFI0=80%)。它購買了一個終身基金期權，當DB養(yǎng)老金基金指數(shù)PFIt提高到觸發(fā)水平z時，該期權提供資金。具有不同觸發(fā)和敲定水平的終身基金期權的價格如表4所示。考慮到具有再平衡的固定權重，如果 U 公司購買一個觸發(fā)水平z=0.85、敲定水平K=1.00的終身基金期權，則需要支付PFu=6.82%的基金期權溢價。當DB養(yǎng)老金基金指數(shù)PFIt提高到0.85 時，這一基金期權將覆蓋全部資金赤字。如果 U 公司希望在期權被觸發(fā)時進行收購，它將需要支付額外的收購附加溢價PRu=6.12% 來實現(xiàn)這個目標。在這種情況下，DB養(yǎng)老金收購期權的總溢價為PBu=12.94%(=PFu+PRu=6.82%+6.12%)。請注意，與立即收購相比，它要便宜得多，后者將花費 33.83%(=20%的資金赤字+13.83%的收購溢價)。如果 U 公司選擇一個觸發(fā)率更高的收購期權，那么DB養(yǎng)老金收購期權的成本就會更低。例如，當z=0.9 時，收購期權溢價降至PBu=7.72%(=PFu+PRu=2.96%+4.76%)。

我們還發(fā)現(xiàn)，基金和收購期權溢價隨著初始基金比率PFI0而降低。例如，當z=0.90，K=1.00，z=0.9 時，基金(收購)期權溢價為2.08%(6.05%)，低于PFI0=0.8，2.96%(7.72%)。這是因為資金嚴重不足的計劃更難改進和觸發(fā)給定的觸發(fā)水平z。因此，對于z和K的每一個組合，對于資金不足的計劃，基金和收購期權都比較便宜。

表3 資金充足計劃的終身基金和收購期權溢價，并不斷調(diào)整權重Table3 Lifetime fund and acquisition option premium for fund-sufficient programs,and constantly adjust the weight

表4 資金不足計劃的終身基金和收購期權溢價，并不斷調(diào)整權重Table4 Under-funded plan life fund and acquisition option premium,and constantly adjust the weight

5 結論

本文考慮通貨膨脹服從隨機微分方程，在計算DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)時，把通貨膨脹考慮進去，會使得計算出來的期權價格更符合實際情況。首先對DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)和DB養(yǎng)老金負債指數(shù)的演化進行了建模，得到了養(yǎng)老基金指數(shù)的動態(tài)變化。然后，我們計算了保險公司承擔DB養(yǎng)老金資產(chǎn)收益不確定風險的投資風險溢價和長壽風險溢價，這種風險解釋了DB養(yǎng)老金參與者壽命比預期長的風險，并將通貨膨脹風險考慮進去，在計算DB養(yǎng)老金資產(chǎn)指數(shù)時加入通貨膨脹。經(jīng)過計算，加入通貨膨脹后的期權價格會比 Cox 等人(Cox,2017)[2]計算出期權價價格高。在對于DB養(yǎng)老金計劃資金充足與不充足兩種情況進行了分情況討論，我們證明，對于資金充足的計劃來說，DB養(yǎng)老金期權會為其提供推遲收購的時間，而對于資金不足的計劃來說，DB養(yǎng)老金期權是一種成本效益高的方式，可以更快地進行收購。為了證明我們的結果的穩(wěn)健性，我們探討了一個參數(shù)中的值變化如何影響DB養(yǎng)老金期權價格。數(shù)值算例驗證了定價模型的可靠性，得到了合理的結果。