讓學(xué)生多角度親近統(tǒng)計(jì)量

黃建

【教學(xué)內(nèi)容】

浙教版五年級(jí)上冊(cè)第三單元“平均數(shù)”。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和分析過程，構(gòu)建平均數(shù)的概念，感知平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，理解和掌握簡(jiǎn)單的求平均數(shù)的方法，感受平均數(shù)的實(shí)際需求。

2.在運(yùn)用平均數(shù)的知識(shí)解釋簡(jiǎn)單的生活現(xiàn)象過程中，培養(yǎng)初步的統(tǒng)計(jì)意識(shí)和數(shù)據(jù)分析能力。

3.了解平均數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，感知數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

【教學(xué)過程】

一、平均數(shù)的引入

1.出示情境：亮亮很喜歡投籃，他想?yún)⒓訉W(xué)校的投籃比賽。他回家好好練習(xí)了一下，一共投了5次（每次投10下），分別投進(jìn)5，6，8，10，6個(gè)。

2.獨(dú)立思考：亮亮在填報(bào)名表的時(shí)候遇到了麻煩。他到底要填幾個(gè)呢？

3.全班交流。

（1）最大值。

師：他想了想，填了10?？墒沁^了一會(huì)，又把它涂掉了。你能理解他的做法嗎？他是怎么想的？

生：10個(gè)是他投得最多的個(gè)數(shù)。

生：這是他投得最多的一次！但不能保證每次都投得這么好！

師：這個(gè)成績是他所有成績中，投中個(gè)數(shù)最多的。他怕下次投不到這么多。

（2）最小值。

師：他又填了5，沒過多久又把它涂掉了。如果是你，你會(huì)涂掉嗎？為什么他把這個(gè)5涂掉了？

生：這么差的成績我肯定劃掉！

生：你看，5是最少的，他還能投到10個(gè)呢！

師：5個(gè)是投中最少的個(gè)數(shù)，5能代表他的水平嗎？

（3）總體水平。

師：5不合適，10也不合適，那你覺得填幾比較合適？

生：我填的是6，因?yàn)槌霈F(xiàn)次數(shù)最多。（板書：次數(shù)最多）

生：我們覺得填7，7更能代表他的水平。

生：7不是最好的，也不是最差的。不多不少。剛剛好！我覺得應(yīng)該填表示亮亮通常情況下的投籃個(gè)數(shù)。

生：是的！7能表示亮亮投籃的一般水平。

生：不可以填，它沒有出現(xiàn)過。

生：可以填！雖然這次沒有出現(xiàn)，但是不代表以后不出現(xiàn)。

師：看來7這個(gè)數(shù)雖然沒出現(xiàn)，如果一直投下去很有可能投到7。7是怎么來的？

生：我覺得可以算出來。我是這樣算的：（5+6+8+10+6）÷5=7（個(gè)）。

生：其實(shí)就是總個(gè)數(shù)除以次數(shù)就能算出平均數(shù)。

二、數(shù)形結(jié)合——理解平均數(shù)的含義

師：現(xiàn)在黃老師把他投籃的情況這樣表示出來（圖略），你能看明白嗎？你能把代表他水平的7找到嗎？

生：你看！把這兩個(gè)球移到這里，把這個(gè)球移到這里，把兩個(gè)球移到這里，這樣每次都是7個(gè)。

生：其實(shí)還可以這樣移，我把這個(gè)最多的移到最少的這里，之后又把多的3個(gè)移到少的這里。這樣，每次也都是7個(gè)。

師：7就是這些數(shù)的平均數(shù)，大家理解平均數(shù)的含義了嗎？

師：這種方法叫作“移多補(bǔ)少”法。

（設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的投籃比賽導(dǎo)入，引出“哪個(gè)成績能夠代表亮亮的總體水平”，考查學(xué)生處理數(shù)據(jù)的能力。在比較了最大值與最小值后，學(xué)生提出了眾數(shù)、平均數(shù)，接著學(xué)生討論了代表其水平的7的合理性。在這個(gè)過程中，學(xué)生一步步聚焦數(shù)據(jù)本身，慢慢地感知平均數(shù)的意義。而對(duì)于7是如何得來的這個(gè)問題，學(xué)生又從計(jì)算、移多補(bǔ)少兩個(gè)方面進(jìn)行了思考。）

三、感知平均數(shù)的虛擬性

1.數(shù)據(jù)變化——區(qū)分具體量和統(tǒng)計(jì)量。

師：這是謝同學(xué)4月份第一周的引體向上成績，第二周他的成績是這樣的。這周他的平均成績是多少？你是怎么想的？

生：把多的補(bǔ)給少的就可以了，所以還是5。

生：我覺得很有可能是3，4，5，6，7，所以平均數(shù)還是5。

師：原來可以根據(jù)數(shù)的特征進(jìn)行估計(jì)。這里有兩個(gè)5，這兩個(gè)5表示的意思一樣嗎？

生：不一樣。第一個(gè)5表示謝同學(xué)第3次引體向上的個(gè)數(shù)，第二個(gè)5表示他5次平均的個(gè)數(shù)。這個(gè)5是算出來的。

生：是的！后面這個(gè)5是根據(jù)（3+4+5+6+7）÷5算出來的。

師：看來第一個(gè)5是具體的個(gè)數(shù)，第二個(gè)5是通過計(jì)算統(tǒng)計(jì)出來的量。

2.數(shù)據(jù)對(duì)比——感知具體量與統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系。

師：你看！這兩組數(shù)不一樣，為什么它們的平均成績都是5個(gè)呢？

生：因?yàn)樗鼈兊目倐€(gè)數(shù)是一樣的，次數(shù)也一樣。

生：是??！都是5次，總數(shù)都是25個(gè)，所以平均成績是不變的。

師：總數(shù)不變、次數(shù)不變，所以整體水平?jīng)]有發(fā)生變化。

3.逆向思維——根據(jù)統(tǒng)計(jì)量找具體量。

師：第三周他的平均成績是6個(gè)！你覺得這5次的成績分別是幾個(gè)？跟你的同桌交流一下。怎么來判斷它們的結(jié)果是否正確？

生：可能是6，6，6，6，6，也可能是4，5，6，7，8。

生：其實(shí)只要這五個(gè)數(shù)的和是30就可以了。

生：平均數(shù)是6，一共做了5次，因此和是30就可以了。

師：平均成績是6個(gè)，這里明明沒有哪一次是6個(gè)?。?/p>

生：這個(gè)6是計(jì)算出來的。

生：是??！而且它可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)。

師：看來！平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)出來的。平均數(shù)可能出現(xiàn)在這組數(shù)中，也可能不出現(xiàn)。

（設(shè)計(jì)意圖：平均數(shù)是一個(gè)“虛擬值”，學(xué)生如何感受呢？教師在數(shù)據(jù)大小、數(shù)據(jù)呈現(xiàn)方式上進(jìn)行變化。在數(shù)據(jù)的大小上：學(xué)生感知當(dāng)總量和次數(shù)都保持不變時(shí)，平均數(shù)也不變。在數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式上：第二周的成績只給中間的具體量與圖形，猜測(cè)其平均數(shù)，第三周的成績根據(jù)平均數(shù)猜測(cè)具體量，引導(dǎo)學(xué)生理解平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)得到的，代表一組數(shù)的整體水平，它可能出現(xiàn)在這組數(shù)中，也可能不出現(xiàn)。）

四、數(shù)據(jù)變化中理解平均數(shù)的敏感性

1.預(yù)測(cè)變化。

師：現(xiàn)在我們?cè)賮砜刺K。這個(gè)小組又加入了一名新成員，歡迎嗎？

生：得看他的成績。

生：是的！如果很差，我們才不歡迎他呢。

生：如果他的成績是170個(gè)以上，就能拉高整個(gè)組的平均成績，我們就歡迎他。

2.平均數(shù)受極值的影響較大。

師：（出示成績）現(xiàn)在呢？你有什么話想對(duì)他說？

生：你的成績太低了。

生：你的成績把整組的平均成績都拉低了。

生：是??！你的成績太差了，影響了這個(gè)組的平均成績。

師：黃同學(xué)跳了2個(gè)，你覺得平均成績會(huì)發(fā)生什么變化？想象一下。經(jīng)過黃同學(xué)的不斷努力，最終他跳了250下，現(xiàn)在還能想象平均數(shù)是多少嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)黃同學(xué)成績低，這組的平均成績就低;他跳繩個(gè)數(shù)增加了，這組的平均成績就變高了。

3.平均數(shù)受每個(gè)數(shù)的影響。

師：只有黃同學(xué)的成績對(duì)這六個(gè)人的平均成績有影響嗎？

生：那不是的！

生：其實(shí)每一個(gè)同學(xué)的成績對(duì)平均數(shù)都有影響。

生：是??！你看（120+120+130+120+110+12）÷6=102（個(gè)），每個(gè)成績發(fā)生變化對(duì)平均成績都有影響。

師：原來每個(gè)數(shù)的變化都會(huì)影響平均數(shù)。只不過極端數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響更大。有時(shí)候?yàn)榱斯狡鹨?，我們?huì)去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，再來計(jì)算它的平均成績。你們覺得這樣處理有什么好處？

生：平均數(shù)受每個(gè)數(shù)的影響，很大或者很小的數(shù)對(duì)平均數(shù)影響很大。

生：更能代表他的真實(shí)水平。

師：你對(duì)平均數(shù)有什么新的認(rèn)識(shí)？

（設(shè)計(jì)意圖：平均數(shù)是一個(gè)“敏感”的統(tǒng)計(jì)量。它的敏感性體現(xiàn)在它受每個(gè)數(shù)的影響，極值對(duì)它的影響很大，這樣的體會(huì)在本環(huán)節(jié)中層層展開，在未知第六個(gè)數(shù)據(jù)前先討論，如果新增一個(gè)同學(xué)你們是否歡迎。這種討論具有數(shù)學(xué)味，當(dāng)他的成績很低或很高時(shí)，學(xué)生的情緒也隨之發(fā)生變化，情緒的變化來源于他對(duì)平均數(shù)“敏感”的體驗(yàn)。）

五、平均數(shù)的應(yīng)用

1.出示題目。

2.小組交流：選擇你最感興趣的一題，獨(dú)立完成。

3.全班討論。

師：對(duì)于第一題，黃老師收到了兩種解法。你們同意誰，理由是什么？

生：計(jì)算平均每個(gè)班級(jí)捐書多少本，因此要除以班級(jí)數(shù)。所以第一種解法對(duì)。

師：原來反映的是兩個(gè)班級(jí)的整體水平，除以2。

師：對(duì)于第二題，有些同學(xué)是這樣想的，還有同學(xué)是這樣想的，你能讀懂嗎？

4.信息提取與簡(jiǎn)單推斷。

師：這里有一則招聘廣告，你獲得了哪些信息？有什么想法？

生：110萬元是比較多的。可能是騙人的。

生：說明這個(gè)公司整體的水平是比較高的，只不過有些人的年薪比110萬元低，有些人的年薪比110萬元高。

生：從月薪中我發(fā)現(xiàn)，工資比較多的占了一半多。說明有一部分人的工資是很高的，拉高了整個(gè)公司的平均年薪。還有少部分人的年薪是很低的。

師：如果黃叔叔想去他們公司，你推薦嗎？

生：我推薦??！平均工資這么高，去了一定年薪很高。

生：我覺得要看黃叔叔的水平，如果水平比較高可以去，這樣他的工資也很高。

生：是的！萬一他去是屬于4500～6000元的月工資，不是所有人工資都這么高的。

師：遇到類似的情況我們要學(xué)會(huì)理性地分析數(shù)據(jù)。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。一方面，學(xué)生利用平均數(shù)的知識(shí)解決問題，選擇求平均數(shù)的合適方法;另一方面，學(xué)生從生活情境中提取數(shù)學(xué)信息，并且進(jìn)行簡(jiǎn)單的推斷。）

（浙江省杭州市勝利實(shí)驗(yàn)學(xué)校 ? 310000）