基于多井模型的壓裂參數(shù)-開發(fā)井距系統(tǒng)優(yōu)化

王軍磊，賈愛林，位云生，賈成業(yè)，齊亞東，袁賀，金亦秋

（中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083）

0 引言

水平井鉆井及分段壓裂技術(shù)廣泛應(yīng)用于非常規(guī)儲(chǔ)集層油氣開發(fā)。研究表明影響井產(chǎn)能的主控因素眾多，主要分為地層參數(shù)、流體參數(shù)及鉆完井參數(shù)[1]，其中地層參數(shù)和流體參數(shù)是不可控因素，鉆完井參數(shù)由工程設(shè)計(jì)確定，屬于人為可控因素。從油藏工程角度看，水平井多段壓裂的目的是在盡可能增加裂縫與地層接觸面積的前提下，提高裂縫內(nèi)部的有效導(dǎo)流能力，降低流動(dòng)過程中的滲流阻力，改善生產(chǎn)效果。對(duì)于包括多口壓裂水平井的開發(fā)平臺(tái)而言，最主要的設(shè)計(jì)指標(biāo)包括井距、段距、支撐劑用量、裂縫長度及導(dǎo)流能力等[2-4]。

開發(fā)平臺(tái)設(shè)計(jì)指標(biāo)優(yōu)化的難點(diǎn)主要體現(xiàn)在模擬要充分體現(xiàn)縫間干擾、井間干擾、裂縫導(dǎo)流影響下的生產(chǎn)動(dòng)態(tài)特征，以及厘清主控因素與生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和主控因素間的關(guān)聯(lián)性。在生產(chǎn)動(dòng)態(tài)模擬方面，王曉冬等[5]在Chen和Raghavan[6]研究基礎(chǔ)上采用均勻流量裂縫和裂縫導(dǎo)流因子的方法獲得了非穩(wěn)態(tài)滲流解析解，解決裂縫間干擾問題，較好地模擬了單口壓裂水平井壓力動(dòng)態(tài)特征；Chen等[7]建立了考慮有限導(dǎo)流裂縫空間分布復(fù)雜性的地層-裂縫耦合流動(dòng)模型，并給出了相應(yīng)的邊界元求解方法，有效解決了復(fù)雜形態(tài)裂縫的非穩(wěn)態(tài)滲流問題；方文超等[8]建立了考慮復(fù)雜裂縫跨尺度特性的離散裂縫數(shù)值模型，突破了單井尺度的規(guī)模限制，模擬了包含 3口長體積壓裂水平井的開發(fā)平臺(tái)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)；Yu等[9]采用半解析方法描述了不同井間連通條件下的多口壓裂水平井井間響應(yīng)機(jī)制，重點(diǎn)研究了開發(fā)井距對(duì)鄰井壓力干擾響應(yīng)的影響。在主控因素影響分析方面，目前多數(shù)研究采用單因素控制法逐個(gè)分析特定影響因素，該方法忽略了各因素間的關(guān)聯(lián)性，分析結(jié)果局限性大，對(duì)其他因素隨之產(chǎn)生的影響考慮不周[10-13]；正交試驗(yàn)、灰色關(guān)聯(lián)等分析手段雖然改進(jìn)了單因素控制分析法的局限性，但仍屬于多方案設(shè)計(jì)對(duì)比分析方法，難以全部覆蓋最優(yōu)解空間[14-16]；以輸出結(jié)果為導(dǎo)向的遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能算法計(jì)算量大，尤其是當(dāng)井?dāng)?shù)和壓裂段數(shù)增加時(shí)計(jì)算量更大，不便于推廣應(yīng)用[17-18]。

水平井-壓裂設(shè)計(jì)參數(shù)的同步優(yōu)化是一項(xiàng)復(fù)雜的多參數(shù)優(yōu)化技術(shù)，既是非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)問題，又是涉及多學(xué)科交叉的油藏工程問題。本文以變縫寬導(dǎo)流裂縫為基本流動(dòng)單元，建立多井系統(tǒng)全生命周期生產(chǎn)動(dòng)態(tài)模型，并獲得產(chǎn)量、累計(jì)產(chǎn)量的半解析解；以此為基礎(chǔ)，將經(jīng)典支撐劑指數(shù)法改進(jìn)應(yīng)用至多井/縫的非穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)階段，同時(shí)結(jié)合壓裂設(shè)計(jì)和經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)模型，約束影響參數(shù)的優(yōu)化空間，最終形成一套具有油藏工程意義的多參數(shù)全局優(yōu)化方法。

圖1 平臺(tái)半分支多口壓裂水平井部署示意圖

1 多井非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能評(píng)價(jià)模型

1.1 模型介紹

本文以“井工廠”平臺(tái)的半支為基本研究單元，為了減小非均質(zhì)性影響，平臺(tái)采用水平井均勻部署、裂縫平行排列的模式，同時(shí)裂縫屬性相同（見圖1）。水平井以常壓生產(chǎn)，井底壓力為pwf。假設(shè)儲(chǔ)集層為均質(zhì)地層，裂縫高度等于儲(chǔ)集層厚度，裂縫內(nèi)產(chǎn)出微可壓縮流體。氣體在致密介質(zhì)內(nèi)遵循非線性滲流規(guī)律，根據(jù)Ertekin模型，基質(zhì)內(nèi)流動(dòng)速度可分解為經(jīng)典達(dá)西流和滑脫流[19]：

（1）式中的滑脫速度是由基質(zhì)內(nèi)濃度差引起的，基質(zhì)與水力裂縫交界面上的濃度差可忽略不計(jì)[20]，滑脫效應(yīng)趨近于零，即：

氣體流動(dòng)問題通常引入擬函數(shù)變量對(duì)非線性流動(dòng)進(jìn)行擬線性化處理，其中裂縫內(nèi)擬壓力、基質(zhì)內(nèi)擬壓力分別如下式所示：

非線性流動(dòng)修正因子及與之對(duì)應(yīng)的擬時(shí)間分別為：

處理后可以將非線性氣體流動(dòng)在形式上等效轉(zhuǎn)換為線性化液體流動(dòng)。

由于整個(gè)滲流系統(tǒng)處于同一壓力系統(tǒng)，流動(dòng)過程可分解為連續(xù)的裂縫內(nèi)和地層內(nèi)流動(dòng)兩部分。對(duì)流動(dòng)全過程進(jìn)行建模時(shí)，裂縫和地層采用兩套獨(dú)立空間坐標(biāo)，通過將兩部分流動(dòng)在裂縫面進(jìn)行壓力和流量耦合，可得到不同時(shí)刻地層任一點(diǎn)的壓力和沿裂縫的流量分布。

考慮不同井距條件下水力壓裂對(duì)裂縫開啟的影響，本文采用變縫寬裂縫模型。當(dāng)裂縫延展方向平行于最大主應(yīng)力方向時(shí)，越遠(yuǎn)離井筒的位置井間應(yīng)力陰影越顯著，導(dǎo)致裂縫開啟所需凈壓力增加、支撐劑運(yùn)移受阻，裂縫寬度自井筒向外呈現(xiàn)遞減趨勢(shì)[21]，如下所示：

為了便于數(shù)學(xué)建模，本文定義無因次壓力、無因次產(chǎn)量、無因次累計(jì)產(chǎn)量為：

其余無因次時(shí)間、無因次長度、無因次導(dǎo)流能力及無因次裂縫流量密度為：

其中χ，ψ為單位轉(zhuǎn)換系數(shù)。當(dāng)采用 SI單位制時(shí)，χ=0.5/π，ψ=1；當(dāng)采用礦場(chǎng)單位制時(shí)，χ=1.842，ψ=0.003 6。

1.2 地層流動(dòng)模型

根據(jù)模型假設(shè)平臺(tái)內(nèi)多口水平井處于同一壓力系統(tǒng)，將地層內(nèi)氣體流動(dòng)控制方程變量轉(zhuǎn)化為擬壓力、擬時(shí)間，控制方程符合線性流動(dòng)規(guī)律，因此可以采用壓力疊加原理解決縫間、井間的相互干擾問題。根據(jù)壓力干擾效應(yīng)可以將平臺(tái)流動(dòng)系統(tǒng)分解為以單裂縫為基本單元的子流動(dòng)系統(tǒng)，如圖2所示。根據(jù)物質(zhì)守恒原理，氣體擬壓力控制方程滿足：

圖2 單裂縫引起的壓力擾動(dòng)示意圖

其中，Sf(x，y，t)為水力裂縫內(nèi)流動(dòng)引起的擾動(dòng)函數(shù)：

考慮頁巖解吸氣影響時(shí)，qde(t)為解吸氣的供給函數(shù)[7]：

從儲(chǔ)集層角度看，可以將裂縫進(jìn)一步分解為N個(gè)帶有不同流量強(qiáng)度的微元體，同時(shí)假設(shè)每個(gè)微元體內(nèi)流量分布均勻，流量為qfDi且長度為ΔxfDi。根據(jù)壓力疊加原理，可以得到多裂縫在地層內(nèi)任一點(diǎn)的壓力：

其中[7]

由此可以獲得沿著裂縫面的地層壓力分布。為了便于計(jì)算，將（20）式改寫成矩陣形式：

1.3 變導(dǎo)流裂縫流動(dòng)模型

從裂縫角度看，裂縫內(nèi)的流動(dòng)可視為有源匯的一維流動(dòng)區(qū)域，其中源指的是有流體不斷從地層流入裂縫。單位長度裂縫流量（即流量密度）為qf(x,t)；在裂縫與井筒交匯處存在著匯，流體從裂縫流入井筒，裂縫流量為qw(t)，整個(gè)流動(dòng)過程呈典型的變質(zhì)量流（見圖3a）。

本文建立了變縫寬的裂縫模型（見圖3b），裂縫內(nèi)的一維流動(dòng)規(guī)律可使用如下無因次數(shù)學(xué)模型進(jìn)行描述：

圖3 裂縫內(nèi)變質(zhì)量流動(dòng)示意圖

其中，δ為Dirac函數(shù)，無因次變導(dǎo)流能力函數(shù)為：

（23）式為非常系數(shù)線性微分方程，無法直接求解，引入坐標(biāo)變換法對(duì)其進(jìn)行常系數(shù)化處理。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程如下：

使用（25）式對(duì)（23）式進(jìn)行處理，可以在新坐標(biāo)下獲得常系數(shù)線性微分方程，在此基礎(chǔ)上使用邊界元方法進(jìn)行雙重積分處理[23]，得到裂縫內(nèi)的無因次壓力分布：

其中，G為Heaviside階躍函數(shù)的積分函數(shù)，F(xiàn)redholm積分式為：

考慮到裂縫與井筒相交點(diǎn)周圍的聚流效應(yīng)，引入聚流表皮因子Sc[24]，修正裂縫內(nèi)壓力降：

同樣地，可以將（28）式改寫為矩陣形式：

2 模型求解及驗(yàn)證

地層流動(dòng)模型與裂縫流動(dòng)模型在裂縫面進(jìn)行流量、壓力耦合，滿足如下公式：

值得注意的是，經(jīng)過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的無因次裂縫流量qwD與無因次裂縫流量密度qfDj的關(guān)系為：

其中

利用壓降疊加原理，將多井平臺(tái)滲流系統(tǒng)分解為多個(gè)單級(jí)裂縫，以單裂縫為基本評(píng)價(jià)單元。針對(duì)單條裂縫聯(lián)立（22）式和（29）式輔以相應(yīng)的耦合條件（30）—（31）式，通過求解耦合矩陣可以計(jì)算沿裂縫的流量分布，進(jìn)而計(jì)算產(chǎn)量，同時(shí)根據(jù)累計(jì)產(chǎn)量與產(chǎn)量在Laplace空間下的轉(zhuǎn)換關(guān)系獲得累計(jì)產(chǎn)量。上述求解方程中的未知量可表述為如下矩陣：

需要指明的是，擬時(shí)間是關(guān)于時(shí)間和空間的積分函數(shù)，可將擬時(shí)間近似處理為平均地層壓力關(guān)于時(shí)間的單重積分函數(shù)，如（33）式所示，結(jié)合物質(zhì)平衡（34）式進(jìn)行計(jì)算，具體算法可參考文獻(xiàn)[25]。

分別使用解析模型和數(shù)值模型驗(yàn)證模型的可靠性。Poe等將裂縫單翼分成4個(gè)不同的流動(dòng)區(qū)域，建立了非均質(zhì)裂縫定產(chǎn)量模型，并獲得了經(jīng)典無因次壓力圖版[26]。本文將聚流表皮因子去除后計(jì)算定產(chǎn)量條件下的無因次壓力，計(jì)算結(jié)果與Poe圖版的3個(gè)方案分別進(jìn)行對(duì)比。如圖4所示，2種模型計(jì)算結(jié)果完全一致，從而驗(yàn)證了本文算法在單條變縫寬裂縫壓力動(dòng)態(tài)模擬條件下的適用性。

為進(jìn)一步驗(yàn)證，借助Eclipse數(shù)值模擬器建立多口分段壓裂水平井模型。模型參數(shù)如下：原始地層壓力45.0 MPa，井底壓力6.5 MPa，有效裂縫高度20 m，地層有效孔隙度8%，含油飽和度85%，綜合壓縮系數(shù)4.35×10-4MPa-1，有效泄流區(qū)域內(nèi)地層平均滲透率0.01×10-3μm2，井底壓力6.5 MPa。原油黏度1 mPa·s，體積系數(shù)1.0 m3/m3，井筒半徑0.019 m。裂縫段數(shù)為30，地層幾何尺寸為 1 500 m×1 600 m×20 m，裂縫有效半長114.95 m，裂縫寬度為0.012 7 m，孔隙度為35%。為精確模擬生產(chǎn)動(dòng)態(tài)，裂縫采用網(wǎng)格對(duì)數(shù)加密描述，在裂縫導(dǎo)流能力相同的條件下，數(shù)值模型中裂縫等效寬度 0.1 m，等效孔隙度為 4.4%，等效裂縫最大滲透率采用公式Kfmax=12CfD計(jì)算，在本文算例中分別為37.68×10-3，376.8×10-3，3 768×10-3μm2，沿裂縫滲透率分布如圖5所示。

圖4 非均質(zhì)導(dǎo)流能力垂直裂縫無因次壓力對(duì)比

圖5 沿主裂縫滲透率分布

由于采用均勻布井，3口井壓力分布一致。對(duì)比本文算法與數(shù)值模擬獲得的無因次生產(chǎn)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)（見圖6），結(jié)果表明 2種算法獲得的單井產(chǎn)量與累計(jì)產(chǎn)量高度吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文算法在多井、多裂縫條件下的適用性。

3 裂縫與井距參數(shù)優(yōu)化

影響開發(fā)平臺(tái)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的主要因素包括裂縫數(shù)、裂縫長度、導(dǎo)流能力、水平井?dāng)?shù)、壓裂段長度以及相應(yīng)的位置分布等。由于影響因素較多，為便于討論，把握主要因素間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，本文假設(shè)一種理想模式，即裂縫與水平井均勻分布，縫與縫、井與井之間參數(shù)一致。具有相同屬性的裂縫占相同的子泄流面積（子泄流面積為總泄流面積的1/（nwnf）），這樣影響多井平臺(tái)生產(chǎn)特征的因素可歸結(jié)為兩大類：裂縫總長度和裂縫導(dǎo)流能力。

在給定支撐劑量條件下裂縫總長度和裂縫導(dǎo)流能力增加會(huì)共同“爭奪”支撐劑體積，當(dāng)兩者間達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，生產(chǎn)井產(chǎn)能指數(shù)達(dá)到最大，即 Economides等提出的支撐劑指數(shù)法，傳統(tǒng)支撐劑指數(shù)法理論僅適用于單條均勻?qū)Я髁芽p的擬穩(wěn)態(tài)假設(shè)條件，以擬穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能指數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)，與時(shí)間無關(guān)[27-28]。

本文以多井系統(tǒng)為研究對(duì)象，以總支撐劑體積（與壓裂規(guī)模相關(guān)）為約束條件，以動(dòng)態(tài)累計(jì)產(chǎn)量為優(yōu)化目標(biāo)，建立全生命周期的壓裂-水平井參數(shù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化方法。其中，改進(jìn)的支撐劑指數(shù)定義為：

為方便標(biāo)記，下文中提及的無因次導(dǎo)流能力即為（35）式中的CfDmax。

圖6 2種算法計(jì)算得到的無因次產(chǎn)量及累計(jì)產(chǎn)量對(duì)比

3.1 裂縫導(dǎo)流能力和長度優(yōu)化

裂縫導(dǎo)流能力和裂縫長度是平衡裂縫與地層流入流出關(guān)系的關(guān)鍵指標(biāo)（本文假設(shè)裂縫高度與地層厚度相等），考慮到裂縫寬度與裂縫滲透率之間呈正相關(guān)關(guān)系，使用裂縫導(dǎo)流能力（Kfwf）代替裂縫寬度。本文以單裂縫為研究對(duì)象，聚焦裂縫導(dǎo)流能力和長度優(yōu)化過程，地層尺寸假設(shè)為400 m×50 m×20 m，使用裂縫穿透率表征裂縫長度（Ix=Lf/xe），無因次導(dǎo)流能力表征裂縫導(dǎo)流能力。

圖7 不同時(shí)刻有限導(dǎo)流裂縫導(dǎo)流能力和長度優(yōu)化

裂縫導(dǎo)流能力和長度隨支撐劑指數(shù)變化的優(yōu)化結(jié)果如圖7所示，當(dāng)壓裂規(guī)模不考慮支撐劑體積約束時(shí)，無因次累計(jì)產(chǎn)量隨裂縫穿透比和導(dǎo)流能力增加而單調(diào)遞增，但遞增幅度逐漸減小，直到極限值，此時(shí)裂縫完全貫穿地層且達(dá)到無限導(dǎo)流能力；而考慮約束時(shí)，累計(jì)產(chǎn)量與裂縫導(dǎo)流能力和長度存在最優(yōu)值，即圖中離散點(diǎn)，最大無因次累計(jì)產(chǎn)量隨著支撐劑指數(shù)增加而增加。對(duì)比圖7a和圖7b可以看出，不同時(shí)刻下最優(yōu)裂縫導(dǎo)流能力和長度結(jié)果不同。

為厘清生產(chǎn)時(shí)間對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，重新計(jì)算獲得裂縫導(dǎo)流能力隨時(shí)間變化的優(yōu)化結(jié)果（見圖8）。以圖8a為例，最大無因次累計(jì)產(chǎn)量隨著生產(chǎn)時(shí)間增加而增加，而最優(yōu)裂縫無因次導(dǎo)流能力卻逐漸遞減且趨近于常數(shù)。對(duì)比圖8a—8d可以看出，支撐劑指數(shù)越大，在相同時(shí)刻下所對(duì)應(yīng)的最大無因次累計(jì)產(chǎn)量越大，在相同時(shí)間間隔內(nèi)最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力值的變化區(qū)間越大，且所趨近的常數(shù)也越大。圖8b在無因次時(shí)間為0.01～1 000時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力為 1.62～100.00，趨近值為1.62；圖8d在相同的時(shí)間間隔內(nèi)最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力為15～400，趨近于15。

圖9總結(jié)了不同時(shí)刻、不同支撐劑指數(shù)下的最優(yōu)裂縫導(dǎo)流能力和長度、最大累計(jì)產(chǎn)量的變化規(guī)律。圖9a表明當(dāng)支撐劑指數(shù)較小時(shí)，隨著支撐劑指數(shù)的減小最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力逐漸遞減且趨近于常量；無因次時(shí)間越大，最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力維持常量所對(duì)應(yīng)的支撐劑指數(shù)區(qū)間越大，如無因次時(shí)間為1 000時(shí)最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力在支撐劑指數(shù)為1×10-8～1×10-1時(shí)均為常量，無因次時(shí)間為 0.01時(shí)最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力在支撐劑指數(shù)為1×10-8～1×10-7時(shí)為常量。隨著支撐劑指數(shù)增加，最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力和最優(yōu)裂縫穿透比均增加，當(dāng)裂縫完全貫穿地層時(shí)（Ix=1），最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力與支撐劑指數(shù)呈線性關(guān)系。圖9b表明當(dāng)支撐劑指數(shù)一定時(shí)，隨著生產(chǎn)時(shí)間的增加，最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力不斷減小且趨近于常量，常量值與支撐劑指數(shù)呈正相關(guān)關(guān)系，如支撐劑指數(shù)為 1×10-2時(shí)對(duì)應(yīng)最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力為1.62，支撐劑指數(shù)為1×103時(shí)對(duì)應(yīng)最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力為175?？偟膩砜?，當(dāng)無因次生產(chǎn)時(shí)間（即生產(chǎn)周期）較短時(shí)，可壓裂長度較小且導(dǎo)流能力較高的裂縫；當(dāng)無因次生產(chǎn)時(shí)間較長時(shí)，可壓裂長度較大且導(dǎo)流能力較低的裂縫。需要強(qiáng)調(diào)的是，最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力所趨近特征值1.62與Valko和Economides優(yōu)化結(jié)果基本一致[27]，也證明了本文優(yōu)化方法的可靠性。

3.2 縫距-井距優(yōu)化

圖8 不同支撐劑指數(shù)下的有限導(dǎo)流裂縫導(dǎo)流能力動(dòng)態(tài)優(yōu)化圖版

在泄流面積不變的條件下，裂縫泄流面積形狀會(huì)影響裂縫導(dǎo)流能力和長度的優(yōu)化結(jié)果，本文使用縫距與井距比值（λ=ye/xe）表征泄流面積形狀，該值由裂縫數(shù)和水平井?dāng)?shù)確定（ye=yef/nf，xe=xef/nw）。圖10反映了λ值對(duì)裂縫生產(chǎn)動(dòng)態(tài)的影響，其中假設(shè)裂縫為完全貫穿、無限導(dǎo)流。當(dāng)產(chǎn)量遞減至近似為 0時(shí)無因次累計(jì)產(chǎn)量趨近于極限值（0.5xeDyeD/π），由于泄流面積相等，不同λ值下的極限累計(jì)產(chǎn)量相同。當(dāng)λ值較小時(shí)，對(duì)應(yīng)泄流面積呈長條狀，裂縫與地層接觸面積較大，滲流阻力較小，裂縫早期產(chǎn)量較高，能在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到極限累計(jì)產(chǎn)量。同時(shí)，λ較小時(shí)所對(duì)應(yīng)的無因次累計(jì)產(chǎn)量在整個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)始終高于λ較大時(shí)。

考慮支撐劑指數(shù)約束后，λ值對(duì)最大無因次累計(jì)產(chǎn)量及最優(yōu)裂縫導(dǎo)流能力和長度均會(huì)產(chǎn)生影響（見圖11）。如圖11a所示，隨著支撐劑指數(shù)的增加最大無因次累計(jì)產(chǎn)量趨近于最高值，λ值越?。ㄕp距、大井距模式）對(duì)應(yīng)的最高值越大，此時(shí)裂縫達(dá)到無限導(dǎo)流能力且完全貫穿地層（見圖11b）。當(dāng)支撐劑指數(shù)較小時(shí)（小于1×103），不同λ值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力相同，但較大λ值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)裂縫穿透比較大（見圖11b），所以相應(yīng)的最大無因次累計(jì)產(chǎn)量較大（見圖11a）。需要強(qiáng)調(diào)的是，圖版所反映的特征與生產(chǎn)時(shí)間取值有關(guān)，當(dāng)時(shí)間足夠大時(shí)所有λ值對(duì)應(yīng)的無因次最大累計(jì)產(chǎn)量均相等，而當(dāng)時(shí)間足夠小時(shí)在低支撐劑指數(shù)下λ值對(duì)圖版的影響很小。

圖9 生產(chǎn)時(shí)間和支撐劑指數(shù)對(duì)裂縫導(dǎo)流能力和長度優(yōu)化的影響

圖10 縫距與井距比值對(duì)生產(chǎn)動(dòng)態(tài)特征的影響圖版

圖11 縫距與井距比值對(duì)裂縫導(dǎo)流能力和長度優(yōu)化的影響（tD=1 000）

3.3 多參數(shù)系統(tǒng)優(yōu)化

優(yōu)化多井平臺(tái)壓裂水平井的開發(fā)效果主要通過增加裂縫與地層接觸面積、降低井間干擾和縫間干擾、平衡裂縫與地層的流入流出關(guān)系實(shí)現(xiàn)，當(dāng)這幾種關(guān)系達(dá)到平衡時(shí)生產(chǎn)效果最佳。

本文假定半支平臺(tái)幾何尺寸為 1 500 m×1 500 m×20 m，以支撐劑體積為約束條件，以總NPV值（凈現(xiàn)值）為目標(biāo)函數(shù)，采用嵌套式方法進(jìn)行多參數(shù)優(yōu)化。優(yōu)化流程主要分為以下步驟：①定義輸入基本參量，包括地層參數(shù)、流體參數(shù)、支撐劑參數(shù)和生產(chǎn)周期；②定義 3種待優(yōu)化變量，包括平臺(tái)內(nèi)井?dāng)?shù)、單井壓裂段數(shù)和支撐劑體積；③根據(jù)前文所述支撐劑指數(shù)法計(jì)算不同井?dāng)?shù)、壓裂段數(shù)和支撐劑體積條件下的最優(yōu)裂縫導(dǎo)流能力和長度及對(duì)應(yīng)的最大累計(jì)產(chǎn)量；④計(jì)算相應(yīng)的NPV值；⑤基于多元函數(shù)Powell全局優(yōu)化算法重復(fù)步驟②，直到NPV值最大，此時(shí)對(duì)應(yīng)的水平井-壓裂參數(shù)即為最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)。其中，NPV計(jì)算模型為[16]：

本文設(shè)定無因次時(shí)間 1 000為生產(chǎn)周期，考慮到實(shí)際壓裂規(guī)模受工程條件限制，將平臺(tái)總支撐劑體積設(shè)定為固定的約束條件，使用圖解法說明多參數(shù)優(yōu)化流程。

圖12為不同水平井?dāng)?shù)、不同單井壓裂段數(shù)下的平臺(tái)最大累計(jì)產(chǎn)量。由圖12可知，平臺(tái)最大累計(jì)產(chǎn)量隨井?dāng)?shù)和單井壓裂段數(shù)的增加而單調(diào)增加，當(dāng)支撐劑指數(shù)較小時(shí)平臺(tái)最大累計(jì)產(chǎn)量隨井?dāng)?shù)和段數(shù)的增加幅度基本一致（見圖12a）；當(dāng)支撐劑指數(shù)較大時(shí)平臺(tái)最大累計(jì)產(chǎn)量增加幅度相對(duì)減小，在單井壓裂段數(shù)大于30、平臺(tái)井?dāng)?shù)大于 5的區(qū)域內(nèi)平臺(tái)最大累計(jì)產(chǎn)量幾乎不再增加（見圖12b）。因此，以平臺(tái)最大累計(jì)產(chǎn)量為目標(biāo)函數(shù)、壓裂規(guī)模為約束條件的情況下，平臺(tái)內(nèi)部僅存在最優(yōu)裂縫導(dǎo)流能力和長度，但不存在最優(yōu)井距（井?dāng)?shù)）、縫距（縫數(shù)）。

將開發(fā)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果代入經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)模型，以NPV為目標(biāo)函數(shù)重新進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如圖13所示。圖13中出現(xiàn)了明顯的極值點(diǎn)，說明存在最優(yōu)井距、縫距。同樣地，對(duì)應(yīng)的裂縫導(dǎo)流能力和長度優(yōu)化結(jié)果如圖14所示。隨著壓裂段數(shù)和井?dāng)?shù)的增加，雖然提高了平臺(tái)的開發(fā)效果，但投資成本隨之增加，當(dāng)開發(fā)效果增加幅度小于投資增長幅度時(shí)經(jīng)濟(jì)效益變差。因此在壓裂規(guī)模和經(jīng)濟(jì)效益雙重約束下多井平臺(tái)內(nèi)存在最優(yōu)井距、縫距及裂縫導(dǎo)流能力和長度，這為開發(fā)技術(shù)政策的制定提供了優(yōu)化空間。

由圖13和圖14看出，在本文算例中，當(dāng)壓裂規(guī)模較小時(shí)（Nprop=0.1），最優(yōu)井距較?。╪w,opt≈8）、最優(yōu)縫距較寬（nf,opt≈35），裂縫穿透率較?。↖x,opt≈11%）、裂縫導(dǎo)流能力較低（CfD,opt≈1.60）。當(dāng)壓裂規(guī)模較大時(shí)（Nprop=1×104），相比于小規(guī)模壓裂情況，最優(yōu)井距增加（nw,opt≈6）、最優(yōu)縫距減?。╪f,opt≈50），裂縫穿透率大幅度提高（Ix,opt≈72%），但裂縫導(dǎo)流能力仍處于較低水平（CfD,opt≈3.54）。

開發(fā)平臺(tái)水平井-壓裂參數(shù)優(yōu)化結(jié)果與設(shè)定的參數(shù)條件相關(guān)，如平臺(tái)幾何尺寸、開發(fā)評(píng)價(jià)周期、經(jīng)濟(jì)參數(shù)、裂縫形態(tài)復(fù)雜程度以及壓裂規(guī)模約束類型（固定單縫、單井或平臺(tái)支撐劑體積）等。

圖12 不同支撐劑指數(shù)條件下半支平臺(tái)最大無因次累計(jì)產(chǎn)量值

圖13 不同支撐劑指數(shù)條件下半支平臺(tái)最大NPV值

圖14 多井平臺(tái)下的裂縫導(dǎo)流能力和長度優(yōu)化圖版

4 結(jié)論

針對(duì)開發(fā)平臺(tái)內(nèi)多口存在變縫寬裂縫的水平井，利用壓力疊加原理，給出了一種新的變導(dǎo)流裂縫與儲(chǔ)集層耦合流動(dòng)的半解析模型。通過坐標(biāo)變換將變導(dǎo)流裂縫轉(zhuǎn)換為常導(dǎo)流裂縫，可以處理空間位置及導(dǎo)流能力分布復(fù)雜的裂縫流動(dòng)，并給出靈活的地層-裂縫耦合流動(dòng)矩陣，方便模型快速求解。

考慮壓裂規(guī)模約束時(shí)以累計(jì)產(chǎn)量為目標(biāo)函數(shù)，存在最佳裂縫導(dǎo)流能力和長度，隨著支撐劑指數(shù)和生產(chǎn)時(shí)間增加最大累計(jì)產(chǎn)量增加，最優(yōu)裂縫穿透比增加；隨著支撐劑指數(shù)減小、生產(chǎn)時(shí)間增加，最優(yōu)無因次導(dǎo)流能力值不斷減小且趨近于經(jīng)典特征值（1.62）。縫距與井距比值也將影響裂縫導(dǎo)流能力和長度的優(yōu)化結(jié)果，在高支撐劑指數(shù)情況下，大井距、窄縫距的部署模式更具優(yōu)勢(shì)。

當(dāng)不考慮經(jīng)濟(jì)效益時(shí)，開發(fā)平臺(tái)的生產(chǎn)效果隨著單井裂縫數(shù)、水平井?dāng)?shù)的增加而增加，不存在最優(yōu)井?dāng)?shù)、段數(shù)，增加幅度隨著支撐劑指數(shù)的增加而降低，當(dāng)井?dāng)?shù)與單井壓裂段數(shù)同時(shí)超過特定值時(shí)，平臺(tái)累計(jì)產(chǎn)量幾乎不再增加。

以凈現(xiàn)值為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，累計(jì)產(chǎn)量提高導(dǎo)致的正現(xiàn)金流與井?dāng)?shù)、段數(shù)增加產(chǎn)生的負(fù)現(xiàn)金流相互沖抵，出現(xiàn)參數(shù)優(yōu)化空間，存在最優(yōu)裂縫導(dǎo)流能力、裂縫長度、井?dāng)?shù)、段數(shù)，在壓裂規(guī)模較小情況下宜采用小井距、寬縫距、短裂縫的水平井部署模式；在壓裂規(guī)模較大情況下則宜采用大井距、窄縫距、長裂縫的部署模式。

符號(hào)注釋：

ag——?dú)怏w解吸系數(shù)，無因次；Bg——?dú)怏w體積系數(shù)，m3/m3；bam——滑脫因子，無因次；CfD——無因次導(dǎo)流能力；Cfracture——單段裂縫壓裂成本，元；Cwell——單井鉆井成本，元；cg——?dú)怏w壓縮系數(shù)，Pa-1；ct——地層壓縮系數(shù)，Pa-1；DD——無因次擴(kuò)散系數(shù)；Dg——基質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)，m2/s；FC——固定總投資，元；Gp——累計(jì)產(chǎn)量，m3；Gp,ii——第ii年累計(jì)產(chǎn)量，m3；h——地層厚度，m；Ix——裂縫穿透比，%；ii——年份編號(hào)；ir——年利率；Kf——裂縫滲透率，m2；Km——地層滲透率，m2；Lf——裂縫全長，m；Lref——參考長度，m；mf——裂縫內(nèi)擬壓力，Pa；mm——基質(zhì)內(nèi)擬壓力，Pa；N——裂縫微元段個(gè)數(shù)；Nprop——支撐劑指數(shù)；NPV——凈現(xiàn)值，元；n——無窮級(jí)數(shù)計(jì)數(shù)符號(hào)；nf——單井裂縫數(shù)；nw——開發(fā)平臺(tái)內(nèi)井?dāng)?shù)；nyear——生產(chǎn)年限，a；OGIP——原始地質(zhì)儲(chǔ)量，m3；Pgas——?dú)鈨r(jià)，元/m3；p——壓力，Pa；pf——裂縫內(nèi)壓力，Pa；pm——地層壓力，Pa；▽pm——壓力梯度，Pa/m；pw——井筒處壓力，Pa；pwf——井底壓力，Pa；qf——裂縫流量密度，m2/s；qm——地層流量密度，m2/s；qw——瞬時(shí)產(chǎn)量，m3/s；——第w口井第n條裂縫的第i個(gè)裂縫微元的無因次產(chǎn)量；Rm——解吸氣賦存的球形孔隙半徑，m；rw——井筒半徑，m；s——Laplace變量，無因次；Sc——聚流表皮因子，無因次；T——溫度，K；t——時(shí)間，s；ta——擬時(shí)間，s；Vprop——支撐劑體積，m3；V——?dú)怏w濃度，m3/m3；VE——球形孔隙中心處氣體濃度，m3/m3；vm——基質(zhì)內(nèi)氣體流速，m/s；wf——裂縫寬度，m；x，y——地層系統(tǒng)坐標(biāo)，m；xe——子泄流區(qū)域橫向?qū)挾龋琺；xef——平臺(tái)橫向?qū)挾龋琺；xf——裂縫半長，m；Δxf——裂縫微元段長度，m；xhf——裂縫系統(tǒng)坐標(biāo)，m；xo，yo——裂縫端點(diǎn)坐標(biāo)，m；xwhf——裂縫與井筒交叉位置，m；ye——子泄流區(qū)域縱向長度，m；yef——平臺(tái)縱向長度，m；Zg——?dú)怏w偏差系數(shù)，無因次；Z——偏差因子，無因次；βm——非線性影響因子；γm——非線性流動(dòng)修正因子；δ——Dirac函數(shù)；ζ，ξ，?，u，τ——中間變量；λ——縫距與井距的比值；λm——黏度-壓縮比值；μg——?dú)怏w黏度，Pa·s；ξD——無因次裂縫轉(zhuǎn)換坐標(biāo)；φm——儲(chǔ)集層孔隙度，%；χ，ψ——單位轉(zhuǎn)換系數(shù)；ω——基質(zhì)系統(tǒng)儲(chǔ)容比，無因次；Ξ——井點(diǎn)所處裂縫微元編號(hào)。下標(biāo)：avg——平均；D——無因次；i——原始?jí)毫l件；i、j——裂縫微元編號(hào)；opt——最優(yōu)值；max——最大值；sc——標(biāo)準(zhǔn)狀況；w——井筒位置。上標(biāo)：～——Laplace變量符。