基于辯證思維的高中數(shù)學(xué)例題講解策略

林慶勇

（福建省柘榮縣第一中學(xué)，福建柘榮 355300）

引 言

邏輯推理能力是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一，在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中占據(jù)著重要位置，可以為學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)。想要建立科學(xué)的邏輯關(guān)系，學(xué)生在解題時(shí)，應(yīng)確保條件與結(jié)論具有明顯的因果關(guān)系。而作為高中教育當(dāng)中的主要內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)解題通常存在大量不明確的關(guān)系。且具有大量未知變量。在這種情況下，學(xué)生若可以利用辯證的思維進(jìn)行分析，將會(huì)突破常規(guī)，有效解決數(shù)學(xué)問題。此外，雖然在唯物主義中，對(duì)立與統(tǒng)一為主要內(nèi)容，但對(duì)于高中階段的數(shù)學(xué)來說，其已經(jīng)由小學(xué)和初中的數(shù)學(xué)常量轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞浚虼?，高中階段正是學(xué)生的辯證思維由發(fā)展?fàn)顟B(tài)向自覺狀態(tài)發(fā)展的最佳訓(xùn)練時(shí)期[1]。下面將列舉兩個(gè)例題來闡述基于辯證思維的高中例題講解策略。

一、正難則反，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

解數(shù)學(xué)題目的第一步是審題，審題時(shí)必須要對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理。但學(xué)生在實(shí)際解題過程中，經(jīng)常會(huì)遇到正面看起來很難解決的題目，這個(gè)時(shí)候教師就要啟發(fā)學(xué)生不妨用逆向思維，從反面來分析并解決問題。高中數(shù)學(xué)教材中反證法和補(bǔ)集方法都是逆向思維的具體體現(xiàn)。

分析：按照常規(guī)的方法，是將此不等式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)不等式組，然后求解。但如果用補(bǔ)集思想，則只解一個(gè)不等式組即可。設(shè)全集I＝{x|2x-5≥0}，解不等式，它可等價(jià)于一個(gè)不等式組：

從對(duì)這道例題的分析我們可以看出，學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)不能形成思維定式，眼光也不能僅停留在一個(gè)點(diǎn)上，要透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，開拓思維，嘗試用正反兩個(gè)方面來思考分析問題，只有這樣才能迅速找到解決題目的不二法門。

二、切入題眼，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維

解題的第二步是選擇問題的題眼作為切入點(diǎn)。面對(duì)題目條件比較多的數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生的思維往往會(huì)陷入混亂，沒有正確的解題方向，亦不能帶著明確的目標(biāo)去求解。其主要原因是學(xué)生沒有以辯證聯(lián)系的思想來理解數(shù)學(xué)題目本身的條件與條件、條件與結(jié)論之間的對(duì)立統(tǒng)一性，因此就會(huì)在抓耳撓腮許久之后半途而廢。

例題2：已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)。若f(x)-f(-x)= 2x3，且當(dāng)x≥0 時(shí)，f'(x)＞3x2，則不等式f(x)-f(x-1)＞ 3x2-3x+1 的解集是______。

這是2016年福建的一道高考題，考查的是關(guān)于抽象函數(shù)和導(dǎo)數(shù)函數(shù)的問題。明確了這個(gè)知識(shí)提取的方向之后，我們就可從辯證的角度來分析并解決問題了，如果再融合聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，就可以從這個(gè)切入點(diǎn)展開解題思路：從所求問題“不等式f(x)-f(x-1)＞3x2-3x+1的解集”這個(gè)方向思考，可判定為抽象函數(shù)與不等式結(jié)合，應(yīng)利用抽象函數(shù)的單調(diào)性，因此可聯(lián)想到導(dǎo)函數(shù)的不等式。重新構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)F(x)=f(x)-x3，即F'(x)=f'(x)-3x2＞0可以確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再思考給定條件f(x)-f(-x)=2x3的應(yīng)用，可變形為f(x)-x3=f(-x)-(-x)3，則F(x)是奇函數(shù)，于是問題可化為F(x)＞F(x-1)，從而解題水到渠成。

三、雙向溝通，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系轉(zhuǎn)化觀

唯物辯證法中蘊(yùn)含著一個(gè)重要的思想，那就是事物之間是互相聯(lián)系的，矛盾是可以轉(zhuǎn)化的，教師也可以將這個(gè)重要思想滲透到例題教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生打破思維慣性，用辯證思維尋找解體蹊徑[2]。

例題3：已知tan(a+b)=m，tan(a-b)=n，求證：

分析之一：由題目給定的條件求得m+n和mn帶入之后，再化簡(jiǎn)即可求證。

分析之二：倒過來先看結(jié)論，結(jié)論中并不包含角b，于是就可考慮消b將矛盾轉(zhuǎn)化。

從以上三種分析可以看出，解題的關(guān)鍵是要抓緊題設(shè)條件與結(jié)論之間的關(guān)系，并從中聯(lián)想到已學(xué)到的知識(shí)，將結(jié)論轉(zhuǎn)化。

結(jié) 語

綜上所述，解決數(shù)學(xué)題目時(shí)的辯證思維，就是站在變化發(fā)展的角度來認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)思想。雖然目前有些數(shù)學(xué)結(jié)論尚未被證明，僅是一種猜想，但辯證思維是以事物之間普遍聯(lián)系為基礎(chǔ)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)和感知世界的一種思維方式。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生用辯證的眼光去分析研究數(shù)學(xué)常量和變量背后問題的本質(zhì)，使學(xué)生學(xué)會(huì)用辯證的思維解決數(shù)學(xué)問題，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。