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    關于動態(tài)規(guī)劃算法有效教學的思考

    2019-11-03 12:52:15李建
    教師·下 2019年8期
    關鍵詞:動態(tài)規(guī)劃

    李建

    摘 要:技術科目作為浙江省新高考科目以來,算法加試部分難度不斷提高。近幾年的考題對計數(shù)思想的考查,更標志著程序填空題的難度從代碼層面到思維深度的跨越。文章作者將結合思維程度的深入,逐步給出數(shù)個經典動態(tài)規(guī)劃問題的思考過程,并提出一種“加一維”的思考方法,切實有效提高學生解決動態(tài)規(guī)劃問題的能力。

    關鍵詞:動態(tài)規(guī)劃;狀態(tài)定義;狀態(tài)轉移;加一維

    中圖分類號:O221.3 文獻標識碼:A 收稿日期:2019-04-07 文章編號:1674-120X(2019)24-0117-02

    很多教師錯誤地認為動態(tài)規(guī)劃問題就是背包問題,甚至有教師因為該問題太過抽象,“簡單粗暴”地讓學生死記背包模型代碼,顯然這種教學方法是非常不可取的。

    下面筆者逐步給出數(shù)個經典動態(tài)規(guī)劃問題的解題步驟,建立概念之間的內在聯(lián)系,讓學生了解動態(tài)規(guī)劃算法的本質,并提出“加一維”,切實有效提高學生解決問題的能力。

    一、動態(tài)規(guī)劃算法基本原理

    在信息學競賽中,第一次考查動態(tài)規(guī)劃是在IOI1994(國際信息學競賽)中的“數(shù)塔問題”,雖然當時全世界信息學頂尖選手的此題得分率極低,但是現(xiàn)在已經作為DP算法的入門題出現(xiàn)。其模型比較直觀,有助于我們理解動態(tài)規(guī)劃算法中的相關概念和性質。很多教師在講授動態(tài)規(guī)劃時,先羅列相關生澀的概念,很多學生對此無法真正理解。下面我們從一個相對直觀的問題出發(fā),一步一步引導學生主動思考,在解決問題的過程中,學生可以逐漸理解問題的本質。

    問題一:數(shù)塔問題。有一些數(shù)字排成數(shù)塔的形狀,其中第一層有一個數(shù)字,第二層有兩個數(shù)字……第n層有n個數(shù)字?,F(xiàn)在要從第一層走到第n層,每次只能選擇左下方或者右下方的數(shù)字,問:“最后將路徑上所有數(shù)字相加后得到的和最大是多少?”

    教師引導思考過程:

    (1)從起點到第一行第一列的答案是固定的。

    (2)在第一步驟基礎上,從起點到第二行的答案也是固定的。

    (3)在第三行時,7有兩種選擇,顯然選擇累積更大的8才是最優(yōu)的。若將f[i][j]定義為從第一行第一列到第i行第j列的路徑上的數(shù)字和的最大值,則到數(shù)字7的遞推式為:f[3][2] = max(f[2][1] , f[2][2])+7。

    (4)可得出一般遞推式為f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j],我們只需要推到第n行,就可以得到ans=max(f[n][1…n])。

    解法提煉:

    (1)狀態(tài)定義:f[i][j]定義從第一行第一列到第i行第j列的路徑上的數(shù)字和的最大值。

    (2)所求:max(f[n][1…n])。

    (3)狀態(tài)轉移:f[i][j]=max(f[i-1][j-1],f[i-1][j])+a[i][j]。

    正確性分析:

    (1)前面推導的結果不會隨著后幾行得到的結果而改變——無后效性。

    (2)局部最優(yōu)可以保證全局最優(yōu)——最優(yōu)子結構。

    這兩個性質也是動態(tài)規(guī)劃算法解決問題的先決條件。

    二、動態(tài)規(guī)劃的狀態(tài)定義

    問題二:最長上升子序列問題。給定一個長度為n的數(shù)字序列,求最長的上升子序列長度。如3,1,2,6,4,5的最長上升子序列為1,2,4,5,故答案為4。

    在問題一的基礎上,很容易想到如下解法。

    (1)狀態(tài)定義:f[i]定義為到第i個數(shù)字為止,能獲得最長子序列長度。

    (2)所求:f[n]。

    (3)狀態(tài)轉移:顯然此時很難尋找到f[i]關于f[1…i-1]的遞推關系。

    無法找到遞推關系是由于遞推時的大小關系需要第i個數(shù)與前面某個確定的數(shù)進行比較,而原有的狀態(tài)定義無法得知哪些數(shù)字被選中,故無法直接進行比較,帶著這個問題,容易想到新的解法。

    (1)狀態(tài)定義:f[i]定義為到第i個數(shù)字為止,且第i個數(shù)必須為改子序列的最后一個數(shù)字時,所獲得的最長子序列的長度。

    (2)所求:max(f[1…n])。

    (3)狀態(tài)轉移:f[i] = max(f[j]) + 1|1 <= j <= i - 1,a[j]

    該算法的時間復雜度為0(n2),空間復雜度為0(n)。

    問題三:最長公共子序列問題。給定兩個長度為n的數(shù)字序列,求最長的公共子序列長度。如第一個數(shù)字序列為1,6,2,5,4,7,第二個數(shù)字序列為1,2,5,5,2,7,則最長的公共子序列為1,2,5,7,其長度為4。

    順著問題二的思路,可以得到如下解法。

    (1)狀態(tài)定義:f[i][j]定義為當?shù)谝恍袛?shù)字取到第i個,第二行數(shù)字取到第j個時,所能得到的最長公共子序列長度,且第i個數(shù)字和第j個數(shù)字分別為所求子序列的最后一個數(shù)字(即這兩個數(shù)字必須取到)。

    (2)所求:max(f[1…n][1…n])。

    (3)狀態(tài)轉移:

    該解法狀態(tài)總數(shù)共有n2個,每個狀態(tài)需要枚舉i和j前面所有的p和q,求解單個狀態(tài)需要的枚舉量為(i-1)*(j-1),其時間復雜度是0(n2),總共有n2個狀態(tài),故總的時間復雜度為0(n4),空間復雜度為0(n2)。該算法的瓶頸主要在于求解每個狀態(tài)都需要去枚舉前面所有的狀態(tài),下面我們嘗試使用另外一種狀態(tài)定義來開拓學生的思路。

    (1)狀態(tài)定義:f[i][j]定義為當?shù)谝恍袛?shù)字取到第i個,第二行數(shù)字取到第j個時,所能得到的最長子序列長度,且第i個數(shù)字和第j個數(shù)字不需要為所求子序列的最后一個數(shù)字(即這兩個數(shù)字取到與否都可以)。

    (2)所求:f[n][n]。

    (3)狀態(tài)轉移:

    當a[i]與b[j]相等時,其會對目標值貢獻1,而a[i]與b[j]不相等時,顯然這兩個數(shù)字無法配對,故對f[i][j]而言,a[i]和b[j]中必有一個是多余的,故f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])。此時計算f[i][j]的時間復雜度為0(1),故總的時間復雜度為0(n2)。

    經過前面三個問題的鋪墊,我們對解決動態(tài)規(guī)劃的問題的模式與思考方式有了一定了解,在此基礎上,我們再開始對更抽象的背包問題進行解答。

    三、動態(tài)規(guī)劃算法在裝箱問題中的應用

    問題四:裝箱問題。有一個箱子容量為V(正整數(shù),0<=V<=20000),同時有n個物品(0

    (1)狀態(tài)定義:f[i][j]定義為放到第i個物品為止,體積為j能否得到,1表示取到,0表示取不到。

    (2)所求:V-max(j)|f[n][j]=1。

    (3)狀態(tài)轉移:f[i][j]=f[i-1][j-a[i]]|f[i-1][j-a[i]]=1。

    優(yōu)化一:觀察狀態(tài)轉移方程,f[i]僅與f[i-1]有關,故我們可以采用滾動數(shù)組來優(yōu)化空間,f[flag][j]=f[!flag][j-a[i]]|f[!flag][j-a[i]]=1,一輪計算完畢后,flag=!flag,此時空間復雜度從0(n*V)優(yōu)化到0(V)。

    優(yōu)化二:只需要從大到小枚舉j就可保證同一個物品不會被計算多次,f[j]=f[j-a[i]]|f[j-a[i]]=1。

    拓展思考:如果每個物品有無窮多個呢?

    四、“加一維”思想在動態(tài)規(guī)劃問題中的應用

    問題五:數(shù)塔問題加強版。在問題一的基礎上,增加一個條件:有且僅有一次機會可以將路徑中的一個數(shù)字獲得兩次,求最后路徑中路徑上數(shù)字的和的最大值。

    顯然存在幾種明顯錯誤的貪心思想:

    (1)在問題一基礎上,對路徑中最大的數(shù)字使用額外取一次的機會。

    可構造如下反例:

    1

    1 ?8

    14 8 8

    經過問題一的處理,會發(fā)現(xiàn)路徑為1-8-8,再對路徑中最大值8額外取一次,最后結果為25,而顯然存在更優(yōu)的答案為1-1-14,其最后的結果為30。

    (2)有了上述反例,又嘗試進行如下的貪心策略:將所有數(shù)字中最大的數(shù)字選定,再以這個數(shù)字為起點往上取到頂,往下取到最后一行,又可構造反例如:

    1

    1 ? 10

    11 10 10

    按照貪心策略,其路徑為1-1-11,結果為24,而存在答案為1-10-10,31。

    正確做法就是本文要提出的“加一維”解法,引導思考過程:

    (1)在不使用額外機會時,與問題一是完全一樣的。

    (2)機會使用后,也與問題一是完全一樣的。

    (3)每個數(shù)字都有使用該機會的可能性。

    提出解法:

    (1)狀態(tài)定義:f[i][j][k]定義為取到第i行第j列時,機會的狀態(tài)是k時能獲得的目標值最優(yōu)為多少,k為0表示機會已經使用,k為1表示機會尚未使用。

    (2)所求:max(f[n][1..n][0])。

    (3)狀態(tài)轉移:

    如果在第i行第j列時,機會依舊存在,則在此之前其機會也必須存在故遞推式為:f[i][j][1]=max(f[i-1][j-1][1],f[i-1][j][1])+a[i][j]。

    如果機會已經被使用,則f[i][j][0]有兩種可能性:在此之前機會已經被使用max(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j][0])+a[i][j]或者對a[i][j]使用取兩次的機會max(f[i-1][j-1][1],f[i-1][j][1])+2*a[i][j],我們只需在這兩種可能性中取最大值便可。

    我們把加入該機會是否被使用的狀態(tài)作為新的一維,枚舉其轉移時的所有可能性,巧妙地解決了該問題,且時間復雜度和空間復雜度依舊和原問題同階。這種技巧也在大量的動態(tài)規(guī)劃問題中適用,當我們無法很輕松地將“不可控的量”交代清楚時,可以將其狀態(tài)作為單獨的一維代入計算。

    參考文獻:

    [1]吳傳松.信息學奧賽中“動態(tài)規(guī)劃算法”的教學方法探究[J].中學理科園地,2008(3):11-13.

    [2]廖慧芬,邵小兵.動態(tài)規(guī)劃算法的原理及應用[J].中國科技信息,2005(21):42.

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