基于對偶四元數(shù)法的空間四連桿引緯機(jī)構(gòu)運動學(xué)分析

金國光，張旭陽，李 博

（1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點實驗室，天津 300387）

劍桿織機(jī)是目前工業(yè)上應(yīng)用最廣泛的無梭織機(jī)，它能適應(yīng)各種類型的紗線，且具有較高的生產(chǎn)率。引緯機(jī)構(gòu)是高速劍桿織機(jī)傳動系統(tǒng)的重要組成部分[1]，它將緯紗引入梭口，形成織物所需要的紋理。該機(jī)構(gòu)由球面4R 機(jī)構(gòu)帶動平面四連桿機(jī)構(gòu)，經(jīng)齒輪放大機(jī)構(gòu)實現(xiàn)劍桿的往復(fù)直線運動，進(jìn)而實現(xiàn)引緯動作[2]。其結(jié)構(gòu)形式、運動精度和動態(tài)性能直接影響到整個紡織過程的作業(yè)速度和加工精度，決定著織物的質(zhì)量，對整個產(chǎn)品的生產(chǎn)效率和生產(chǎn)質(zhì)量起到關(guān)鍵作用。目前，常見的引緯機(jī)構(gòu)類型主要有共軛凸輪機(jī)構(gòu)、空間連桿機(jī)構(gòu)、變螺距螺桿機(jī)構(gòu)、差動輪系連桿機(jī)構(gòu)等。其中，空間連桿機(jī)構(gòu)由于其結(jié)構(gòu)簡單、傳動路線短、運轉(zhuǎn)速度快等優(yōu)點而被廣泛地應(yīng)用。

在針對連桿機(jī)構(gòu)的運動學(xué)研究領(lǐng)域:TüMER 等[3]建立了引緯機(jī)構(gòu)的運動模型，并研究劍頭工作范圍與其速度的臨界特性；EREN 等[4-5]根據(jù)劍頭的位置，通過解析代數(shù)法建立了空間四連桿運動學(xué)模型，并分析運動變量對輸出的影響；金國光等[6]利用軟件對空間四連桿引緯機(jī)構(gòu)進(jìn)行有限元分析；袁汝旺等[7]提出了基于無急回特性的六連桿打緯機(jī)構(gòu)，并給出了剛體導(dǎo)引與機(jī)構(gòu)幾何關(guān)系相結(jié)合的尺度綜合方法；王品等[8]運用對偶四元數(shù)法對空間五桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行位移分析，并通過實例驗證，得出解析解的個數(shù)；徐永康等[9]通過矢量法分析了空間四連桿和平面四連桿的運動學(xué)，分析了主軸轉(zhuǎn)速和驅(qū)動桿長對輸出的影響；文獻(xiàn)[10-11]利用三維軟件對連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了模擬仿真。

以上文獻(xiàn)都分析了桿長變化對運動輸出的影響。本文通過對偶四元數(shù)法[12-23]對空間四連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行運動學(xué)分析，得到不含桿長的運動學(xué)模型，結(jié)合工藝要求[24]分析機(jī)構(gòu)夾角與運動輸出的關(guān)系，以期為后續(xù)空間四連桿的優(yōu)化設(shè)計提供參考。

1 空間四連桿引緯機(jī)構(gòu)工作原理

圖1 為劍桿織機(jī)空間連桿引緯機(jī)構(gòu)簡圖。

圖1 空間四連桿引緯機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Diagram of spatial four-bar linkage weft insertion mechanism

由圖1 可以看出，空間連桿引緯機(jī)構(gòu)由3 大部分組成：傳動曲柄、空間連桿、十字搖軸組成空間傳動部分；扇形齒輪、傳動小齒輪和劍輪組成放大機(jī)構(gòu)部分；劍帶和劍頭組成輸出部分。傳動曲柄連接在箱體上，在伺服電機(jī)的驅(qū)動下，勻速轉(zhuǎn)動，帶動機(jī)構(gòu)運轉(zhuǎn)。空間連桿將曲柄的勻速運動傳遞給十字搖軸，使十字搖軸在平面內(nèi)做順時針和逆時針的往復(fù)擺動。十字搖軸與扇形齒輪固連在一起，扇形齒輪做往復(fù)擺動，經(jīng)過傳動小齒輪和劍輪的放大后，傳遞到劍帶上，從而帶動劍頭實現(xiàn)往復(fù)直線運動。

2 空間四連桿引緯機(jī)構(gòu)運動學(xué)建模

圖2 為空間四連桿的簡圖。

圖2 空間四連桿簡圖Fig.2 Layout of 4R spatial linkage

圖3 為由 4 個回轉(zhuǎn)副 A、B、C、D 組成的空間連桿4R 機(jī)構(gòu)的運動簡圖。

圖3 空間4R 機(jī)構(gòu)運動簡圖Fig.3 Kinematical sketch of 4R saptial linkage

圖3 中，兩相鄰運動副之間的垂直距離為桿長，分別用 l1、l2、l3、l4表示；兩相鄰桿之間的垂直距離為副長，分別用 h1、h2、h3、h4表示；兩相鄰運動副之間的交錯角稱為該構(gòu)件的扭角，分別用 α1、α2、α3、α4表示；φ1、φ2、φ3、φ4分別為兩構(gòu)件之間的相對轉(zhuǎn)角；分別用對偶矢量表示運動副 A、B、C、D 軸線的空間位置；分別用對偶矢量表示各桿長方向的空間位置。各構(gòu)件的扭角αi和運動副的轉(zhuǎn)角φi見圖3。

式中：i=1，2，3，4。

圖3 中，將定坐標(biāo)系設(shè)于機(jī)架 l4上，令根據(jù)式（1）可求得對偶矢量進(jìn)而求出其逆變換利用關(guān)系可消除其他變量，得到只含有φ4的對偶方程：

根據(jù)機(jī)構(gòu)參數(shù)可知，α1= θ，α2= β，α3= 90°，α4=270°。將 α1、α2、α3、α4代入式（3）中可得：

根據(jù) φ4/2 ＜ 180°可得，式（5）中±取+號，由-P1R1≥0 可得：β ＞ θ。

齒輪機(jī)構(gòu)為放大部分，設(shè)放大系數(shù)為m，則最終劍帶的輸出位移、速度、加速度為：

3 搖桿擺角與機(jī)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系

圖4 所示為空間四連桿的極限位置。

圖4 空間四連桿極限位置示意Fig.4 Limit position diagram of 4R spatial linkage

設(shè)機(jī)構(gòu)初始運動時，桿AB 與軸線AD、桿DC、桿BC 在同一平面內(nèi)，且B、C 兩點在軸AD 的同一側(cè)。根據(jù)機(jī)構(gòu)的運動特性可知，驅(qū)動桿AB 轉(zhuǎn)角為0°時搖桿的擺角φ4最小，轉(zhuǎn)角為180°時搖桿的擺角φ4最大，分別對應(yīng)圖4 中的實線和虛線狀態(tài)。

分別將 φ1對應(yīng)的 0°和 180°代入到式（6）中可得：

經(jīng)運算可得：

由圖 4 可得出：BC=B1C1，BD=B1D，CD=C1D，進(jìn)而證明了ΔB1C1D 與ΔBCD 全等，則∠BCD=∠B1CD1，∠CDC1=∠BDB1，∠CDC1=2θ，再次用幾何法證明了連桿的擺角范圍是機(jī)構(gòu)夾角θ 的2 倍關(guān)系。保持AB桿和AD 桿的長度不變，變動BC 桿和CD 桿的長度只影響連桿的初末位置，但不影響連桿的擺角范圍。根據(jù)這一特性，可對劍頭的位置進(jìn)行調(diào)整以適應(yīng)不同的工藝要求。

4 機(jī)構(gòu)參數(shù)對運動輸出的影響

由運動學(xué)計算結(jié)果可以看出，劍帶的運動特性與以下3 個參數(shù)有關(guān)：桿AD 與桿BD 的夾角θ；桿CD和空間連桿旋轉(zhuǎn)軸線BD 的夾角β；放大系數(shù)m。當(dāng)夾角θ和夾角β 為固定值時，放大系數(shù)m 與最終的運動輸出呈線性關(guān)系，因此，本文不對齒輪傳動系統(tǒng)做深入探討。為使數(shù)值更具有清晰性，在此近似取m 的值為3 600/π，來研究夾角θ 和夾角β 對運動輸出的影響。

圖5 為劍桿織機(jī)實物。

圖5 劍桿織機(jī)實物Fig.5 Rapier loom

圖5 中，幅寬長度為0.9 m，引緯槽長為0.75 m，劍頭長為0.23 m，故劍頭的行程范圍為0.9～1.42 m。考慮到誤差的影響，為了保證劍頭能安全有效進(jìn)出，將行程范圍設(shè)定為1.0～1.3 m，計算出對應(yīng)的θ 值為50°～65°。

由工藝要求可知，引緯機(jī)構(gòu)應(yīng)具備以下特點：①劍頭加速度最大峰值的絕對值要?。虎诩铀俣茸兓M可能平緩，以減少沖擊振動；③在夾持和交接緯紗時，要求劍頭速度和加速度盡可能小，以增加夾持和交接的可靠性，減少失誤；④整個機(jī)構(gòu)要簡潔，占用空間小，安裝方便。

4.1 θ、β變化對劍頭加速度的影響

根據(jù)以上要求，本文采用Matlab，分別繪制了θ、β和加速度最大峰值的關(guān)系，θ、β 和加速度方差的關(guān)系，θ、β 和交接緯紗時加速度的關(guān)系。根據(jù)實際生產(chǎn)，選取400 r/min 為主軸轉(zhuǎn)速。

4.1.1 θ、β 和加速度最大峰值的關(guān)系

圖6 所示為通過變化式（8）中夾角 θ 和夾角 β 的值來得到劍頭的加速度，再通過MATLAB 函數(shù)所取得的劍頭加速度的最大值。

圖6 加速度的最大峰值Fig.6 Peak acceleration

由圖6 可以看出，圖像關(guān)于平面β- 90°=0 完全對稱，這表明當(dāng)夾角β 取兩個不同的角度值且這兩個角度互補(bǔ)時，劍頭達(dá)到相同的最大加速度。保持夾角θ 的值不變，當(dāng)夾角 β 的值從 50°增加到 90°時，劍頭最大的加速度值越來越小，根據(jù)對稱性，當(dāng)夾角β 的值從90°增加到130°時，劍頭最大的加速度值越來越大。保持夾角β 的值不變，當(dāng)夾角θ 增長的同時，劍頭加速度的最大值也隨之增長。當(dāng)夾角β ＜80°且夾角θ ＞70°時和夾角 β ＞ 100°且夾角 θ ＞ 70°時，加速度的最大值增幅較大，為圖6 中最陡峭的區(qū)域。圖6 中的最小點在（θ，β）=（50°，90°）處，此處對應(yīng)的加速度最大值為1 156 m/s2。

4.1.2 θ、β 和加速度方差的關(guān)系

圖7 所示為通過變化式（8）中夾角 θ 和夾角 β 的值來得到劍頭的加速度，再通過Matlab 函數(shù)所得的劍頭加速度在引緯機(jī)構(gòu)運行一個周期內(nèi)的方差。

圖7 加速度的方差Fig.7 Acceleration variance

圖7 的圖像關(guān)于平面β-90°=0 完全對稱，此趨勢和圖6 相同，這一結(jié)論也表明了當(dāng)劍頭的加速度最大值增加的同時，劍頭在一個周期內(nèi)運行的加速度也相應(yīng)地增加。圖7 中最小點同樣落在（θ，β）=（50°，90°）處，在這一點上，劍頭加速度在引緯機(jī)構(gòu)運行一個周期內(nèi)最平穩(wěn)，產(chǎn)生的沖擊碰撞也最小。

4.1.3 θ、β 和交接緯紗時加速度的關(guān)系

圖 8 為通過變化式（8）中夾角 θ 和夾角 β 的值來得到劍頭的加速度，再通過Matlab 函數(shù)得到的劍頭在引緯交接處的瞬時加速度。

圖8 交接緯紗時的加速度Fig.8 Acceleration at weft yarn transferring

由圖8 可以看出，當(dāng)夾角θ 接近夾角β 時，交接緯紗處的劍頭加速度較?。划?dāng)兩個夾角的差值增大時，交接緯紗處的劍頭加速度也逐漸增大。劍頭加速度的最小值位于直線θ = β 附近，這一趨勢和圖6、圖7相反。圖 8 中的劍頭加速度最小點選在了（θ，β）=（51°，52°）。

根據(jù)以上分析，在3 個圖像中選取2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。第一組數(shù)據(jù)是加速度方差最小點和加速度最大值最小點（θ，β）=（50°，90°）和交接緯紗處的加速度最小點（θ，β）=（51°，52°）；第二組數(shù)據(jù)根據(jù)圖6 和圖7 的對稱性選擇了兩圖中的共同最小點（θ，β）=（50°，90°），關(guān)于平面 β-90°=0 對稱的兩點（θ，β）=（50°，80°）和（θ，β）=（50°，100°）。

4.2 最優(yōu)點處的運動特性分析

圖9 為將選取的第1 組數(shù)據(jù)的數(shù)值代入式（6）、（7）、式（8）中得到的圖像。圖9 中實線為點（θ，β）=（50°，90°）所對應(yīng)的運動輸出，此處為加速度最大值最小點和加速度方差最小點；虛線為點（θ，β）=（51°，52°）所對應(yīng)的運動輸出，此處為交接緯紗處加速度最小點。

圖9 最優(yōu)點處的運動特性曲線Fig.9 Motion characteristics curves of best points

由圖9 可以看出，虛線在主軸轉(zhuǎn)角為100°附近時達(dá)到交接緯紗處附近，且在主軸轉(zhuǎn)角為100°～260°時，劍頭的位移、速度、加速度接近為0。由工藝要求可知，較小的劍頭速度和劍頭加速度有利于提高交接緯紗時的可靠性，但是虛線部分在主軸轉(zhuǎn)角為90°～120°時，劍頭的速度和加速度變化較快，所以在此區(qū)域內(nèi)，劍頭對紗線產(chǎn)生較大的牽引力，增大了小強(qiáng)度紗線被扯斷的幾率。

4.3 β變化時的運動特性分析

圖10 為變動β 時運動曲線的變化。

由圖10 可以看出，選取θ=50°，3 條線的最大位移均相同，再次驗證了第3 節(jié)的關(guān)系證明；β = 80°和β = 100°時速度和加速度的峰值相同，在緯紗交接處β = 80°時的加速度比β = 100°時的加速度小，但在交接緯紗附近處，以轉(zhuǎn)角120°到 240°為范圍界限，β =80°時的加速度變化比較大，比β = 100°時大了近28.57%，這表明其交接緯紗時的可靠性不如β=100°時好。

圖10 β 變化時的運動特性曲線Fig.10 Motion characteristics curves as β changing

5 結(jié) 論

（1）用對偶四元數(shù)法建立了空間四連桿的運動學(xué)模型。該方法幾何概念清晰，應(yīng)用方便。與代數(shù)解析法不同的是，解析法建立的是桿長與輸出的關(guān)系，對偶四元數(shù)法建立的是角度與輸出的關(guān)系，從而可以從角度方面分析運動規(guī)律。

（2）分別用幾何法和代數(shù)法分析了搖桿擺角與連桿夾角之間的關(guān)系，得出了搖桿擺角范圍是機(jī)構(gòu)夾角θ 的 2 倍的結(jié)論。

（3）結(jié)合工藝要求，分別繪制了運動變量與指標(biāo)之間的關(guān)系。挑選了兩組特殊點進(jìn)行運動趨勢分析，結(jié)果表明β=80°時的交接緯紗加速度變化比β=100°時大了近28.57%，這一結(jié)論為多目標(biāo)優(yōu)化時各目標(biāo)權(quán)重的選取提供了一定參考。