單自由度有限循環(huán)行走機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)控制及參數(shù)識(shí)別

危清清，林云成，肖 軒，陳 磊，劉 賓，王耀兵

(1.空間智能機(jī)器人系統(tǒng)技術(shù)與應(yīng)用北京重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100094；2.中國(guó)空間技術(shù)研究院北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京100094；3.清華大學(xué)航天學(xué)院，北京100084)

1 引言

雙足機(jī)器人是目前機(jī)器人的研究熱點(diǎn)之一，其行走控制分為基于參考軌跡的控制和基于模型的動(dòng)態(tài)控制?；趨⒖架壽E的方法是雙足機(jī)器人中較為常見(jiàn)的算法，通過(guò)控制關(guān)節(jié)力矩使關(guān)節(jié)按照事先規(guī)劃好的參考軌跡運(yùn)動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜動(dòng)作。但算法實(shí)現(xiàn)較復(fù)雜，效率低，不能深入揭示雙足行走穩(wěn)定性、適應(yīng)性和高效率的內(nèi)在機(jī)理[1]?；谀Ｐ偷膭?dòng)態(tài)控制方法借鑒已有的物理模型對(duì)行走過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化，如倒立擺模型、被動(dòng)步態(tài)模型，彈簧質(zhì)量模型等。其中被動(dòng)步態(tài)模型大大簡(jiǎn)化了雙足行走機(jī)構(gòu)，通過(guò)研究雙足運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在固有特點(diǎn)，能揭示雙足行走高效、穩(wěn)定的內(nèi)在機(jī)理。

有限循環(huán)行走(Limit Cycle Walking)是被動(dòng)步態(tài)模型的延伸，可使行走系統(tǒng)在步態(tài)周期的每個(gè)瞬間都能獲得穩(wěn)定的周期性行走，而不需要局部維持行走運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定。利用物理動(dòng)力學(xué)和被動(dòng)性，有限循環(huán)行走機(jī)構(gòu)(Limit Cycle Walkers)在產(chǎn)生自然和節(jié)能的動(dòng)態(tài)步態(tài)方面具有明顯優(yōu)勢(shì)[2-3]。由于時(shí)間和空間的不可逆性，準(zhǔn)確地產(chǎn)生目標(biāo)行走速度對(duì)于有限循環(huán)行走系統(tǒng)來(lái)說(shuō)具有挑戰(zhàn)性。因此，在每一步中對(duì)離散時(shí)間段和空間段的整體規(guī)劃對(duì)于行走系統(tǒng)目標(biāo)速度控制是必要的。

Hobbelen等[4-5]研究了如何改變行走速度，何種方式在節(jié)能上是有益的，以及行走速度如何影響行走系統(tǒng)在有限循環(huán)行走中處理干擾的能力。Kajita等[6]提出了通過(guò)改變雙足行走系統(tǒng)的立足點(diǎn)來(lái)修改支撐相的初始條件，利用基于PD反饋控制器控制行走速度。此外，Juang等[7]提出一種學(xué)習(xí)方案，訓(xùn)練神經(jīng)模糊控制器使其盡可能地遵循設(shè)計(jì)的軌跡，以一定的速度產(chǎn)生行走步態(tài)。針對(duì)限制環(huán)行走的收斂步態(tài)，Xiao等[8-9]提出一種基于模型的控制，以便在處理干擾時(shí)保持目標(biāo)步行速度。

然而，作為基于模型的控制器的屬性，其性能通常取決于所有物理模型參數(shù)。因此，用于預(yù)測(cè)質(zhì)量、尺寸等動(dòng)力學(xué)參數(shù)的參數(shù)識(shí)別方法[10-11]成為解決方案，并且提出能夠處理預(yù)測(cè)誤差的魯棒控制器作為解決該問(wèn)題的另一種選擇。由于預(yù)測(cè)參數(shù)誤差直接反映了行走系統(tǒng)的性能，而基于模型的控制器的性能可以有助于預(yù)測(cè)物理參數(shù)，優(yōu)化行走性能。

本文提出一種基于模型的反饋控制器，以實(shí)現(xiàn)有限循環(huán)行走，且根據(jù)行走過(guò)程中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)物理參數(shù)，以減少行走機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的目標(biāo)狀態(tài)物理參數(shù)對(duì)基于模型的控制器的依賴性。

2 主動(dòng)組合無(wú)框輪

組合無(wú)框輪(Combined Rimless Wheel，CRW)的模型搭建、動(dòng)力學(xué)分析、碰撞過(guò)程建模是本文控制器的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。

2.1 建模

平面主動(dòng)CRW的模型如圖1所示，它由2個(gè)八腿無(wú)框輪(Rimless Wheels，RWs)組成一個(gè)車身框架。每個(gè)RW的質(zhì)量為m，兩腿間夾角為α=腿長(zhǎng)l，支撐腿與重垂線的夾角為θ，g是重力加速度?？蚣苌系碾妱?dòng)機(jī)在后站立腿和車身框架之間施加關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩u，可以驅(qū)動(dòng)CRW在平地上行走，作如下假設(shè)：

1)前后站立腿始終與地面接觸而不會(huì)滑動(dòng)；

2)關(guān)于所有框架的質(zhì)心的慣性矩可以忽略不計(jì)；

3)前后RW完全同步或旋轉(zhuǎn)保持關(guān)系θ1=θ2。

圖1 平面主動(dòng)組合無(wú)框輪Fig.1 A planar active CRW

在CRW中，通過(guò)步進(jìn)時(shí)段和步長(zhǎng)之間的比率來(lái)計(jì)算穩(wěn)定步行速度。因此，可通過(guò)恒定步長(zhǎng)控制步長(zhǎng)周期來(lái)產(chǎn)生目標(biāo)穩(wěn)步行走速度狀態(tài)。

2.2 運(yùn)動(dòng)方程及其線性化

1個(gè)四連桿機(jī)構(gòu)由車身框架、2個(gè)站立腿和地面組成，施加關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩相當(dāng)于施加踝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩。此外還考慮接頭粘度的轉(zhuǎn)矩fv=-kvθ，其中kv是粘滯摩擦系數(shù)。因此，后部RW的動(dòng)力學(xué)與具有踝關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)矩和粘性摩擦的主動(dòng)RW的動(dòng)力學(xué)方程相同，即式(1)：

其中m是單個(gè)RW的質(zhì)量，mb是連接工裝的質(zhì)量，則M=mb+2 m是CRW的總質(zhì)量，單位kg。θ=θ1=θ2是站立角度，ω = g/l。 通過(guò)在0附近時(shí)的線性化θ≈sinθ[12]，RW動(dòng)態(tài)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)可表示，見(jiàn)式(2)。

其中^kv=kv/Ml2。 因此將式(2)表示為式(3)：

需要注意的是，式(2)僅用于控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。所有模擬都通過(guò)式(1)中的動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行。可以看出，當(dāng)基于式(1)設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，由于式(2)中的線性化，模擬中生成的行走狀態(tài)不能完全滿足預(yù)期結(jié)果。根據(jù)本文的仿真結(jié)果，誤差是可以接受且可以消除的。

2.3 碰撞方程

其中，Ic代表CRW的慣性矩。本文忽略慣性矩的影響 Ic=0( )，則μ簡(jiǎn)化為μ=cosα。

3 控制律

3.1 控制器設(shè)計(jì)

在控制系統(tǒng)中，轉(zhuǎn)矩是基于當(dāng)前時(shí)間和狀態(tài)動(dòng)態(tài)更新的。沖擊時(shí)刻定義為0 s，并且每次沖擊后立即重置時(shí)間參數(shù)。轉(zhuǎn)矩必須提供足夠的動(dòng)能以使CRW克服潛在的障礙。另外，如果步行速度太快以至于在下一次撞擊之前無(wú)法完成控制，則無(wú)法保證目標(biāo)步行速度。

本文的控制規(guī)則是基于恒定轉(zhuǎn)動(dòng)力矩控制器提出的，電機(jī)遵循恒定轉(zhuǎn)矩策略而不是設(shè)計(jì)指定的位置軌跡。即當(dāng)干擾發(fā)生時(shí)，行走系統(tǒng)可以根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)提出新的路線規(guī)劃。通過(guò)更新休息時(shí)間的控制計(jì)劃，可以處理干擾并且可以保證目標(biāo)行走狀態(tài)。

基于式(2)，可以得到RW的動(dòng)力學(xué)方程。因此，微分方程·x=Ax+B u的解，在第i+1次撞擊之前的狀態(tài)向量可由在第i次撞擊之后的狀態(tài)量表示[11]，見(jiàn)式(7)：

類似地，在t時(shí)，狀態(tài)向量xit()可以由時(shí)間t和初始狀態(tài)向量xi0()表示為式(8)：

因此，在t時(shí)，本文假設(shè)為剩下的時(shí)間T*s-t保持恒定的控制輸入uit()，以產(chǎn)生如下的終端條件 xiTi( )[12]，見(jiàn)式(9)。

因此，在分析上述角位置方程后，導(dǎo)出uit()以產(chǎn)生目標(biāo)步長(zhǎng)周期狀態(tài)Ti=T*s見(jiàn)式(11)：

盡管已經(jīng)提出了控制律，然而存在式(12)：

系統(tǒng)誤差會(huì)經(jīng)由式(11)產(chǎn)生。在這里，提出一個(gè)簡(jiǎn)單的解決方案：當(dāng)Tr＜0.001時(shí)，令uit()=0。

另外，粘度摩擦的物理參數(shù)kv通常不能準(zhǔn)確得到，這明顯影響了控制器的性能。其他參數(shù)M和l也被認(rèn)為是未知參數(shù)。因此，在式(11)計(jì)算輸入轉(zhuǎn)矩時(shí)，在一定的合理范圍內(nèi)M、l和kv全部由Mp、lp和kvp的預(yù)測(cè)參數(shù)代替。反饋控制的流程圖如圖2所示。如果CRW可以不斷地反饋行走實(shí)時(shí)的狀態(tài)，且控制系統(tǒng)不斷地基于當(dāng)前時(shí)間t和步行狀態(tài)xit()通過(guò)式(11)計(jì)算新的控制輸入uit()，則可以產(chǎn)生目標(biāo)步行速度并且提高處理干擾的能力。此外，基于模型的控制動(dòng)態(tài)地更新控制轉(zhuǎn)矩，是難以預(yù)先分析每個(gè)步驟中的軌跡的。反饋控制的穩(wěn)定性將是本文未來(lái)需要研究的工作。

圖2 控制流程圖Fig.2 Flow chart of control

3.2 仿真結(jié)果

為測(cè)試控制器的性能，在預(yù)測(cè)參數(shù)下進(jìn)行數(shù)值模擬。使RW以每步0.4 s的目標(biāo)速度行走，選擇了2組特定的預(yù)測(cè)參數(shù)：一組與實(shí)際物理參數(shù)完全相等，另一組與實(shí)際值存在一定的誤差(表2)。詳細(xì)的實(shí)際物理參數(shù)和兩組預(yù)測(cè)參數(shù)列于表1和表2中。

表1 物理參數(shù)Table 1 Physical parameters

表2 模擬的預(yù)測(cè)參數(shù)Table 2 Prediction parameters of simulation

本文進(jìn)行了仿真模擬并記錄步態(tài)特性，在兩組預(yù)測(cè)參數(shù)下保證目標(biāo)步行速度，并在所有步驟期間產(chǎn)生步長(zhǎng)周期步態(tài)0.399996 s，與目標(biāo)周期0.4 s誤差很小(0.001%)。另外，本文針對(duì)兩組不同工況的扭矩變化曲線和龐加萊映射圖進(jìn)行了分析。圖3和4分別顯示不同集合控制轉(zhuǎn)矩的變化。當(dāng)預(yù)測(cè)參數(shù)恰好等于物理參數(shù)時(shí)，每個(gè)步驟中的控制轉(zhuǎn)矩具有由式(8)中的線性化引起的一些小幅波動(dòng)(圖3)。相反的，控制轉(zhuǎn)矩明顯改變以處理由不精確模型引起的干擾，并且當(dāng)剩余時(shí)間接近0時(shí)，轉(zhuǎn)矩會(huì)急劇增加或減少(圖4)。本文還針對(duì)龐加萊映射進(jìn)行分析，以反映步行機(jī)器人的收斂速度，兩種情況給出另一個(gè)有趣的特性：具有較大預(yù)測(cè)誤差的模擬具有更快的收斂速度(圖6)，而圖5的收斂速度卻較慢，這可以通過(guò)減速效應(yīng)來(lái)解釋[13]。

圖3 在集合1的預(yù)測(cè)參數(shù)下控制輸入的時(shí)間演變Fig.3 Time-evolution of control input under the prediction parameters of Set 1

圖4 在集合2的預(yù)測(cè)參數(shù)下控制輸入的時(shí)間演變Fig.4 Time-evolution of control input under the prediction parameters of Set 2

在不同的預(yù)測(cè)參數(shù)組下進(jìn)行40次模擬以測(cè)試邊界條件。在每次模擬中，行走系統(tǒng)由反饋控制驅(qū)動(dòng)，通過(guò)使用1組隨機(jī)預(yù)測(cè)參數(shù)以目標(biāo)步行速度，每步0.4 s，走40步。實(shí)際參數(shù)與表1相同，并且預(yù)測(cè)參數(shù)在表3的足夠范圍內(nèi)隨機(jī)選擇。當(dāng)行走時(shí)間誤差大于0.1%(總共0.016 s)時(shí)，模擬將被標(biāo)記為失敗。通過(guò)分析故障情況下的預(yù)測(cè)參數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)大致的預(yù)測(cè)參數(shù)范圍。

圖5 在集合1的預(yù)測(cè)參數(shù)下的龐加萊映射Fig.5 Poincare Map under prediction parameters of Set 1

圖6 在集合2的預(yù)測(cè)參數(shù)下的龐加萊映射Fig.6 Poincare Map under prediction parameters of Set 2

表3 模式信息Table 3 The pattern information

模擬的分布如圖7所示，帶有粉紅色星形的點(diǎn)意味著真實(shí)的物理參數(shù)，并且發(fā)現(xiàn)了3個(gè)失敗案例作為紅點(diǎn)案例。結(jié)果表明，m和l的預(yù)測(cè)參數(shù)都比真實(shí)的預(yù)測(cè)參數(shù)低，可能導(dǎo)致故障情況。然而，如果有一步的初始角速度非常快，則控制器將錯(cuò)誤地設(shè)計(jì)行走軌跡，并且在撞擊負(fù)值之前立即制定計(jì)劃角速度，且在控制完成之前就會(huì)發(fā)生撞擊是失敗的情況。因此，從定性上講，當(dāng)物理參數(shù)不清楚時(shí)，在合理范圍內(nèi)的正預(yù)測(cè)誤差將是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。

本文將反饋控制的3個(gè)屬性總結(jié)如下：

1)當(dāng)各種預(yù)測(cè)參數(shù)接近真實(shí)物理參數(shù)時(shí)，反饋控制具有一定的適應(yīng)性以保持目標(biāo)速度。這種控制對(duì)正預(yù)測(cè)誤差具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，而對(duì)負(fù)預(yù)測(cè)誤差的適應(yīng)性稍弱，存在失敗的可能；

2)轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)是由線性化和預(yù)測(cè)誤差引起的。預(yù)測(cè)誤差偏離越大，每步的轉(zhuǎn)矩變化速度越快。另一方面，即使預(yù)測(cè)參數(shù)與物理參數(shù)完全相等，線性化的誤差也會(huì)引起力矩微小的波動(dòng)；

3)預(yù)測(cè)參數(shù)可能會(huì)對(duì)一些步態(tài)屬性造成影響，例如收斂速度和能量效率。

圖7 40組隨機(jī)預(yù)測(cè)參數(shù)的分布Fig.7 The distribution of 40 sets of random prediction parameters

4 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)識(shí)別

在40組實(shí)驗(yàn)中去除點(diǎn)3組失敗案例，由剩下的37組組成訓(xùn)練集。基于分析圖7中37組隨機(jī)預(yù)測(cè)參數(shù)下的數(shù)值模擬，可知每種情況的轉(zhuǎn)矩軌跡取決于預(yù)測(cè)參數(shù)的變化。非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)之間存在關(guān)系，但通過(guò)數(shù)學(xué)方法得到兩者之間的關(guān)系非常困難，因此數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法成為一種選擇。

4.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練

構(gòu)建訓(xùn)練集以反映控制器性能與預(yù)測(cè)誤差之間的關(guān)系。根據(jù)控制策略，每個(gè)步驟中的平轉(zhuǎn)矩軌跡應(yīng)表現(xiàn)出小的預(yù)測(cè)誤差，但性能誤差是由線性化和預(yù)測(cè)誤差引起，因此，考慮≈ sinθ以排除線性化誤差的影響。如圖8所示，當(dāng) -0.05≤θ≤0.05，如果沒(méi)有預(yù)測(cè)誤差，控制輸入的θ的變化軌跡應(yīng)近似為未知常數(shù)值(即·u(θ)=0)，否則性能誤差完全來(lái)自預(yù)測(cè)誤差。因此，可以根據(jù)多組數(shù)值仿真中的結(jié)果提取的·u(θ)軌跡來(lái)預(yù)測(cè)物理參數(shù)。

用Levenberg-Marquardt算法訓(xùn)練人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)，使用Matlab的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和訓(xùn)練參數(shù)如圖9所示。

構(gòu)建訓(xùn)練集的流程圖如圖10所示。對(duì)于每一次成功的模擬，獲取 -0.05≤θ≤0.05時(shí)(θ)的θ變化軌跡，接著通過(guò)二次曲線擬合軌跡(θ)=aθ2+bθ+c， 并將二次曲線的參數(shù)記錄為具有隨機(jī)預(yù)測(cè)參數(shù)的訓(xùn)練集，因此，可以通過(guò)設(shè)置a=b=c=0(軌跡u·θ()=0)來(lái)預(yù)測(cè)物理參數(shù)。

圖8 通過(guò)一步的uθ()軌跡預(yù)測(cè)物理參數(shù)的方法Fig.8 The method of predicting physical parameters through the trajectory of uθ()in one step

訓(xùn)練數(shù)據(jù)集由37個(gè)訓(xùn)練模式組成，其中下標(biāo)j是索引號(hào)。輸入向量和輸出向量如式(13)所示。

圖9 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的體系結(jié)構(gòu)和訓(xùn)練參數(shù)Fig.9 The architecture of the neural network and the training parameters

參數(shù)辨識(shí)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

1)一定范圍內(nèi)，在37組隨機(jī)物理參數(shù)[m，l，k]下進(jìn)行模擬。

2)在每次模擬中，當(dāng)-0.05≤θ≤0.05時(shí)，u·θ()的θ變化軌跡被獲取以及擬合并通過(guò)二次曲線擬合以獲得系數(shù)參數(shù)[a，b，c]；

3)構(gòu)建整個(gè)訓(xùn)練集。曲線擬合參數(shù)[a，b，c]被指定為輸入，而物理參數(shù)[m，l，k]被指定為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出。

4)訓(xùn)練并建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，計(jì)算a=b=c=0的解作為預(yù)測(cè)參數(shù)。

通過(guò)這種方法，預(yù)測(cè)誤差大大降低，但由于不能完全消除線性化的影響，誤差不能達(dá)到0。

4.2 參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

圖10 訓(xùn)練集建立流程圖Fig.10 Flow chart for building training sets

物理參數(shù)的實(shí)際值、預(yù)測(cè)和相對(duì)誤差如表4所示，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程的訓(xùn)練集、驗(yàn)證集及測(cè)試集的均方根誤差曲線如圖11所示。當(dāng)訓(xùn)練到第21個(gè)epoch時(shí)，驗(yàn)證集的誤差不再下降，結(jié)果收斂，此時(shí)訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)即為最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)。圖12分別表征了訓(xùn)練集、驗(yàn)證集、測(cè)試集及全部數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值的散點(diǎn)圖和回歸曲線圖。預(yù)測(cè)值和真實(shí)值的相關(guān)系數(shù)在訓(xùn)練集上為0.998，在測(cè)試集上為0.941。通過(guò)訓(xùn)練，預(yù)測(cè)參數(shù)接近于真實(shí)物理參數(shù)，平均誤差約為1.1%。利用預(yù)測(cè)的物理參數(shù)下進(jìn)行了數(shù)值仿真模擬，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的扭矩曲線如圖13所示，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中扭矩變化較為平穩(wěn)。

表4 通過(guò)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)參數(shù)Table 4 Parameters predicted by ANN

5 結(jié)論

圖12 關(guān)于訓(xùn)練驗(yàn)證和測(cè)試集的線性回歸圖Fig.12 The linear regression plot for training validation and test sets

圖13 利用預(yù)測(cè)物理參數(shù)所生成的目標(biāo)速度控制的仿真模擬的轉(zhuǎn)矩軌跡Fig.13 Torque input of simulation for speed control under predicted parameters

本文提出了一種基于控制誤差來(lái)優(yōu)化物理參數(shù)辨識(shí)誤差，從而優(yōu)化控制系統(tǒng)的雙足機(jī)器人循環(huán)優(yōu)化控制策略。首先，設(shè)計(jì)了主動(dòng)組合無(wú)框輪動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)模型，并提出了一種基于模型的反饋控制器來(lái)生成目標(biāo)速度的有限循環(huán)行走。其次，通過(guò)使用各種預(yù)測(cè)參數(shù)在數(shù)值模擬上驗(yàn)證了該控制器的魯棒性，并分析由辨識(shí)參數(shù)誤差所產(chǎn)生的控制軌跡誤差特性。最后，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)37組隨機(jī)控制軌跡誤差特性進(jìn)行分析，從而開展主動(dòng)組合無(wú)框輪的運(yùn)動(dòng)參數(shù)識(shí)別，預(yù)測(cè)的平均誤差約為1.1%。本文開發(fā)的反饋控制器可以克服參數(shù)辨識(shí)誤差實(shí)現(xiàn)目標(biāo)速度控制，并在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中優(yōu)化參數(shù)辨識(shí)誤差，為運(yùn)動(dòng)控制與參數(shù)辨識(shí)領(lǐng)域提供新思路。