基于工科研究生“有限元方法”的《數(shù)值分析》教學(xué)探討

王敏 杜廷松

摘要：《數(shù)值分析》是工科研究生的一門重要的基礎(chǔ)課程，針對當(dāng)前教學(xué)中遇到的問題，文章探討了以有限元方法為應(yīng)用背景講授數(shù)值分析課程的教學(xué)方式。

關(guān)鍵詞：《數(shù)值分析》;有限元;教學(xué)

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）37-0199-02

一、引言

《數(shù)值分析》是工科研究生的一門重要的基礎(chǔ)課程，其基本思想是使用數(shù)值計算方法以計算機(jī)為工具得到數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解。該課程連接了數(shù)學(xué)與工程，是典型的理論與實際相結(jié)合的課程。因為課程涉及一些高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)的背景知識，并且有較多的數(shù)學(xué)公式，看起來計算比較煩瑣，所以很多學(xué)生僅僅是把它當(dāng)作另外一門數(shù)學(xué)課，而沒有認(rèn)識到該課程和實際應(yīng)用之間的緊密聯(lián)系以及該課程知識在處理工程問題時的強(qiáng)大威力。

“有限元方法”是利用數(shù)值方法對物理系統(tǒng)及工程進(jìn)行仿真求解的一種方法，是諸多工程問題的重要求解工具之一。有限元方法求解工程問題的計算流程為：用簡單網(wǎng)格將待求區(qū)域分解為多個獨(dú)立單元;再利用網(wǎng)格節(jié)點將各獨(dú)立單元連接整合為整個區(qū)域;區(qū)域信息離散至各個節(jié)點;結(jié)合邊界條件實現(xiàn)節(jié)點信息的求解;實現(xiàn)有限個離散節(jié)點對連續(xù)未知量的逼近。

結(jié)合兩門課程的特點，若以有限元方法為應(yīng)用背景講授《數(shù)值分析》的相應(yīng)內(nèi)容，既能幫助學(xué)生直接領(lǐng)會理論在實際中如何應(yīng)用，又可以培養(yǎng)學(xué)生尋求數(shù)學(xué)工具解決生產(chǎn)實踐中遇到的問題的能力，實現(xiàn)以用帶學(xué)、學(xué)以致用的目的。

二、數(shù)值分析方法在有限元方法中的應(yīng)用

1.插值法在有限元中的應(yīng)用。插值法是數(shù)值分析的一個重要知識點，主要包括拉格朗日插值法、牛頓插值、埃爾米特插值、樣條插值等。在實際教學(xué)中往往存在學(xué)生機(jī)械背誦插值公式，對于插值的用途和特點很難有深刻體會。而工科研究生經(jīng)常使用的工具有限元方法中會經(jīng)常涉及利用三角形單元或四邊形單元對區(qū)域進(jìn)行離散，實現(xiàn)網(wǎng)格剖分，在離散的過程中使用的形函數(shù)就是拉格朗日插值基函數(shù)的應(yīng)用。

以有限元中的長寬分別為a、b的四節(jié)點矩形單元為例，對連續(xù)位移構(gòu)造逼近函數(shù)：

2.數(shù)值積分在有限元中的應(yīng)用。對《數(shù)值積分》的相關(guān)知識學(xué)生往往存在以下困惑：為什么要用數(shù)值積分，而不是直接使用牛頓萊布尼茲公式求解？牛頓—科特斯積分直接應(yīng)用就可以了，為什么還要介紹高斯積分？這些積分方法的用處是什么？在有限元中無論是計算剛度矩陣還是荷載列陣時都要用到定積分，通常是多元函數(shù)的重積分。分布體力的等效節(jié)點荷載矩陣、分布面力的節(jié)點等效荷載、剛度矩陣計算公式分別為：

f（ξ，η，ζ）通常非常復(fù)雜，難以求出其原函數(shù)，即使能夠求解，其積分也非常煩瑣，更甚者要面對大規(guī)模計算，因此，尋求數(shù)值積分就是必然需求。工程計算中計算效率非常重要，同樣的節(jié)點數(shù)高斯積分的代數(shù)精度高于牛頓—科特斯公式，若是增加節(jié)點數(shù)目，整個計算規(guī)模會顯著增加，從而數(shù)值積分相關(guān)知識可以立體全面地掌握。

3.線性方程求解數(shù)值方法在有限元中的應(yīng)用。利用變分原理和離散化建立有限元矩陣方程后，加上邊界條件，得到一個系數(shù)矩陣非奇異的高階線性方程組。該矩陣方程的未知量通常為節(jié)點位移。應(yīng)用數(shù)值分析中介紹的各種數(shù)值方法，諸如高斯消元法、雅克比迭代法、LDLT分解法、共軛梯度法等，均可對有限元矩陣方程求解。通過對有實際背景方程的對比求解，可以在介紹各種不同算法的同時幫助學(xué)生了解工程中廣泛出現(xiàn)的稀疏矩陣、三對角矩陣作為系數(shù)矩陣的線性方程組那種算法更為精確、高效。

三、小結(jié)

數(shù)值分析方法是應(yīng)用數(shù)學(xué)理論解決工程實際的重要工具;有限元方法是在實際中廣泛使用的技術(shù);有限元的各個步驟都離不開數(shù)值分析方法的應(yīng)用。針對當(dāng)前《數(shù)值分析》教學(xué)中遇到的問題，提出以有限元方法為應(yīng)用背景給工科研究生講授《數(shù)值分析》的各知識點，以期加深學(xué)生對《數(shù)值分析》各算法的理解，進(jìn)一步幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和科研。

參考文獻(xiàn)：

[1]王能超.數(shù)值分析簡明教程（修訂版）[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002.

[2]李開泰，黃艾香，黃慶懷.有限元方法及其應(yīng)用[M].科學(xué)出版社，2006.

[3]杜廷松.關(guān)于《數(shù)值分析》課程教學(xué)改革研究的綜述和思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（2）：8-15.

Exploration of the "Numerical Analysis Course" Based on the "Finite Element Method" for the Engineering Postgraduates

WANG Min，DU Ting-song

（College of Science，China Three Gorges University，Yichang，Hubei 443002，China）

Abstract："Numerical Analysis" is an important basic course for engineering graduate students.In view of the problems encountered in current teaching，this paper discusses the teaching method of numerical analysis course based on the application of finite element method.

Key words："Numerical Analysis"; finite element; teaching