近兩年高考數(shù)學文化試題賞析

王勇 譚鍇

2017年全國高考大綱中要求：“在數(shù)學中增加數(shù)學文化的內(nèi)容”，這是從考試命題的角度正式地、明確地要求把數(shù)學文化融人數(shù)學試題，2018年、2019年高考大綱中表示，要求學生具有一定的數(shù)學視野，認識數(shù)學的科學價值和人文價值，崇尚數(shù)學的理性精神，形成審慎的思維習慣，體會數(shù)學的美學意義，可見，數(shù)學文化仍然是其考查的重要內(nèi)容，

據(jù)統(tǒng)計，2018年的13套高考試卷中有8套試卷出現(xiàn)數(shù)學文化試題共6道，2019年的13套高考試卷中有9套試卷出現(xiàn)數(shù)學文化試題共8道，為了更直接地體會高考試卷中的數(shù)學文化試題，列于表1.

從上述統(tǒng)計結果可以看出近兩年高考的數(shù)學文化試題有以下特征：第一，從題型來看，均為選擇題和填空題，其中選擇題所占比例較大;第二，從知識點的分布來看，涉及概率與統(tǒng)計、立體幾何、數(shù)列與方程組、不等式、跨學科綜合、優(yōu)美曲線等;第三，從題目來源來看，包括以《九章算術》、《張邱建算經(jīng)》、《周易》等中國古代經(jīng)典數(shù)學著作中的數(shù)學名題、相關素材以及國內(nèi)外數(shù)學家的優(yōu)秀成果、數(shù)學與其他學科的聯(lián)系和實際生產(chǎn)生活的內(nèi)容等為背景。

下面給出十四道題的深度解析，供學生復習時參考。

一、以國內(nèi)外數(shù)學家的優(yōu)秀成果為背景

1.希波克拉底研究的幾何圖形

例1（2018·全國卷I理10）如圖1來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊BC，直角邊AB、AC，AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1.p2.p3.則（ ），

點評本題以古希臘數(shù)學家希波克拉底研究的幾何圖形這一數(shù)學文化為背景，考查幾何概型，往年考查的數(shù)學文化試題，更多地考查中國傳統(tǒng)數(shù)學文化，2018年高考數(shù)學文化試題放眼世界，體現(xiàn)大國風范，取百家之長，圓中華之夢。

2.陳景潤與哥德巴赫猜想

例2（2018·全國卷Ⅱ理8）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果，哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為2個素數(shù)的和”，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是（ ）。

點評本題是以我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得世界領先成果為背景的一道古典概型試題，題目難度不大，目的是使考生潛移默化地感受我國數(shù)學取得的成就，提升考生的民族自豪感。

3.祖暅原理與幾何體的體積

例3（2019·浙江卷第4題）祖暅是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖咂原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=sh，其中s是柱體的底面積，九是柱體的高，若某柱體的三視圖如圖2所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：em3）是（ ），

A，158B，162 C，182 D，324

解析如圖3.該柱體是一個直五棱柱，棱柱的高為6.底面可以看作由兩個直角梯形組合而成，其中一個上底為4.下底為6.高為3.另一個的上底為2.下底為6.高為3。

點評本題以祖咂原理為背景，考查三視圖、柱體的體積等知識，考查考生的空間想象能力與運算求解能力，體現(xiàn)了數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，本題在弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的同時，引導考生樹立正確的歷史觀、民族觀、國家觀。

二、以實際生產(chǎn)生活的內(nèi)容為背景

1.中國古建筑中的榫卯設計

例4

（2018·全國卷Ⅲ理3文3）中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖4中木構件右邊的小長方體是榫頭，若如圖4擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（ ）。

解析由題意可知咬合時帶卯眼的木構件的直觀圖如圖5所示，由直觀圖可知其俯視圖應選A。

點評本題以中國古建筑借助榫卯連接木構件為背景，很好地考查了三視圖的相關內(nèi)容，考生需要先想象咬合時帶卯眼的木構件的直觀圖，再想象其俯視圖，這和以往多數(shù)通過所給三視圖想象直觀圖的命題方式相比，確實增添了一些新意，另外也傳播了中國悠久的文明和智慧，同時還能讓考生感受數(shù)學的神奇與魅力。

2.中國悠久的金石文化

例5（2019·全國卷Ⅱ理16文16）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖6），半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，圖7是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有——個面，其棱長為——。

點評本題以《周易》中的“卦”所展示的數(shù)學文化為問題背景，考查排列組合、古典概型的概率計算，考查抽象概括能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，體現(xiàn)了數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，本題考查中華傳統(tǒng)文化，與同卷第4題（以“斷臂維納斯”為背景創(chuàng)設的求身高問題）國外數(shù)學文化交相輝映，意在激發(fā)考生的愛國主義思想，增強民族自信心與自豪感。

4.以中國古典小說四大名著為背景設計的統(tǒng)計題

例12（2019·全國卷Ⅲ理3文4）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學的瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（ ）。

A，0.5B，0.6C，0.7D，0.8

解析用Venn圖表示閱讀過《西游記》和《紅樓夢》的人數(shù)之間的關系如圖12：

結合選項可知其身高可能是175cm，故選B，

點評本題以“斷臂維納斯”與黃金分割比例為背景創(chuàng)設求身高的問題，考查數(shù)學文化、不等式的解法與性質(zhì)及數(shù)值估算等知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，體現(xiàn)了數(shù)學抽象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，本題與2018年全國卷I理科數(shù)學第10題（希波克拉底研究的幾何圖形）均取材于古希臘數(shù)學文化，意在增強數(shù)學文化的浸潤，吸收世界數(shù)學文化的精華，引導考生開闊視野，更加熱愛數(shù)學文化，關注數(shù)學之美，

點評本題考查內(nèi)容比較豐富，涉及曲線的方程與幾何性質(zhì)、不等式、距離、面積等知識，對考生的推理能力、綜合應用能力、運算求解能力要求較高;重點體現(xiàn)邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng);同時也展現(xiàn)了對創(chuàng)新思維與審美能力的考查。