一種提取迂回型點(diǎn)群分布軸線方法的分析與應(yīng)用

吳凱，梁勇，蔡永寧

(濟(jì)南市勘察測(cè)繪研究院，山東 濟(jì)南 250013)

1 引 言

點(diǎn)群目標(biāo)是空間分布分析的重要對(duì)象。在GIS中，單個(gè)的點(diǎn)狀目標(biāo)，只有點(diǎn)位的坐標(biāo)和屬性信息，其形狀特征可以被忽略不考慮，而整個(gè)點(diǎn)群目標(biāo)則可能具有某些規(guī)律的分布特征[1]?？臻g分布分析過程不考慮單個(gè)點(diǎn)狀目標(biāo)的大小、形狀，主要關(guān)心的是群體分布所隱含的空間結(jié)構(gòu)化信息。對(duì)點(diǎn)群目標(biāo)進(jìn)行研究分析，目的在于提取其空間分布的相關(guān)規(guī)律，根據(jù)空間域內(nèi)包容分布對(duì)象的能力，顧及相互間的影響作用確定最佳設(shè)施配置[2]。

在空間點(diǎn)群研究中使用地圖代數(shù)距離變換(點(diǎn)群聚類)方法，可將距離與空間度量的尺度聯(lián)系起來；可得到各種廣義空間距離概念的識(shí)別和生成方法；易于推廣到多種空間，而非僅限于基于數(shù)學(xué)平面的研究。點(diǎn)群空間分布軸線，在數(shù)學(xué)上可抽象為點(diǎn)群數(shù)據(jù)的線性空間分布特征，傳統(tǒng)點(diǎn)群分布軸線的計(jì)算，無法處理有迂回曲線，無法挖掘橢球面上的點(diǎn)群分布軸線，現(xiàn)將距離變換的思想應(yīng)用到點(diǎn)群空間分布軸線提取的研究中，對(duì)于點(diǎn)群數(shù)據(jù)復(fù)雜的線性條帶分布(是彎曲或迂回曲線類型)，應(yīng)用基于距離變換的點(diǎn)群密度研究方法，提取分布軸線。

2 原理

2.1 距離變換及其原理

距離在空間分析中是一個(gè)非常廣義的概念。它不只是單一地代表兩點(diǎn)間的直線長(zhǎng)度，而是被賦予了空間概念下更加豐富的內(nèi)容。距離變換是將包含實(shí)體特征和空間背景的二值圖像轉(zhuǎn)變成距離圖像，即對(duì)二值圖像，將前景中的像素值轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到達(dá)最近背景點(diǎn)的距離。在變換后的距離圖像中，每一個(gè)像素值表示該像素離其最近的一個(gè)實(shí)體像素的距離，具體表現(xiàn)為每個(gè)實(shí)體的距離波不斷地向外空間擴(kuò)張，直到與鄰近實(shí)體的距離波相遇。

距離變換是計(jì)算并標(biāo)識(shí)空間點(diǎn)(對(duì)參照體)距離的變換或過程。距離變換是在確定特性的尺度下對(duì)全空間的度量。外距變換度量實(shí)體圖形外的空間，內(nèi)距變換度量實(shí)體圖形本身空間。它是對(duì)空間實(shí)體量度性質(zhì)的總體和全局的把握[2]。

距離變換特性有：

(1)各空間點(diǎn)距離數(shù)值上的唯一性。

各個(gè)空間點(diǎn)到唯一實(shí)體點(diǎn)的距離的平方是正確的；

各個(gè)空間點(diǎn)到唯一實(shí)體點(diǎn)的距離正確且唯一的；

當(dāng)空間中有N個(gè)實(shí)體點(diǎn)時(shí)，任一個(gè)空間點(diǎn)將在變換中得到它與最近實(shí)體點(diǎn)的距離(平方)；而當(dāng)有2個(gè)、3個(gè)或是若干個(gè)實(shí)體點(diǎn)到該空間點(diǎn)均為這個(gè)最小距離時(shí)，則該點(diǎn)即成為距此2點(diǎn)、3點(diǎn)或是若干點(diǎn)的等距點(diǎn)；

(2)平移不變性

指原點(diǎn)群中的點(diǎn)，由于它們是由實(shí)體以及相互之間關(guān)系決定的，理論上與坐標(biāo)系關(guān)系不大。平移是不變的，具有平移不變性。

(3)局部更動(dòng)性

當(dāng)增加或減少新的實(shí)體點(diǎn)集時(shí)，只與更動(dòng)“周圍”的實(shí)體及其空間有關(guān)，這個(gè)“周圍”是：對(duì)更動(dòng)點(diǎn)集的點(diǎn)位產(chǎn)生更動(dòng)距離數(shù)值的實(shí)體以及面向更動(dòng)點(diǎn)集一方的空間，這是距離變換的動(dòng)態(tài)特性。

2.2 點(diǎn)群的分布軸線與離散度

空間分布軸線是點(diǎn)群重要的分布特征信息，在地理空間中，對(duì)點(diǎn)群(如城市群、地震點(diǎn)群)提取其空間分布軸線，尤其在城市群研究中，通過提取的分布軸線研究其特征區(qū)域帶，對(duì)未來的經(jīng)濟(jì)建設(shè)布局和社會(huì)發(fā)展有著非常重要的決策參考價(jià)值[3]。

離散點(diǎn)群的空間分布趨勢(shì)或走向可以用點(diǎn)群空間分布軸線來表示。分布軸線是一條擬合的直線，可以用來描述離散點(diǎn)群的總體走向趨勢(shì)[4]。對(duì)于離散點(diǎn)群，可以擬合一條直線L(如圖1所示)或曲線，點(diǎn)群相對(duì)于L的距離反映了離散點(diǎn)群在點(diǎn)群走向上的離散程度，而L的走向則描述了點(diǎn)群的總體走向。

圖1 點(diǎn)群空間分布軸線

分布軸線的確定與點(diǎn)群相對(duì)于軸線的離散程度有關(guān)，點(diǎn)群相對(duì)于軸線的離散程度可以用三種不同的距離來度量：垂直距離ev、水平距離eh、直交距離eo。

離散度，在點(diǎn)群分布特征研究中，是對(duì)分布中心和分布軸線的補(bǔ)充，反映分布對(duì)象聚集程度的重要的空間分布參數(shù)。當(dāng)不同的空間點(diǎn)群具有相同或近似的分布中心和空間分布密度的情況下，可以用不同的離散度來反映點(diǎn)群的空間分布特性，進(jìn)行補(bǔ)充說明。

設(shè)點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)為(xi，yi)，在點(diǎn)群分布軸線的研究中，直線方程表示如圖2所示：

圖2 分布軸線為直線

但在復(fù)雜的實(shí)際情況中，一般使用曲線形式擬合迂回型點(diǎn)群分布。通常采用一般二次曲線形式。二次曲線是一種非常重要的平面曲線，在平面直角坐標(biāo)系下，由式二元二次方程所表示的曲線：

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0

(1)

其中二次項(xiàng)系數(shù)a11、a12和a22不全為零。二次曲線中除了橢圓(包括圓)、拋物線和雙曲線外，還有其他的曲線。在此以拋物線擬合點(diǎn)群為例進(jìn)行說明。

在曲線擬合點(diǎn)群方法[5]中，點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)為(xi，yi)，其中pi為屬性值，拋物線方程設(shè)為：y=ax2+bx+c，屬性加權(quán)的殘差平方和表示為：

(2)

表達(dá)式中的分母∑pi為常數(shù)，對(duì)方程的參數(shù)估計(jì)沒有影響，因此，通過表達(dá)式(3)來計(jì)算曲線方程的參數(shù)a，b，c：

(3)

使S取最小滿足殘差最小二乘，令

(4)

即可得：

(5)

解此方程組即可得到擬合分布軸線的拋物線方程。一般二次曲線對(duì)點(diǎn)群進(jìn)行擬合方法與此相同，通過滿足殘差最小二乘來計(jì)算方程參數(shù)。

3 迂回型點(diǎn)群空間分布軸線提取

3.1 方法分析

對(duì)迂回型點(diǎn)群，首先生成點(diǎn)群分布密度圖，對(duì)點(diǎn)群密度圖提取密度值大于0的邊界區(qū)域，運(yùn)用距離變換的方法生成該邊界區(qū)域的中軸線；對(duì)點(diǎn)群密度圖生成等值線，得到等密度線分布圖，提取將所有點(diǎn)包含的最小密度線，對(duì)該距離變換線運(yùn)用距離變換思想生成中軸線。

在對(duì)包含所有點(diǎn)的最小密度線生成的中軸線基礎(chǔ)上，運(yùn)用最深線提取原理，提取點(diǎn)群分布軸線，其基本思路為：以最小密度線生成的中軸線為基線，作垂直于該中軸線的等間距的劃分線，對(duì)每一條劃分線在密度圖上生成剖面線，在剖面圖中的最大密度值處取點(diǎn)，依次取所有劃分線在密度圖上經(jīng)過位置的最大值點(diǎn)，將所有最大值點(diǎn)進(jìn)行連線即可得到點(diǎn)群的分布軸線，該方法能更好地描述點(diǎn)群分布，相對(duì)于最小密度線的中軸線，這種方法會(huì)偏向于點(diǎn)群集聚分布的地方，在該曲線型上能夠滿足所有點(diǎn)的偏差量最小二乘原則。

統(tǒng)計(jì)點(diǎn)群相對(duì)于點(diǎn)群分布軸線的離散度，可以得到點(diǎn)群相對(duì)于分布軸線的偏差量，即點(diǎn)群的離散信息；通過比較不用方法所得軸線偏差量，可以對(duì)不同方法所得分布軸線進(jìn)行評(píng)價(jià)。

具體的操作流程如圖3所示。

圖3 迂回型點(diǎn)群分布軸線提取流程

3.2 實(shí)驗(yàn)分析

首先對(duì)空間點(diǎn)群數(shù)據(jù)求取分布密度圖，在此基礎(chǔ)上對(duì)點(diǎn)群密度圖提取密度值大于0的邊界區(qū)域以及包含所有點(diǎn)的最小密度等值線，運(yùn)用距離變換思想分別生成大于0邊界區(qū)域的中軸線、最小密度等值線區(qū)域的中軸線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 區(qū)域中軸線提取

圖4(c)中，外圍大區(qū)域確定的為密度值大于0邊界區(qū)域；內(nèi)圍小區(qū)域?yàn)榘悬c(diǎn)的最小等密度線區(qū)域，應(yīng)用距離變換對(duì)兩種邊界區(qū)域提取中間線作為點(diǎn)群的擬合分布軸線分別如圖4(d)和(e)，分布軸線1為大于0邊界區(qū)域的中軸線；分布軸線2為最小密度等值線區(qū)域的中軸線。

用最深線原理提取點(diǎn)群分布的軸線，即提密度最大值分布的軸線，如圖5所示。以最小密度線生成的中軸線(圖4(e)分布軸線2)為基線，作垂直于該中軸線的等間距的劃分線(圖5(a))，對(duì)每一條劃分線在密度圖上生成剖面線，在剖面圖中的最大密度值處取點(diǎn)，依次取所有劃分線在密度圖上經(jīng)過位置的最大值點(diǎn)(圖5(b))，將所有最大值點(diǎn)進(jìn)行連線即可得到點(diǎn)群的分布軸線(圖5(c)分布軸線3)。

圖5 密度最大值分布軸線提取

對(duì)3種不同方法得到的分布軸線進(jìn)行距離變換，如圖6所示，得到其空間等距離線的示例圖。

圖6 不同分布軸線的距離變換圖

讀取點(diǎn)群在點(diǎn)群分布軸線距離圖上的值，即點(diǎn)群相對(duì)于分布軸線的偏差量，便可統(tǒng)計(jì)點(diǎn)群相對(duì)于點(diǎn)群分布軸線的離散度信息。本文該試驗(yàn)中選取點(diǎn)數(shù)較多，不對(duì)每個(gè)點(diǎn)的離散度進(jìn)行一一顯示，僅對(duì)所有點(diǎn)相對(duì)于不同分布軸線的離差和與離差平方和進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

不同分布軸線離散度對(duì)比 表1

通過對(duì)點(diǎn)群與不用方法所得分布軸線偏差量的對(duì)比分析，可以看出：由密度值大于0的邊界區(qū)域所得的中軸線，作為點(diǎn)群分布軸線，其偏差量最大；由包含所有點(diǎn)的最小等密度線所確定的中軸線，作為點(diǎn)群分布軸線，其偏差量適中，效果較好；由最深線原理方法生成的分布軸線偏差量最小，但因?yàn)閯澐志€不夠細(xì)密，所得軸線不夠光滑，提取的精度與線的劃分線加密間距有關(guān)。運(yùn)用此方法，可以通過對(duì)劃分線進(jìn)行加密，來得到精度較高的分布軸線。

4 在地震帶識(shí)別中的應(yīng)用

對(duì)實(shí)驗(yàn)地震點(diǎn)群生成密度分布圖，運(yùn)用熱點(diǎn)分析原理，提取熱點(diǎn)區(qū)域，由熱點(diǎn)引導(dǎo)生成分布軸線。對(duì)分布軸線作一定范圍的緩沖區(qū)，來與實(shí)際地震帶比較，分析該方法在地震帶識(shí)別中的應(yīng)用。

4.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)區(qū)域及地震數(shù)據(jù)

將距離變換思想方法應(yīng)用到地震帶識(shí)別實(shí)例中，本文對(duì)地球系統(tǒng)科學(xué)數(shù)據(jù)共享網(wǎng)中的近2000年來中國(guó)地震目錄集成數(shù)據(jù)[6，7]進(jìn)行抽取，選取部分地震數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，因數(shù)據(jù)量較大，僅選取時(shí)間為1980年～2000年、震級(jí)大于3級(jí)、中國(guó)華北地區(qū)(34°～42°N，109°～118°E區(qū)域范圍)的地震點(diǎn)數(shù)據(jù)，共684條記錄。地震點(diǎn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖7所示。

圖7 地震點(diǎn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

4.2 實(shí)驗(yàn)地震點(diǎn)密度圖生成

基于距離變換思想生成的空間點(diǎn)群分布的密度圖，對(duì)實(shí)驗(yàn)地震點(diǎn)群生成密度分布圖如圖8所示。

圖8 地震點(diǎn)數(shù)據(jù)分布密度圖

距離變換方法生成的點(diǎn)群密度圖，因沒有固定距離步長(zhǎng)滑動(dòng)問題，選取合理的影響范圍，生成的密度圖中的密集和稀疏區(qū)域間的過渡就會(huì)比較平滑，不會(huì)出現(xiàn)大量黑斑情況。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法中，落入圓內(nèi)的點(diǎn)數(shù)設(shè)定對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)的灰度值，對(duì)兩個(gè)像素點(diǎn)而言，灰度值相同，落入搜索圓內(nèi)的點(diǎn)數(shù)目相等，但沒有考慮同搜索圓內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)分布的差別，沒有體現(xiàn)點(diǎn)與點(diǎn)距離不同而造成的差異；而且分布密集區(qū)域內(nèi)可能有大量由低密度而產(chǎn)生的洞或黑斑；該方法使用受滑動(dòng)步長(zhǎng)的限制，密集和稀疏區(qū)域間的過渡通常也大都是不平滑的。

4.3 熱點(diǎn)引導(dǎo)生成分布軸線

首先對(duì)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)群數(shù)據(jù)生成點(diǎn)群分布密度圖，由于實(shí)際地震點(diǎn)數(shù)據(jù)的聚集情況不同，密度值差異明顯。根據(jù)研究需要確定等值線的間距，生成密度等值線。本文研究中生成密度圖的灰度值為0～88.66，為方便顯示，選取間距為5生成密度等值線。結(jié)果如圖9所示。

圖9 密度等值線

對(duì)區(qū)域內(nèi)的不同數(shù)值的等密度線進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，生成如圖10所示的等密度線數(shù)值與個(gè)數(shù)的變化關(guān)系示意圖，其中縱坐標(biāo)N為不含重疊區(qū)的等值線個(gè)數(shù)，橫坐標(biāo)H為等密度線數(shù)值。由圖10，可以根據(jù)確定不同的等密度線數(shù)值，提取相應(yīng)不同個(gè)數(shù)的熱點(diǎn)區(qū)域。

圖10 等密度線個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)

對(duì)密度圖生成等值線，間距根據(jù)研究需要可進(jìn)行調(diào)整。通過對(duì)等值線選取的控制，獲取不同的熱點(diǎn)區(qū)域(如圖11(a)所示)，然后由獲取的熱點(diǎn)引導(dǎo)來獲取其分布的大致軸線(如圖11(b)所示)。

圖11熱點(diǎn)引導(dǎo)分布軸線生成示意圖

4.4 與實(shí)際地震帶進(jìn)行對(duì)比

對(duì)有熱點(diǎn)引導(dǎo)獲取的分布軸線作緩沖區(qū)(11(d)所示)，即可識(shí)別出研究區(qū)域可能的地震帶位置。集合地震專家劃分的華北地區(qū)的地震帶[8，9](郯廬地震帶、汾渭地震帶、內(nèi)蒙古地震帶、燕山地震帶、京津渤地震帶、華北平原地震帶)進(jìn)行比較，示意圖如圖12所示。

圖12結(jié)果分析圖

由圖12可知，僅對(duì)比研究區(qū)內(nèi)的地震帶識(shí)別情況，內(nèi)蒙古地震帶、汾渭地震帶、華北平原地震帶與熱點(diǎn)引導(dǎo)生成分布軸線的緩沖區(qū)結(jié)果較相近，所生成結(jié)果與燕山地震帶位置有偏差。專家在劃分地震帶時(shí)會(huì)考慮地震震級(jí)的大小，本文則主要是在距離尺度上研究地震的分布密度，并由熱點(diǎn)引導(dǎo)求取分布軸線，來識(shí)別地震帶分布。熱點(diǎn)引導(dǎo)生成分布軸線的緩沖區(qū)較好地表達(dá)了地震點(diǎn)的分布狀況，研究區(qū)684條地震記錄中有538個(gè)點(diǎn)落入作為識(shí)別地震帶的緩沖區(qū)內(nèi)，較好地吻合了地震帶的特征。

對(duì)密度圖生成等值線，間距調(diào)整到較小時(shí)，可以獲取更多細(xì)節(jié)特征。圖13為間距為1時(shí)用該方法獲得的熱點(diǎn)，及由熱點(diǎn)引導(dǎo)得到的分布軸線，以該分布軸線相應(yīng)的緩沖區(qū)作為識(shí)別的地震帶，能識(shí)別出小型地震帶的分布位置。

圖13等值線間距為1時(shí)所得熱點(diǎn)及分布軸線

5 結(jié) 語(yǔ)

點(diǎn)群的空間分布形態(tài)具有多樣性，不同的點(diǎn)群具有不同的空間分布形態(tài)。通過分析其在空間中的集中趨勢(shì)可以獲取點(diǎn)群的集聚特征信息。點(diǎn)群空間分布軸線是一條擬合的直線或曲線，可以描述離散點(diǎn)群的總體走向。將距離變換的思想應(yīng)用到迂回型點(diǎn)群空間分布軸線提取的研究中，針對(duì)點(diǎn)群分布的特點(diǎn)，獲取點(diǎn)群的分布軸線。在地理空間中，對(duì)實(shí)際點(diǎn)群，如迂回型或更加復(fù)雜的點(diǎn)群提取分布軸線，并結(jié)合軸線進(jìn)一步研究其特征分布區(qū)域，對(duì)城市建設(shè)的發(fā)展有著重要的參考意義和價(jià)值，這也是需要進(jìn)一步研究的重點(diǎn)。