基于拉格朗日的雷達(dá)方位超分辨方法

蔣平虎 張 鑫 蘇萍貞

（中國電子科技集團(tuán)公司第五十一研究所，上海，201802）

引 言

雷達(dá)方位超分辨是指在同一波束內(nèi)，雷達(dá)對相同距離單元上的相鄰目標(biāo)進(jìn)行分辨。雷達(dá)波束寬度越窄，其方位分辨率越高[1,2]，同時波束寬度與雷達(dá)的天線孔徑尺寸緊密相關(guān)，可表示為θ∝λ/d。式中θ為波束寬度，d為天線孔徑尺寸，λ為波長。因此可通過提高雷達(dá)工作頻率或增大天線孔徑d提高雷達(dá)方位分辨率。然而，由于民用航海雷達(dá)采用實孔徑波束掃描雷達(dá)，通常受探測距離、天線物理尺寸、實際工程中的安裝工作及價格成本等諸多因素的制約，無法使用大孔徑雷達(dá)天線[3]。

為解決上述問題，大量文獻(xiàn)采用反卷積方位超分辨方法，主要包括：維納濾波法[3,4]、最大后驗概率法（Maximum a posteriori,MAP）[5-9]以及約束優(yōu)化方法等[10-14]。維納濾波法自20世紀(jì)80年代起已應(yīng)用于雷達(dá)方位超分辨之中，如文獻(xiàn)[3]提出快速限定迭代反卷積（Fast constrained iterative deconvolution,FCID）方位超分辨方法，依據(jù)時頻域卷積特性，通過在非線性約束條件下構(gòu)造收斂模型，恢復(fù)目標(biāo)方位信號。在信噪比為30 dB以上時，該方法能夠?qū)⒗走_(dá)方位分辨率提高兩倍，但無法采用自適應(yīng)方式確定收斂參數(shù)，需經(jīng)過大量迭代運算，因而導(dǎo)致其運算復(fù)雜度極高，且可控性較差。文獻(xiàn)[4]根據(jù)傅里葉與小波變換，提出頻域反卷積超分辨方法，對回波向量與天線方向圖向量分別做小波變換與傅里葉變換處理，在頻域中進(jìn)行正交化展開，可有效降低運算復(fù)雜度。但該方法受波束寬度影響較大，無法在較寬的波束環(huán)境下進(jìn)行應(yīng)用。

除維納濾波法外，相關(guān)文獻(xiàn)中提出基于MAP理論的超分辨方法。文獻(xiàn)[5]提出Richardson-Lucy（RL）方位超分辨方法。將回波信號與噪聲以向量形式進(jìn)行表示，通過引入正則化參數(shù)將掃描模型改寫為正則化約束模型與貝葉斯估計模型對回波圖像中的方位信號進(jìn)行標(biāo)識，信噪比為30 dB以上時，可獲取清晰的雷達(dá)目標(biāo)圖像。文獻(xiàn)[6]依據(jù)回波圖像中目標(biāo)方位信號的稀疏特性，提出稀疏反卷積超分辨方法，憑借稀疏目標(biāo)這一先驗信息，利用MAP準(zhǔn)則對方位信息進(jìn)行判斷。文獻(xiàn)[7]通過建立雙層模型，提出基于局部自適應(yīng)邊緣保留的方位超分辨方法，可將低分辨率目標(biāo)圖像重構(gòu)為高分辨率圖像，不僅有效抑制振鈴現(xiàn)象，同時可使高分辨率掃描圖像趨于平滑。同樣文獻(xiàn)[8]采用極大似然估計與MAP理論提出超分辨方法。通過迭代運算逐步獲取目標(biāo)方位信息，該方法運算復(fù)雜度低，收斂性好。但由于噪聲適應(yīng)能力相對較差，信噪比需滿足30 dB以上。文獻(xiàn)[9]依據(jù)掃描角與可視角間的空間方位關(guān)系，構(gòu)造天線調(diào)制函數(shù)，建立分段常數(shù)模型，提出一種基于空間變換的方位超分辨方法，針對高速運動的實孔徑雷達(dá)，可有效提高數(shù)據(jù)處理速度，降低運算復(fù)雜度。

盡管采用上述兩類反卷積方法可有效提高雷達(dá)方位分辨率，然而若接收機存在大量噪聲，其幅度經(jīng)卷積運算后會被放大，導(dǎo)致重建信號方位與真實信號方位存在較大偏差，因此這類方法的最大局限在于噪聲適應(yīng)能力有限。文獻(xiàn)[10]給出范數(shù)正則化超分辨方法，針對L1范數(shù)模型，采用預(yù)測原始對偶路徑跟蹤算法對觀測模型進(jìn)行求解，可在低信噪比下實現(xiàn)目標(biāo)信號重構(gòu)。但由于無法對正則化參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)選取，導(dǎo)致該方法的運算復(fù)雜度相對較高。文獻(xiàn)[11]將超分辨問題轉(zhuǎn)化為無約束凸優(yōu)化問題，利用Newton法實現(xiàn)方位信息預(yù)測，盡管可有效提高方位分辨率，但該方法對信噪比要求較高。文獻(xiàn)[12]提出對偶-對數(shù)障礙超分辨方法，通過對天線方向圖矩陣進(jìn)行分解，構(gòu)造凸二次規(guī)劃模型，利用對數(shù)障礙法對求解模型最小二乘解，恢復(fù)目標(biāo)方位信號，該方法在信噪比為10 dB以上時，可成功實現(xiàn)方位超分辨。運動平臺與目標(biāo)之間的距離-多普勒頻移會對前視掃描雷達(dá)的方位分辨率會產(chǎn)生較大影響，對此文獻(xiàn)[13]對運動平臺與目標(biāo)分別進(jìn)行運動補償，解決回波與觀測矩陣的失配問題，對正則化觀測模型內(nèi)采用Lp范數(shù)法進(jìn)行求解，成功獲取目標(biāo)方位信號。文獻(xiàn)[14]提出基于交替方向思想的超分辨方法，利用拉格朗日法構(gòu)造回波模型，在運算中無需對目標(biāo)進(jìn)行運動補償。在信噪比大于15 dB時，可實現(xiàn)方位超分辨。而在實際工程應(yīng)用中，文獻(xiàn)[15]將多入多出（Multiple input multiple output,MIMO）技術(shù)應(yīng)用于高頻地波雷達(dá)之中，設(shè)計出高頻-MIMO雷達(dá)，針對遠(yuǎn)場中存在的小時寬帶寬乘積信號，能夠準(zhǔn)確計算出目標(biāo)的距離、方位以及速度信息。文獻(xiàn)[16]為提高實際工程中的信號處理的運算速度，在GPU框架內(nèi)對MAP超分辨法進(jìn)行編寫，實時重構(gòu)目標(biāo)信號，有效降低系統(tǒng)運算。

基于上述分析，本文根據(jù)二次規(guī)劃理論，提出改進(jìn)的方位超分辨方法。采用矩陣向量乘積形式將卷積回波模型進(jìn)行改寫，結(jié)合奇異值分解與BFGS算法構(gòu)造觀測模型，將方位超分辨問題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題，利用拉格朗日優(yōu)化定理計算模型的最優(yōu)解，成功恢復(fù)目標(biāo)原始方位信號。仿真結(jié)果表明，該方法在低信噪比環(huán)境下，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)雷達(dá)方位超分辨，同時相比于文獻(xiàn)[12]提出的對偶-對數(shù)障礙法，具有較好的噪聲適應(yīng)能力。

1 信號模型

當(dāng)雷達(dá)對某一區(qū)域進(jìn)行掃描時，若該區(qū)域內(nèi)存在若干點目標(biāo)，此時回波信號可視為天線方向圖與目標(biāo)方位信號的卷積，如圖1所示。利用公式可表示為

式中：x為點目標(biāo)的散射信號，即目標(biāo)的方位信號，假設(shè)其數(shù)據(jù)長度為N。a為天線方向圖，可由天線方向性系數(shù)來表示，假設(shè)數(shù)據(jù)長度M。y表示雷達(dá)回波信號，由計算可知數(shù)據(jù)長度為(N+M-1)。n為接收機噪聲。因此方位分辨可視為已知回波y與天線a，求解x的反卷積運算。

圖1 雷達(dá)掃描原理Fig.1 Radar scanning principle

將式（1）以矩陣-向量乘積形式進(jìn)行改寫，令x表示N×1維的方位信號向量。依據(jù)天線方向圖a可構(gòu)造大小為N×(N+M-1)的天線方向圖矩陣A，令其作為觀測矩陣獲取回波向量y，其中x，A，y可分別改寫為

由式（2—4）可知，式（1）改寫為

式（5）中，由于噪聲量n具有未知性，因此無法直接采用矩陣運算對該式進(jìn)行求解。若重構(gòu)目標(biāo)方位向量x，可采用約束優(yōu)化方法。

首先構(gòu)造約束優(yōu)化模型，即

對其進(jìn)行展開，則有

式（7）為二次規(guī)劃模型，若滿足凸形式，可采用二次規(guī)劃方法對其求解。令W=ATA，可知矩陣W為正定矩陣，因此式（7）為非凸二次規(guī)劃模型，而采用二次規(guī)劃方法則難以計算模型最小二乘解。

2 方位信號重構(gòu)

若實現(xiàn)目標(biāo)方位信號重構(gòu)，可構(gòu)造符合凸二次規(guī)劃形式的觀測模型，本文提出擬BFGS模型構(gòu)造方法，首先對天線方向圖矩陣進(jìn)行奇異值分解，則有

依據(jù)式（1）將U作為觀測矩陣對目標(biāo)進(jìn)行觀測，得到新的回波向量w，即w=Ux+n。

構(gòu)造迭代矩陣Mk，令Mk=UkJk(k=0,1…)，其中Uk與Jk分別表示為

式（9）中σk為尺度因子，Uk初始值滿足U0=U。式（10）中νk為Jk的迭代因子，由一極小正數(shù)表示。Pk為尺度矩陣。假設(shè)利用 Newton法生成一維向量 {xk}，令τ(k)表示xk的梯度，可簡化表示為τk，xk與τk分別寫作

式中xk初始值滿足x0=w。式（11）中βk為迭代步長，為降低運行復(fù)雜度可令βk=1。

令bk=-Uτk，εk=τk+1-τk。依據(jù)文獻(xiàn)[17,18]構(gòu)造εk（初始值為零向量），并對其進(jìn)行更新，更新準(zhǔn)則為

由文獻(xiàn)[18]可知尺度矩陣Pk可表示為

式（13）中sk滿足條件sk＞0，由文獻(xiàn)[19]sk可表示為

更新矩陣Uk與Mk，更新準(zhǔn)則為

U與x的初始值分別為U0=U與x0=w。令Mk+1=M，G=MTM，由此構(gòu)造拉格朗日觀測模型為

式中MTw=c，可知上式為近似的凸二次規(guī)劃模型。

假設(shè)存在K與D，分別滿足則式（19）的最優(yōu)解可表示為

式中?值與νk相關(guān)，若k→∞，則νk接近于零，此時矩陣M的最小特征值也接近于零，因此存在可逆矩陣M-1，當(dāng)滿足條件

終止迭代運算，此時模型最優(yōu)解為重構(gòu)之后的目標(biāo)方位信號。

3 實驗仿真

實驗條件與文獻(xiàn)[12]相同，假設(shè)雷達(dá)脈沖重復(fù)頻率（Pulse repetition frequency,PRF）為1000 Hz，天線轉(zhuǎn)速為100°/s，掃描范圍為-15°～15°，天線方向圖由sinc函數(shù)進(jìn)行表示，波束寬度為2.5°。掃描區(qū)域內(nèi)存在 4個點目標(biāo)，其方位分別為-1°，-0.5°，0.7°和 0.9°。系統(tǒng)噪聲模型采用高斯白噪聲，信噪比為10 dB，目標(biāo)方位信號與天線方向圖如圖2所示。

圖2 目標(biāo)方位信號與天線方向圖Fig.2 Target azimuth signals and antenna pattern

圖3 回波信號（信噪比為10 dB）Fig.3 Echo signals(SNR=10 dB)

回波信號如圖3所示，當(dāng)目標(biāo)方位間隔小于一個波束寬度時，無法通過回波圖像進(jìn)行方位分辨。對此分別采用本文方法、維納濾波法、RL法、MAP法、文獻(xiàn)[12]方法及L2范數(shù)法重構(gòu)目標(biāo)方位信號。

如圖4所示，當(dāng)信噪比為10 dB，目標(biāo)最小方位間隔為0.2°時，可計算出本文方法、L2范數(shù)法與文獻(xiàn)[12]3種方法重構(gòu)后相鄰目標(biāo)方位信號間的峰谷差[20]，因此判定好該3種方法均可成功恢復(fù)目標(biāo)方位信號，而采用其他方法重構(gòu)的方位信號之間不存在峰谷差，即無法實現(xiàn)方位超分辨。

假設(shè)目標(biāo)方位分別為-1°，-0.5°，0.7°以及 0.8°，此時目標(biāo)最小方位間隔（Minimum azimuthal interval,MAI）為0.1°，分辨結(jié)果如圖5所示?？芍?，位于0.7°與0.8°的重構(gòu)信號間不存在峰谷差，即無法實現(xiàn)方位超分辨，由此判斷3種方法的可分辨的最小方位間隔為0.2°。

令信噪比為 0dB，其方位分別為-1°，-0.5°，0.7°以及 0.9°，本文方法分辨結(jié)果如圖6所示。

如圖6所示，當(dāng)信噪比為0 dB時，與L2范數(shù)法及文獻(xiàn)[12]方法相同，本文方法無法實現(xiàn)方位超分辨，依據(jù)式（22）分別計算文本方法與文獻(xiàn)[12]方法信號重構(gòu)誤差比（SRER），有

其中SRER最大，噪聲適應(yīng)能力越強，分辨效果越佳。SRER，其中表示重構(gòu)信號幅值，A表示原始信號幅度值。SRER曲線如圖7所示。當(dāng)信噪比為22 dB以下時，本文方法能夠獲得較大SERE值，由此證明本文方法在低信噪比具有更好的噪聲適應(yīng)能力。除噪聲適應(yīng)能力外，分辨倍數(shù)（分辨倍數(shù)=波束寬度/可分辨最小方位間隔）為衡量分辨效果的另一重要指標(biāo)，本文方法與文獻(xiàn)[10]方法以及文獻(xiàn)[12]方法的分辨結(jié)果如表1所示。

圖4 不同方法分辨結(jié)果(最小方位間隔0.2°，信噪比為10 dB)Fig.4 The resolution performances of different methods(MAI=0.2°,SNR=10 dB)

圖5 不同方法分辨結(jié)果(最小方位間隔0.1°，信噪比為10 dB)Fig.5 The resolution performances of different methods(MAI=0.1°,SNR=10 dB)

由表1可知，當(dāng)信噪比為0 dB時，文獻(xiàn)[10]方法可實現(xiàn)方位超分辨，而本文方法與文獻(xiàn)[12]方法無法實現(xiàn)，因此該情況下應(yīng)選擇文獻(xiàn)[10]方法。如圖7與表1所示，當(dāng)信噪比為10～20 dB時，本文方法與文獻(xiàn)[12]方法的分辨倍數(shù)均為12.5倍，優(yōu)于文獻(xiàn)[10]方法，同時本文可獲取較大的SRER值，具有更好的噪聲適應(yīng)能力，此時應(yīng)選擇本文方法。當(dāng)信噪比大于20 dB以上時，本文方法與文獻(xiàn)[12]方法分辨倍數(shù)相同，但文獻(xiàn)[12]方法具有較大的SRER值，則應(yīng)選擇該方法。

4 結(jié)束語

本文提出基于拉格朗日的方位超分辨方法，將超分辨問題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題。通過對天線方向圖矩陣進(jìn)行奇異值分解，構(gòu)造二次規(guī)劃形式的觀測模型。結(jié)合BFGS算法與Lagrange優(yōu)化定理計算模型最優(yōu)解，完成目標(biāo)信號重構(gòu)。本文方法在信噪比為10～20 dB時，具有良好的方位分辨能力以及噪聲適應(yīng)能力。

圖6 不同方法分辨結(jié)果(信噪比為0 dB)Fig.6 The resolution performances of different methods(SNR=0 dB)

圖7 SRER計算結(jié)果Fig.7 SRER performances

表1 分辨倍數(shù)比較Tab.1 Comparison of resolution magnification