關(guān)于煤礦安全檢測(cè)與控制的數(shù)學(xué)模型

陳秀武

（蘭州文理學(xué)院傳媒工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730000）

1 符號(hào)說明

符號(hào)說明：

l-指采煤工作面到出風(fēng)口的距離

l1-風(fēng)巷口到出風(fēng)口的距離

q (x )-單位時(shí)間內(nèi)通過x ＞0 出的瓦斯量（或煤塵量）

ρ( x) -表示x 處瓦斯（或煤層的線密度）

u-表示煤層工作面的移動(dòng)速度

u (x )-表示t 時(shí)單位時(shí)間巷道中瓦斯的濃度

w(x )-表示t 時(shí)單位時(shí)間巷道中煤塵的濃度

v-表示回風(fēng)巷中的風(fēng)速即單位時(shí)間的排風(fēng)量

w0-瓦斯的平均線密度

b-巷道側(cè)壁對(duì)瓦斯的吸附率

b'-巷道側(cè)壁對(duì)煤塵的吸附率

m-為整個(gè)待采煤層所含瓦斯總量

s-為巷道的斷面積

v-為巷道總空間體積

β-為總風(fēng)巷道對(duì)瓦斯的吸附率

2 模型的建立與求解

2.1 模型假設(shè)

1）假設(shè)待采煤層中的瓦斯氣體均勻分布，采煤工作面釋放的瓦斯氣體流動(dòng)，一部分q0從出風(fēng)口排除，另一部分q被巷道中的側(cè)壁吸附，令；

2）工作面移動(dòng)的速率為u 風(fēng)速為v, v＞＞u 將待采煤礦整體近似看作長(zhǎng)方體回風(fēng)巷的長(zhǎng)度l1就是煤礦的長(zhǎng)度，回風(fēng)巷口到出風(fēng)口的距離為l -l1，如圖1所示：

3）整體待采煤層所含瓦斯總量M 均勻分布在長(zhǎng)為l1的煤礦中，于是瓦斯的平均線密度；

4）設(shè)在回風(fēng)巷中煤壁對(duì)瓦斯的吸附率為b，在總回風(fēng)巷中煤壁對(duì)瓦斯的吸附率為β；

5）根據(jù)附表2，日產(chǎn)量近似相等，可以認(rèn)為采煤工作面推移的速度恒定，設(shè)t=0 時(shí)，在x=0 開始采煤，當(dāng)時(shí)煤被采完。

2.2 建立模型與求解

2.2.1 瓦斯模型

下面分三個(gè)階段進(jìn)行建模討論。

1）采煤工作面不動(dòng)

設(shè)單位時(shí)間內(nèi)通過x0處的瓦斯量q (x )，令ρ( x) 為x 處瓦斯的線密度，則

在[x, x+Δx ]這一段煤礦中瓦斯量可以表示為{1}：

圖1 模型假設(shè)截面圖

即

假設(shè)ρ( x) 可導(dǎo)，令Δ x→ 0 將上式兩邊分別求導(dǎo)

再設(shè)x0=0 采煤工作面在單位時(shí)間內(nèi)放出的瓦斯量為H 待定頂參數(shù)，由假設(shè)（1）可知q ( x )=aH從而于是構(gòu)成

（5）解得：

根據(jù)ρ( x) 在l1處連續(xù)可知

由（7）解得：

當(dāng)x =l 時(shí)

2）確定煤層在開采過程中任意t ＞0 時(shí)刻，單位時(shí)間內(nèi)通過x =l 處的瓦斯量q (l ,t )

由假設(shè)2）可知u=常數(shù)，t 時(shí)刻煤層工作面將在x =ut處，這時(shí)（A）中的q (x )、ρ( x) 、H 分別應(yīng)記為q ( x,t )、ρ( x, t) 、H (t )完全類似于（A）中的ρ( x) 的表達(dá)式中的x 替換為x -ut ，H 換為H (t )。即得，

將q (l )中的l1，l 和Η 分別替換為l1t- ut ，l2- ut 和H (t )，得

下面確定H (t )

設(shè)t ＞0 時(shí)刻x =ut 處，單位時(shí)間內(nèi)煤層推進(jìn)的長(zhǎng)度為u 煤內(nèi)瓦斯含量H (t )的線密度為w( x,t )故

由（10），（11），（12）三式解得：

令w(0,0)=w0隨著t 的增長(zhǎng)煤壁吸附巷內(nèi)的瓦斯含量，致使w(u t ,t )上升，在[t , t+Δt ]內(nèi)

積分的：

由（15）解得：

3）確定整個(gè)待采煤礦開采完時(shí)通過x =l 處的瓦斯總量Q，開采完回風(fēng)巷Ⅰ所圍整個(gè)煤礦所需的時(shí)間

（19）式中的q (l ,t )為單位時(shí)間內(nèi)巷道在出口（x =l ）處排放的瓦斯量，那么采煤工作面單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的瓦斯量減去向外排放的瓦斯量，即為留存在巷道中的瓦斯量。在采煤工作面上單位時(shí)間產(chǎn)生的瓦斯量它與單位時(shí)間內(nèi)的采煤量成正比，

任意時(shí)間風(fēng)巷中瓦斯的濃度為：

u (t ) 表示在t時(shí)刻單位時(shí)間巷道中瓦斯的濃度

2.2.2 煤塵模型

同理，煤塵的濃度模型與瓦斯的模型相似，設(shè)w( t )表示在t時(shí)刻單位時(shí)間巷道中煤塵的濃度。只是巷道側(cè)壁對(duì)其的吸收率不同。

3 模型評(píng)估

本模型考慮了風(fēng)巷道側(cè)壁對(duì)瓦斯和煤塵的吸附作用。模型主要以風(fēng)速v以及采煤率 dm/dt為變量，u（t）和w（t）表示單位時(shí)間的濃度，它們都是風(fēng)速（單位時(shí)間的排風(fēng)量）的函數(shù)。只要適當(dāng)控制巷道中的風(fēng)速，即可控制井下的瓦斯?jié)舛群兔簤m濃度。所以本模型既是監(jiān)測(cè)模型又是控制模型。