增強(qiáng)目標(biāo)函數(shù)意識 攻克高考壓軸題

江蘇省錫山高級中學(xué)(214174) 吳寶瑩

把所求的目標(biāo)表示成某個或某些變量的函數(shù),這種函數(shù)就叫目標(biāo)函數(shù),建立目標(biāo)函數(shù)的過程就是尋找變量與目標(biāo)的關(guān)系的過程.從工程意義上講,目標(biāo)函數(shù)是系統(tǒng)的性能標(biāo)準(zhǔn),比如,一個結(jié)構(gòu)的用料最省、最低造價,一件產(chǎn)品的最短生產(chǎn)時間最短、能耗最小,一個實驗的最佳配方等等,建立目標(biāo)函數(shù)的目的就是實現(xiàn)最優(yōu)化設(shè)計.從數(shù)學(xué)意義上講,建立目標(biāo)函數(shù)后,常常再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),尋求目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值,或解決相關(guān)的其他問題.目標(biāo)函數(shù)法有目標(biāo)明確、努力方向清晰確定、無需技巧性很強(qiáng)且要求很高的代數(shù)變換等優(yōu)點,但是,相對來講,解決問題的過程可能會繁瑣一些.我們只要增強(qiáng)目標(biāo)函數(shù)意識,有一定的數(shù)學(xué)思維韌性和數(shù)學(xué)運算功底,完全可以攻克高考數(shù)學(xué)壓軸題.

一、問題再現(xiàn)

2019年高考數(shù)學(xué)(江蘇卷) 第19 題設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c ∈R,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值；

(2) 若a≠ b,b=c,且f(x) 和f′(x) 的零點均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的極小值；

(3)若a=0,0＜b≤1 且f(x)的極大值為M,求證：

二、標(biāo)準(zhǔn)答案

下面是命題組給出的標(biāo)準(zhǔn)答案：

解(1)、(2)略.(3)因為a=0,c=1,所以

f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f′(x)=3x2-2(b+1)x+b.因 為0＜b≤1,所以Δ=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+3＞0,則f′(x) 有2個不同的零點,設(shè)為x1,x2(x1＜x2).由f′(x)=0,得

列表如下：

x (-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)_f′(x)+0-0+_____f(x)↗極大值↘極小值↗____

所以f(x)的極大值M=f(x1).

解法一

因此,M≤

解法二

因為0＜b≤1,所以x1∈(0,1).當(dāng)x ∈(0,1) 時,f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2.令g(x)=x(x-1)2,x ∈(0,1),則令g′(x)=0,得

x (0, 1 1 3)(1 3,1)3 g′(x)+0+___g(x)↗極大值↘___

所以當(dāng)x=時,g(x) 取得極大值,且是最大值,故

三、“目標(biāo)”解析

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題的能力以及邏輯推理能力.在標(biāo)準(zhǔn)答案的解法一中,

這一步是基于x1是f′(x)=3x2-2(b+1)x+b的零點,即3x21-2(b+1)x1+b=0,有一定的目標(biāo)意識,就是說,在運算化簡的過程中,一定要考慮x1的來歷,它滿足什么條件?但是這一步配湊技巧性很強(qiáng),要求很高,一般學(xué)生難以達(dá)到.

以及解法二中f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2,這兩步都用了放縮技巧,屬于較高要求.

事實上,我們可以建立目標(biāo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出M=f(x1)=x31-(b+1)x21+bx1的最大值,再證明

目標(biāo)函數(shù)法

解(3) 因為a=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f′(x)=3x2-2(b+1)x+b.因為0＜b≤1,所以Δ=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+3＞0,則f′(x) 有2 個不同的零點,設(shè)為x1,x2(x1＜x2).由f′(x)=0 即3x2-2(b+1)x+b=0,得b=因為b ∈(0,1],即0＜則又拋物線y=f′(x) 的對稱軸且f′(x)=0 的兩根為x1,x2(x1＜x2),所以又所以,當(dāng)x ∈(0,x1)時,f′(x)＞0,f(x)在(0,x1)上單調(diào)遞增；當(dāng)時,f′(x)＜0,f(x)在上單調(diào)遞減,所以f(x)的極大值為M=f(x1).而

四、無獨有偶

2019年高考數(shù)學(xué)(江蘇卷)第20 題定義首項為1 且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.

(1) 已 知 等 比 數(shù) 列{an} (n ∈N) 滿 足：a2a4=a5,a3-4a2+4a4-0,求證：數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；

(2) 已知數(shù)列{bn} (n ∈N) 滿足：其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和.

①求數(shù)列{bn}的通項公式；

②設(shè)m為正整數(shù),若存在“M－數(shù)列”{cn} (n ∈N),對任意正整數(shù)k,當(dāng)k≤m時,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.

解(1)略.(2) ① 易求得bn=n；

②由①可知bk=k,k ∈N?,因為數(shù)列{cn}為“M數(shù)列”,設(shè)公比為q,所以c1=1,q＞0,且cn=qn-1(n ∈N?).因為ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,···,m.

當(dāng)k=1 時,q ≥1；當(dāng)k=2,3,···,m時,qk-1≤k≤qk對任意k=2,3,···m恒成立,即對任意k=2,3,···,m恒成立.所以則設(shè)令則可得令y′=0,得k=e,在(0,e) 上y′＞0,f(k) 單調(diào)遞增；在(e,∞) 上y′＜0,f(k) 單調(diào)遞減,故f(x)max=f(e).又k=2,3,···,m,且故