2019年高考全國Ⅰ卷理科第21題的變式與一般化探究

中山市桂山中學(528463) 蔡曉波

概率是高考中必考且重點考的知識點之一,此題一般以應用題的形式出現,能很好的考察學生的數學建模能力,數據分析能力和數學運算能力.下面筆者以2019年全國Ⅰ卷第21 題為例,通過對題目進行一般化、變式來多角度剖析該題.

一、題目再現

題目(2019年高考全國Ⅰ卷理科第21 題)為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時,就停止試驗,并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問題,約定：對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1 分,乙藥得-1 分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分,甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列；

(2) 若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4 分,pi(i=0,1,···,8) 表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,···,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設α=0.5,β=0.8.

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,···,7)為等比數列；

(ii)求p4,并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

解答(1)X的所有可能取值為-1,0,1；P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列為

X -1 0 1_____P (1-α)β αβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(2) (i) 由(1) 得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因為p1-p0=p1/=0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,···,7)為公比為4,首項為p1的等比數列.

p4表示最終認為甲藥更有效的概率,由計算結果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8 時,認為甲藥更有效的概率為p4=≈0.0039,此時得出錯誤結論的概率非常小,說明這種試驗方案合理.

試題評析本題在試卷中處于21 題,屬于壓軸題的位置,該題以測試新藥為背景,解釋試驗方案的合理性,是一個數學應用的題目,體現了數學的應用價值,考察了學生的數學建模能力與數據分析能力.此外,本題第二問還考察了數列方面的知識,要求學生有較強的分析能力與推理能力,因此本題綜合性較強,是一道考察學生數學綜合能力的好題.本題難點在于：

1.題目較長,文字較多,學生需要耐心分析題目的信息.

2.提問打破常規(guī),從以往的方案選擇或者單純的計算某個事件的概率變?yōu)槔酶怕式忉尯侠硇?

3.數列方面的考察也打破常規(guī),常規(guī)的數列題目往往比較容易就能知道首項和公比(公差),而本題中數列{pi+1-pi}的首項p1-p0和末項p8-p7均不能完全知道.

二、試題的一般化與變式

(一)α,β一般化把題目中的第(2)問的“α=0.5,β=0.8 ”變?yōu)椤?＜α＜1,0＜β＜1,α≠ β”,那么{pi+1-pi}(i=0,1,2,···,7) 還是等比數列嗎?并求出{pn}(n=0,1,2,···,8)的通項.

解因為pi=api-1+bpi+cpi+1,且由“試題解答”(1)可得：所以0,即所以又因為首項所以是公比為首項為p1的等比數列.設由α≠β可得q/=1,所以由于p8=1,故所以所以當n=0 時,p0=0 滿足pn=故pn=其中

(二)去除已知條件,弱化題目

把題目中的第(2)問的“p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,···,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設α=0.5,β=0.8”去掉變?yōu)椤?＜α＜1,0＜β＜1,α≠ β”,那么{pi+1-pi}(i=0,1,2,···,7) 還是等比數列嗎?并求出{pn}(n=0,1,2,···,8)的通項.

分析由于pi(i=0,1,···,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,故pi有實際意義,因此,上述條件去除之后,我們應該也可以利用概率的知識自己求出來.

解依題意可得p0表示此時乙藥已經比甲藥治愈的白鼠多4 只,此時停止試驗,并認為乙藥有效,因此p0=0,同理可得p8=1,當i/=0 且i/=8 時意味著實驗尚未停止,那么下一輪實驗有如下三種情況：

①甲藥未治愈而乙藥治愈,發(fā)生的概率為P(X=-1),那么甲藥累計得分變?yōu)閕-1 分,最終認為甲藥比乙藥更有效的概率為pi-1；

②甲藥與乙藥都治愈或者都未治愈,發(fā)生的概率為P(X=0),那么甲藥累計得分依然為i分,最終認為甲藥比乙藥更有效的概率為pi；

③甲藥治愈而乙藥治愈,發(fā)生的概率為P(X=1),那么甲藥累計得分變?yōu)閕+1 分,最終認為甲藥比乙藥更有效的概率為pi+1.

故有pi=P(X=-1)pi-1+P(X=0)pi+P(X=1)pi+1=(1-α)βpi-1+(αβ+(1-α)(1-β))pi+α(1-β)pi+1.以下解法與“(一)”相同.

注在該變式中,如果直接求pi比較困難,而換個角度,通過遞推的思想求出了pi與pi-1,pi+1的關系,從而進一步求出pi,則問題就變得比較簡單,讀者可以嘗試用遞推的思想解決下邊的這道題目：

例某個會閃爍的彩燈有紅色和綠色兩種顏色,第一次打開(我們約定為第1 次閃爍)時,出現紅色和出現綠色的概率都是,從第2 次閃爍開始有如下規(guī)律：若前次出現紅色,則下一次出現紅色的概率是,出現綠色的概率為若前次出現綠色,則下一次出現紅色的概率是,出現綠色的概率為；記第n次閃爍后出現紅色的概率為pn,求證為等比數列,并求出pn.

(三)次數一般化

在(二)的基礎上,我們把題目的2 個地方進行再次一般化：

①題目中的“當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4 只時,就停止試驗,并認為治愈只數多的藥更有效.”更改為“當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多k(k ∈N?)只時,就停止試驗,并認為治愈只數多的藥更有效.”

②題目中的第(2) 問更改為：若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予k分,0＜α＜1,0＜β＜1,α≠ β,那么{pi+1-pi},(i=0,1,2,···,2k-1)還是等比數列嗎?并求出{pn}(n=0,1,2,···,2k)的通項.

解由(二)類似可得：p0=0,p2k=1 且pi=P(X=-1)pi-1+P(X=0)pi+P(X=1)pi+1=(1-α)βpi-1+(αβ+(1-α)(1-β))pi+α(1-β)pi+1(i=1,2,···,2k-1).結合“(一)”類似可得：{pi+1-pi} (i=0,1,2,···,2k-1)是公比為首項為p1(p1/=0)的等比數列.設q=由α≠ β可得q/=1.所以由 于p2k=1,故p1=所以pn=(n=1,2,···,2k).當n=0 時,p0=0 滿 足所以其中

注讀者可以思考,為什么題目中甲藥、乙藥在試驗開始時都要賦予k分,能帶來什么樣的便利.

(四) 結論變式

在(三)的基礎上,我們增加一問：若α=0.5,β=0.8,且要求出錯概率不超過,則k的最小值是多少?

解：因為α=0.5,β=0.8,所以根據(三) 可得：q==4,所以pn=(n=0,1,2,···,2k).pk相當于實驗還沒開始或者實驗雖然進行了但甲藥與乙藥的有效次數一樣多,并且甲藥治愈率α小于乙藥治愈率β,因此出錯概率不超過等價于pk＜,所以pk=又因為k ∈N?,故可得k ≥5,故k的最小值為5.

注在此變式中,若將“α=0.5,β=0.8 ”修改為“α=0.8,β=0.5”,那么又該怎么做呢? 留給讀者自己去思考.

三、小結與反思

此題實際上是一個優(yōu)勝劣汰的問題,其實相當于對弈問題中平局概率不為零的情況,在教學中,教師可以通過變換題目背景,訓練學生的數學建模能力.

由2019年全國Ⅰ卷的概率題目,我們不難發(fā)現,該題考察面較廣,突破了該題僅考概率與統(tǒng)計知識的常規(guī),偏向于跨知識點的運用,注重考察學生的邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析等方面的能力.

因此,教師在教學中,可以通過一題多變引導學生對問題進行深層次的思考.