“一分為二”思想巧解一類函數(shù)問題
——從2019年一道高考函數(shù)題說起

安徽省太湖中學(246400) 李昭平

1.從一道高考題看“一分為二”思想

題目(2019年高考全國Ⅰ卷理科第20 題) 已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)是f(x)的導函數(shù).證明：f′(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點.

分析本題跳出了過去常見的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、整式函數(shù)、分式函數(shù)的復合形式,而以三角函數(shù)與分式函數(shù)的復合型函數(shù)形式出現(xiàn),這在近幾年高考中還是首次,給人耳目一新之感.由于三角函數(shù)的導數(shù)仍然是三角函數(shù),因此利用導數(shù)研究其極值也有一定的難度.顯然,方程的實數(shù)根無法直接求出,這讓我們聯(lián)想到：能否將方程“一分為二”,利用兩個函數(shù)和y=sinx的圖象的交點個數(shù)來處理問題呢? 基于這種思路,得到下述解答.

解答因為所以由f′′(x)=0 得,sinx=畫出函數(shù)y=和y=sinx的圖象可知,在區(qū)間內(nèi)兩函數(shù)的圖象有唯一交點,其橫坐標是x0.

圖1

顯然,在x＜x0附近,在x＞x0附近,sinx＞,f′′(x)＜0.因此x0是函數(shù)的唯一極大值點.

結(jié)論由上述解答,得到以下結(jié)論：設函數(shù)f(x)=其中y=h(x)是定曲線或動曲線.則對于關于f(x)的能成立問題、恒成立問題、零點問題、極值問題、圖象問題等等,利用“一分為二”的思想將復合型函數(shù)分成兩條曲線y=h(x)和y=g(x),運用函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、導數(shù)思想、動靜變化思想和極限思想來處理,往往事半功倍.下面結(jié)合典例予以說明.

2.“一分為二”思想的幾個應用

2.1 處理實根問題

例1(2016 高中數(shù)學聯(lián)賽安徽省預賽題)若x2=aex恰有三個不同的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是____.

解析x2=aex就是a=x2e-x.令f(x)=x2e-x,則顯 然f(x)在和(2,+∞) 內(nèi)單減,在(0,2) 內(nèi)單增,極大值是f(2)=4e-2,極小值是f(0)=0.當0＜a＜4e-2時,直線y=a與函數(shù)f(x)的圖象有三個交點,故實數(shù)a的取值范圍是(0,4e-2).

點評本題考查超越方程的實根,“一分為二”成兩個函數(shù)y=f(x)(定曲線)和y=a(動直線),則問題立即轉(zhuǎn)化為定曲線與動直線的位置關系,快速實現(xiàn)解題目標.一般地,設f(x)=h(x)-g(x),則f(x)=0 的實數(shù)根?f(x)的零點?f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標?h(x)與g(x)圖象交點的橫坐標.

2.2 處理零點問題

例2(2019年浙江高考題) 已知a,b ∈R,函 數(shù)若函數(shù)y=f(x)-ax-b恰有三個零點,則( )

A.a＜—1,b＜0 B.a＜—1,b＞0

C.a＞—1,b＞0 D.a＞—1,b＜0

解析函數(shù)y=f(x)-ax-b恰有三個零點,就是方程f(x)=ax+b有且僅有三個實數(shù)根,即曲線y=f(x)與直線g(x)=ax+b有且僅有三個交點.f′(x)=x2—(a+1)x+a=(x —a)(x —1),f′(0)=a,f(0)=0.當a＜—1 時,直線g(x)=ax+b的斜率小于—1,與曲線y=f(x)只有一個交點(如圖2),排除A,B.當a＞—1 時,如圖3可知,在—1＜a＜0,b＞0 時,曲線y=f(x)與直線g(x)=ax+b不可能有三個交點,排除C.故選D.

圖2

圖3

點評由于函數(shù)方程中涉及a,b兩個參數(shù),按“一元化”思路不少考生會一籌莫展.仍然運用“一分為二”思想,轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)f(x)和g(x)的交點個數(shù)問題.根據(jù)選擇題的選擇支提供的信息,結(jié)合分段函數(shù)的圖象,迅速排除錯誤答案.注意特殊與一般的關系是,一般寓于特殊之中.“命題在一般情況下為真,則在特殊情況下也為真”,“命題在特殊情況下為假,則在一般情況下也為假”.排除法、特殊化法是解某些非常規(guī)選擇題的有效途徑.

2.3 處理極值點問題

例3(2019年合肥市模考題)若函數(shù)f(x)=axlnx—ex存在唯一的極值點,則實數(shù)a的取值范圍是___.

解析由題意知,f′(x)=alnx+a-ex=0 有唯一正實數(shù)根,即alnx+a=ex,令g(x)=alnx+a,h(x)=ex,其圖象在第一象限只能有唯一公共點.

圖4

圖5

當a＞0 時,在x0附近,始終有g(x)＞h(x),則f′(x)＞0,保號,此時x0不是f(x)極值點.當a＜0 時,在x0附近,f′(x)異號.此時x0是f(x)唯一的極值點.故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0).

點評本題考查函數(shù)的極值點問題,是對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復合型函數(shù),“一分為二”成兩個函數(shù)y=g(x)(動曲線)和y=h(x)(定曲線),則問題立即轉(zhuǎn)化為動曲線與定曲線的位置關系,結(jié)合極值點的含義(在極值點兩旁附近f′(x)異號),確定參數(shù)a的取值范圍.

2.4 處理恒成立問題

例4 (2019年濟南市?？碱}) 設f(x)=xlnx,若f(x)≥kx-2(k+1)(k ∈Z) 對任意x＞2 恒成立,求整數(shù)k的最大值.

解析令g(x)=kx-2(k+1),顯然直線g(x) 過定點(2,-2).利用導數(shù)可以畫出曲線y=f(x) 的草圖.由圖象可知,直線y=g(x) 的極限位置是與曲線y=f(x) 相切,設切點是M(x0,y0),則切線方程是y-x0 ln x0=(1+ln x0)(x-x0).

將 點(2,-2) 代 入 得,2-x0lnx0=(1+lnx0)(2-x0),即x0-2 lnx0-4=0.則k≤1+lnx0.令h(x)=x-2 lnx-4,x＞2,則h′(x)=1-＞0,h(x)在(2,+∞) 內(nèi)單增.又因為h(8)=6 ln 2-4=2(ln 8-lne2)＞0,h(9)=4 ln 3-5＜0,在x0-2 lnx0-4=0 中x0∈(8,9).于是故整數(shù)k的最大值是3.

圖6

點評本題考查恒成立不等式中整數(shù)參數(shù)的最值,是近期模考中出現(xiàn)的一種新題型,在繼承傳統(tǒng)的前提下,增加了思維深度和運算難度.利用“一分為二”思想,原不等式化成兩個函數(shù)f(x)=xlnx(曲線大致形狀利用導數(shù)確定)與g(x)=kx-2(k+1)(動直線,過定點),它們值的大小關系,則立即轉(zhuǎn)化為定曲線與動直線的位置關系.整個過程體現(xiàn)了“數(shù)→形→數(shù)”之間的對應,直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算三種核心素養(yǎng)貫穿其中.

2.5 處理切線問題

例5(2014年高考北京卷試題) 已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.若過點P(1,t)存在3 條直線與曲線y=f(x)相切,求實數(shù)t的取值范圍.

圖7

解析設切點為A(x0,y0),則y0=2x30-3x0.因為f′(x)=6x2-3,所以f′(x0)=6x20-3,則切線方程是y-y0=f′(x0)(x-x0),即t-

點評這里如果從函數(shù)φ(x)=4x3-6x2+t+3 有三個零點出發(fā),求導、求極值運算、畫圖中都要涉及到參數(shù)t,這比“一分為二”成“定曲線y=g(x)與動直線y=-t有3 個不同的交點”復雜得多.

上文給我們的啟示是：好的高考題往往具有典型性、示范性和拓展性,如果教師認真思考、認真研究、認真比較,就能從中得到有價值的東西,并在課堂教學中恰當?shù)倪\用,提升課堂教學層次.