對(duì)2019年高考全國(guó)ⅠⅠ卷理科21題的溯源與解析*

福建省南平市高級(jí)中學(xué)(353000) 江智如

2019年高考全國(guó)ⅠⅠ卷理科第21 題,題型結(jié)構(gòu)常見(jiàn),三個(gè)問(wèn)題按梯度層層遞進(jìn),難度步步提升,很好地考查考生的推理論證能力與運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)試題的區(qū)分功能與選拔功能.因?yàn)楦呖荚囶}通常都具有深刻的命題背景,所以作為一線(xiàn)數(shù)學(xué)教師,不能僅限于解題和就題論題,而應(yīng)站在命題者的角度探尋試題命制的源流,追溯問(wèn)題的本源[1],更好地理解與領(lǐng)悟課程標(biāo)準(zhǔn)的精神[2]和要求,提高日常教學(xué)的質(zhì)量與效率.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2019年高考全國(guó)ⅠⅠ卷理科第21 題) 已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M(x,y) 滿(mǎn)足直線(xiàn)AM與BM的斜率之積為記M的軌跡為曲線(xiàn)C.

(Ⅰ)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)；

(ⅠⅠ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

(i) 證明：△PQG是直角三角形；

(ii) 求△PQG面積的最大值.

本試題三個(gè)小問(wèn),按照“軌跡—證明—求值”常規(guī)結(jié)構(gòu)命制,第(Ⅰ)問(wèn)求軌跡是利用橢圓的“第三定義”—斜率乘積為定值求解；第(i)問(wèn)是常見(jiàn)俗套問(wèn)題-“垂直”問(wèn)題；第(ii)問(wèn)是在第(i)問(wèn)的基礎(chǔ)上求最值問(wèn)題,全題波瀾不驚,步步為營(yíng),讓人似曾相識(shí),下面筆者探尋試題的本源與解法.

2 試題溯源

筆者查閱歷年高考試題,發(fā)現(xiàn)本試題幾乎是2011年江蘇高考第18 題的原題,試題如下：

題1 (2011年高考江蘇卷第18 題) 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,M,N分別是橢圓的頂點(diǎn),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于P,A兩點(diǎn),其中P在第一象限,過(guò)P作x軸的垂線(xiàn),垂足為C,連接AC,并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B,設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為k.

(Ⅰ)當(dāng)直線(xiàn)PA平分線(xiàn)段MN時(shí),求k的值；

(ⅠⅠ)當(dāng)k=2 時(shí),求點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離；

(ⅠⅠⅠ) 對(duì) 任 意k＞0,求 證：PA⊥PB.

圖1

點(diǎn)評(píng)題1 與全國(guó)ⅠⅠ卷第21 題的已知條件非常相似,區(qū)別在：題1 中曲線(xiàn)方程直接給出,而全國(guó)ⅠⅠ卷的試題則把曲線(xiàn)方程設(shè)置為第(Ⅰ)問(wèn)進(jìn)行求解,兩道試題考查的難點(diǎn)都是“垂直”問(wèn)題.此外,題1 的第(Ⅰ)問(wèn)和第(ⅠⅠ)問(wèn)設(shè)置比較基本,面對(duì)大部分考生,難度比全國(guó)ⅠⅠ卷試題低；全國(guó)ⅠⅠ卷試題第(Ⅰ)問(wèn)利用斜率定義求解曲線(xiàn)方程,屬于概念題型,大部分考生能夠完成,但從第(ⅠⅠ)問(wèn)開(kāi)始難度提高.整體上看,兩道試題考查的目標(biāo)與解題思路一致,都是考查曲線(xiàn)軌跡知識(shí)與解析幾何相關(guān)知識(shí),考查考生數(shù)學(xué)閱讀水平,數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

除了題1 相似外,筆者發(fā)現(xiàn)2012年湖北高考理科第21題也是此類(lèi)題型,只是把x軸與y軸交換一下而已,試題如下：

題2 (2012 湖北理21)設(shè)A是單位圓x2+y2=1 上的任意一點(diǎn),l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線(xiàn),D是直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)M在直線(xiàn)l上,且滿(mǎn)足|DM|=m|DA|(m＞0且m/=1).當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C.

(Ⅰ)求曲線(xiàn)C的方程,判斷曲線(xiàn)C為何種圓錐曲線(xiàn),并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(ⅠⅠ)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)交C于P,Q兩點(diǎn),其中點(diǎn)P在第一象限,它在y軸上的射影為N,直線(xiàn)QN交曲線(xiàn)C于另一點(diǎn)H.是否存在m,使對(duì)任意的k＞0,都有PQ⊥PH? 若存在,求m的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

點(diǎn)評(píng)題2 引入?yún)?shù),討論軌跡方程,考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)知識(shí),考查考生分類(lèi)討論思想和運(yùn)算求解能力.如圖2,第(ⅠⅠ)問(wèn)在第(Ⅰ)問(wèn)的基礎(chǔ)上,探究PQ⊥PH成立所需的值,雖然已知條件把x軸換成y軸,但是解題思路與全國(guó)ⅠⅠ卷和江蘇卷試題一脈相承,解題方法殊途同歸.

考查直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí),考查考生數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,同時(shí)題2 與全國(guó)ⅠⅠ卷第21 題在試卷中的定位類(lèi)似,都是作為壓軸題,體現(xiàn)試題的區(qū)分功能與選拔功能.

圖2

3 試題解析

3.1 試題分析

試題的第(Ⅰ)問(wèn)是常見(jiàn)的求軌跡題型,面向大部分的考生,考生只要按照日常復(fù)習(xí)的“軌跡問(wèn)題五步驟”就可順利求解.第(i)問(wèn)的本質(zhì)是垂直問(wèn)題,常用“斜率法”或“向量法”求解,考查一元二次方程韋達(dá)定理知識(shí),計(jì)算量大,考查考生的運(yùn)算求解能力.第(ii)問(wèn)是在第(i)問(wèn)的基礎(chǔ)上,求解三角形面積的表達(dá)式,利用“對(duì)勾”函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)性求解最大值.其中,如何建立三角形面積的表達(dá)式是本小問(wèn)的難點(diǎn),考查考生推理論證與運(yùn)算求解能力,計(jì)算復(fù)雜,難度大,考查考生綜合數(shù)學(xué)能力與素養(yǎng),體現(xiàn)試題的區(qū)分功能與選拔功能.

3.2 試題解析

(Ⅰ) 直 線(xiàn)AM的 斜 率 為：BM的斜率為：則化簡(jiǎn)得所以曲線(xiàn)C的方程為是焦點(diǎn)在x軸上,不包含A,B兩頂點(diǎn)的橢圓.

(ⅠⅠ) (i)如圖3,由已知可設(shè)直線(xiàn)PQ方程為：y=kx,(k＞0),代入曲線(xiàn)C:x2+2y2=4,得x2=因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限,所以xP=從而

圖3

(ii)由(i)知

故

令t=則t ≥2,從而因?yàn)樵赱2,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=2 即k=1 時(shí),S△PQG最大值為因此△PQG面積的最大值為

3.3 試題點(diǎn)評(píng)

本試題較往年的高考試題,固本強(qiáng)基,夯實(shí)基礎(chǔ),難度有所回歸,技巧性強(qiáng),運(yùn)算復(fù)雜,計(jì)算量大,把解析幾何的特點(diǎn)展現(xiàn)得淋漓盡致,突出區(qū)分功能和選拔功能.試題將橢圓、動(dòng)點(diǎn)的軌跡、兩直線(xiàn)垂直、函數(shù)最值等知識(shí)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合,考查考生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法和綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,對(duì)數(shù)學(xué)閱讀能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力有較高的要求[3].試題重基礎(chǔ)、重能力,穩(wěn)中有變,在不變中蘊(yùn)含著變,符合《課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考試大綱》的要求,破解應(yīng)試教育,對(duì)引領(lǐng)數(shù)學(xué)課程改革能起到正確的導(dǎo)向作用,不失為一道好題.

4 溯源啟示

4.1 轉(zhuǎn)變教學(xué)視角

隨著新一輪高中課程改革的實(shí)施,教師對(duì)解析幾何的教學(xué)應(yīng)由傳統(tǒng)的“結(jié)果性教學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)樗仞B(yǎng)立意的“過(guò)程性教學(xué)”,這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中,不僅要讓學(xué)生知其然,更要知其所以然,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生了解甚至主動(dòng)去探究解析幾何問(wèn)題的本“源”,學(xué)會(huì)舉一反三,而不是就題解題,機(jī)械模仿.一方面,教師探尋解析幾何問(wèn)題的本“源”,追溯數(shù)學(xué)思維發(fā)展的源泉,可以提升教師自身數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)和專(zhuān)業(yè)化水平；另一方面,教師把握解析幾何問(wèn)題的“流”[4],可以培養(yǎng)學(xué)生多維度思考問(wèn)題的習(xí)慣,登高望遠(yuǎn),拓展視野.

如全國(guó)ⅠⅠ卷的第(ⅠⅠ)問(wèn),能夠培養(yǎng)學(xué)生思維的深度和廣度,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,挖掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能.

4.2 設(shè)置精致練習(xí)

考試對(duì)教學(xué)有導(dǎo)向功能,影響教師教學(xué)的深度和廣度.2019年高考《考試大綱》明確“了解曲線(xiàn)與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,理解數(shù)形結(jié)合的思想,了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”考查目標(biāo),以及“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”四個(gè)考查要求[1].在日常解析幾何教學(xué)中,教師應(yīng)按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考試大綱》的要求,從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律出發(fā),設(shè)置精致練習(xí)[5],摒棄“題海戰(zhàn)術(shù)”,以解析幾何知識(shí)與能力為載體,突出學(xué)科素養(yǎng)導(dǎo)向,注重學(xué)生直觀(guān)想象素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng),使習(xí)題有“源”而“活”,有“源”而“新”,讓學(xué)生在“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”中[6]理解與掌握解析幾何知識(shí),提升數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.