多想少算視角下的2018年高考數(shù)學(xué)試題分析*

四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院(641112) 劉成龍 胡 琳 張 慶

數(shù)學(xué)作為思維的科學(xué),其核心價(jià)值在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)就是想問(wèn)題和想問(wèn)題如何解決.[1]因此,高考數(shù)學(xué)命題將“多一點(diǎn)想,少一點(diǎn)算”作為了一條基本的命題理念.[2]其中,想即思考,算即運(yùn)算,通過(guò)思考來(lái)指導(dǎo)運(yùn)算,從而達(dá)到少算、巧算.在此理念的指導(dǎo)下,“多想少算”成為了高考命題的基本原則.研究表明,2018年高考命題充分體現(xiàn)了“多想少算”這一原則.如何在解題中實(shí)現(xiàn)“多想少算”呢? 運(yùn)用恰當(dāng)?shù)牟呗允菍?shí)現(xiàn)“多想少算”的最佳路徑.文中以2018年高考試題為例,介紹實(shí)現(xiàn)“多想少算”的幾種解題策略,以期讀者充分感受“多想少算”的命題理念和策略的魅力.

策略一、利用定義

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式.李邦河院士希望“喜歡數(shù)學(xué)的人千萬(wàn)要重視基本概念,不僅要記住,還要通過(guò)具體的例子來(lái)深入的理解”.李院士還認(rèn)為：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的,而不是純粹的技巧.[3]高考數(shù)學(xué)十分注重對(duì)定義的考查,同時(shí)借助定義能快速得到問(wèn)題的解.

例1(2018年高考浙江卷第8 題) 已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均相等,E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)),設(shè)SE與BC所成的角為θ1,SE與平面ABCD所成的角為θ2,二面角S-AB-C的平面角為θ3,則( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

圖1

解如圖1,設(shè)O為正方形ABCD的中心,M為AB中點(diǎn).過(guò)E作EF//BC,且交CD于F,過(guò)O作ON⊥EF于N,連接SO,SN,OM,OE,則SO⊥面ABCD,OM⊥AB.于是∠SEN=θ1,∠SEO=θ2,∠SMO=θ3,從而因?yàn)镾N ≥SO,EO ≥OM,所以tanθ1≥tanθ3≥tanθ2,即θ1≥θ3≥θ2,故選D.

評(píng)析本例重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)異面直線成角、線面角、二面角定義的理解.解答本例只需要緊扣三種角的定義,通過(guò)作輔助線找出三種角,再通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算即可.這一過(guò)程充分體現(xiàn)了定義是思維之母,思維是運(yùn)算之基.

策略二、利用“二手結(jié)論”

“二手結(jié)論”指除高中教材中現(xiàn)有結(jié)論之外的結(jié)論.高中階段有大量的“二手結(jié)論”,比如：函數(shù)的點(diǎn)對(duì)稱、線對(duì)稱、周期結(jié)論、向量的極化恒等式結(jié)論、三角形面積的向量表示結(jié)論等等.利用“二手結(jié)論”解題,可以縮短推演時(shí)間、大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.

例2(2018年高考全國(guó)ⅠⅠⅠ卷理科第16 題) 已知點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B,兩點(diǎn).若∠AMB=90°,則k=___.

圖2

分析如圖2,與本例直接相關(guān)的結(jié)論有：過(guò)拋物線y2=2px(p＞0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),M為準(zhǔn)線上一點(diǎn),且∠AMB=90°,則MF⊥AB.利用該結(jié)論可以秒殺例2,具體解答過(guò)程參見文[4].

例3(2018年高考全國(guó)ⅠⅠⅠ卷理科第20 題)已知斜率為k的直線l與橢圓C:交于A,B兩點(diǎn).線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m＞0).

(ⅠⅠ)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且證明：成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.

分析與本例直接相關(guān)的“二手結(jié)論”是焦半徑公式：已知P(x0,y0) 是橢圓上一點(diǎn),分別為橢圓的左右焦點(diǎn),則

解(ⅠⅠ) 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),則于 是因?yàn)镸(1,m) 為AB的中點(diǎn),所以x1+x2=2,于是x3=1.由焦半徑公式得所以故即成等差數(shù)列(此處省略公差的求解).

例4(2018年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第21 題) 已知函數(shù)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明：

分析與本例直接相關(guān)的“二手結(jié)論”是對(duì)數(shù)—平均值不等式：已知x1,x2＞0,且則

解(ⅠⅠ)因?yàn)閯tx1,x2是的兩實(shí)數(shù)根,于是a＞2,x1x2=1,所以由對(duì)數(shù)—平均值不等式可得：

評(píng)注例2、3、4 的解答中,充分運(yùn)用“二手結(jié)論”實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題解答的優(yōu)化.具體來(lái)講,例2 解答中用到的結(jié)論常在一些練習(xí)題和模擬試題中出現(xiàn)；例3 中用到的焦半徑公式在教材正文部分沒(méi)有出現(xiàn),但運(yùn)用閱讀材料中的第二定義能輕松得到；例4 中用到的對(duì)數(shù)—平均不等式是數(shù)學(xué)競(jìng)賽的內(nèi)容,但已經(jīng)成為高考解題的重要工具.因此,高三復(fù)習(xí)中要關(guān)注教材、模擬試題、以及競(jìng)賽中的一些重要結(jié)論.當(dāng)然,并不需要對(duì)所有結(jié)論都加以記憶,這樣會(huì)加重學(xué)生負(fù)擔(dān),但結(jié)論本身是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程就是問(wèn)題的解決過(guò)程.因此,經(jīng)典結(jié)論需要記憶,一般結(jié)論需要弄清解答過(guò)程.

策略三、利用補(bǔ)形法

所謂補(bǔ)形法,是將一幾何體補(bǔ)成另一幾何體后,在所形成的新幾何體中研究原幾何體中的有關(guān)元素位置關(guān)系及其計(jì)算的方法,也稱嵌入法[5].補(bǔ)形法蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化的思想,補(bǔ)形的過(guò)程中往往具有創(chuàng)造的成分.

例5(2018年高考全國(guó)ⅠⅠⅠ卷理科第19 題) 如圖3,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點(diǎn).

圖3

(ⅠⅠ)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí),求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

解[4](ⅠⅠ)將圖3補(bǔ)形成直三棱柱.當(dāng)M位于的中點(diǎn)時(shí)三棱錐M-ABC體積最大.面MAB與面MCD所成二面角為∠APD.于是故面MAB與面MCD所成二面角的正弦值為

評(píng)析解答本例的方法有多種,比如：向量法、幾何法(定義法)等等.具體來(lái)講,向量法涉及建系、坐標(biāo)化、求法向量等過(guò)程,盡管有規(guī)可依,但是運(yùn)算過(guò)程較為復(fù)雜；幾何法解答需要找出二面角,這需要找交線、做垂線,但交線沒(méi)有現(xiàn)成的,且作出的二面角需要借助“三垂線”定理來(lái)證明,過(guò)程較繁瑣.通過(guò)補(bǔ)形使得原問(wèn)題的本質(zhì)得以充分的展示,優(yōu)化了問(wèn)題的解答,充分體現(xiàn)了多一點(diǎn)想,少一點(diǎn)算.

策略四、利用模型

數(shù)學(xué)模型是研究者依據(jù)研究目的,將所研究客觀事物的過(guò)程和現(xiàn)象的主要特征、主要關(guān)系,采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,概括或近似地表達(dá)出來(lái)的一種結(jié)構(gòu).[6]比如：指數(shù)模型、對(duì)數(shù)模型、三角模型、最優(yōu)化模型、微分方程模型等等.數(shù)學(xué)模型代表了解決一類問(wèn)題的思考方式和模式.利用模型能縮短思考時(shí)間、提升解題效率.

例6(2018年高考上海卷第12 題) 已知實(shí)數(shù)x1,x2,y1,y2滿足：x21+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,則的最大值為___.

圖4

分析由和結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到點(diǎn)到直線距離公式這一基本模型.

解如圖4,P(x1,y1),Q(x2,y2)在x2+y2=1 上.由得∠POQ=則ΔPOQ為等邊三角形.表示點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2) 到直線l1:x+y-1=0 的距離的和.

設(shè)∠PON=α,所以

評(píng)析解答本例的核心是將視為點(diǎn)到直線的距離和,這蘊(yùn)含了模型化思想.同時(shí),將代數(shù)問(wèn)題幾何化,使得問(wèn)題更加直觀、形象,體現(xiàn)了數(shù)與形的辯證統(tǒng)一.總之,立足模型,利用圖形表征問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題是解法的最大亮點(diǎn).

策略五、利用高等工具

高等工具指高等數(shù)學(xué)中的定理、公式、法則等知識(shí).近年來(lái),越來(lái)越多的高考試題含有高等數(shù)學(xué)背景.因此,高等工具成為了解答這一類試題的有力工具.常見的高等工具有洛必達(dá)法則、Jensen 不等式、泰勒展式、拉格朗日中值定理、不動(dòng)點(diǎn)理論等等.

例7(2018年高考全國(guó)卷ⅠⅠⅠ文科第21 題) 已知函數(shù)

(ⅠⅠ)證明：當(dāng)a ≥1 時(shí),f(x)+e ≥0.

證明欲證f(x)+e=≥0,只需證明由泰勒公式有可得ex ≥x+1,于是ex+1≥x+2.故又因?yàn)閍 ≥1,所以ax2+2x+1≥x2+2x+1=(x+1)2≥0.所以當(dāng)a ≥1 時(shí),f(x)+e ≥0.

評(píng)注本例的初等解法涉及繁瑣運(yùn)算和放縮,運(yùn)用泰勒公式將ex+1放縮為ex+1≥x+2,這一步可以看成是去超越式,使得解答思維難度和運(yùn)算量降低了,這充分展示了高等工具的威力.特別指出,在歷年的高考閱卷中,運(yùn)用高等工具解答高考試題只要做到有理有據(jù)均沒(méi)有扣分.

例8(2018年高考全國(guó)卷ⅠⅠⅠ理科第21 題) 已知函數(shù)

(ⅠⅠ)若x=0 是f(x)的極大值點(diǎn),求a.

分析本例(ⅠⅠ)問(wèn)含有豐富的高等數(shù)學(xué)背景,比如：運(yùn)用泰勒公式、洛必達(dá)法則、極大值點(diǎn)的第三充分條件、帕德逼近等.運(yùn)用這些高等工具既能發(fā)現(xiàn)證明思路,又能給出直觀、簡(jiǎn)潔的證明過(guò)程,具體過(guò)程可參見文[7].

策略六、利用特殊化

波利亞指出：“特殊化是從對(duì)象的一個(gè)給定集合,轉(zhuǎn)而考慮那包含在這集合內(nèi)的較小集合.”特殊化在問(wèn)題解決、結(jié)論發(fā)現(xiàn)上具有積極意義,正如希爾伯特所說(shuō)“在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),我相信特殊化比一般化起著更重要的作用.”特殊化包括字母數(shù)據(jù)特殊、圖形位置特殊、幾何圖形特殊化等等.

例9(2018年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第10 題)圖5來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為ⅠⅠ,其余部分記為ⅠⅠⅠ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,ⅠⅠ,ⅠⅠⅠ的概率分別記為p1,p2,p3,則( )

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

分析將直角△ABC特殊化為直角邊為2 的等腰直角三角形.易得,p1=2,p2=2,p3=π —2.故p1=p2＞p3,選A.

評(píng)注華羅庚教授指出：“善于退,一直退到原始而不失重要性的地方,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”特殊化即為退的一種形式.本例作為選擇題,需要小題小做、快做、巧作,特殊化是最佳的解題策略.退回到直角邊為2 的等腰直角三角形來(lái)解答本例,既直觀,又方便運(yùn)算.

圖5

策略七、利用合理分類

分類與整合思想是指將研究對(duì)象按照某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分成若干類,再分別對(duì)每一類進(jìn)行解答,進(jìn)而獲得原問(wèn)題的解.運(yùn)用分類與整合思想的核心是分類.分類需要滿足：(1)分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一；(2)分類不重不漏；(3)分類不能越級(jí).[8]合理的分類往往能簡(jiǎn)化問(wèn)題的解答.

例10(2018年高考浙江卷第16 題)從1,3,5,7,9 中任取2 個(gè)數(shù)字,從0,2,4,6 中任取2 個(gè)數(shù)字,一共可以組成____個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)

解(1)選0 時(shí),有C25C13C13A33=540 種；(2)不選0 時(shí),有C25C23A44=720 種.所以共有540+720=1260 種不同的排法.

評(píng)析解答本例的關(guān)鍵是合理的分類：選0、不選0.解答中若不將是否選0 作為分類的標(biāo)準(zhǔn),在處理中容易重、漏,以0 為分類標(biāo)準(zhǔn)能輕松地獲得問(wèn)題的解.

策略八、利用數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚指出“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺,形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休.”可以看出數(shù)形結(jié)合是溝通代數(shù)、幾何的重要方式.同時(shí),數(shù)形結(jié)合可以降低復(fù)雜問(wèn)題的思維難度,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的優(yōu)化.

例11(2018年高考北京卷理科第14 題) 已知橢圓雙曲線1(m,n＞0).若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn),則橢圓M的離心率為___；雙曲線N的離心率為____.

圖6

解如圖6,∠AOF1=60°,∠AF1F2=60°,∠AF2F1=30°.所以ΔAF1F2為直角三角形.故不妨設(shè)AF1=1,則AF2=所以a=故橢圓的離心率又不妨設(shè)m=1,則n=雙曲線離心率則e2=2.

策略九、利用極限法

極限法是指利用極限來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法.解答時(shí)將問(wèn)題放置到極端狀態(tài)或極端條件來(lái)分析,往往能優(yōu)化問(wèn)題的解答.

例12(2018年高考全國(guó)卷ⅠⅠ理科第3 題)函數(shù)f(x)=的圖像大致為( )

解析不妨從函數(shù)構(gòu)成要件來(lái)思考：當(dāng)x →+∞時(shí),ex →+∞,e-x →0,x2→+∞,故=又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)比二次函數(shù)增長(zhǎng)速率快得多,故因此,排除A、C、D 選項(xiàng),選擇B.同理,