全面開發(fā)教材例題習(xí)題 正確理解高考價(jià)值導(dǎo)向*
——2019年高考全國Ⅰ卷理科第17題剖析

東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)(523120) 薛新建

一、原題呈現(xiàn)

題目(2019年高考全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第17 題)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1) 求A；

(2) 若+b=2c,求sinC.

二、考綱分析

《2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱(理科)》(下簡稱大綱)中對(duì)三角函數(shù)與解三角形部分要求如下：

1.突出考察形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)圖象與性質(zhì)；考察兩角和與差的三角函數(shù)公式和簡單的三角恒等變換；

2.重點(diǎn)考察正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用,解決簡單的三角形度量問題,以及與測量和幾何有關(guān)的實(shí)際問題.

從2012-2018年高考對(duì)解三角形部分的考察來看,題型和位置都相對(duì)固定,對(duì)于“解決與測量和幾何相關(guān)的實(shí)際問題”從來沒有涉及,重點(diǎn)在于“解決簡單的三角形度量問題”,y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)圖象與性質(zhì),以及三角恒等變換等的考察.這些問題類型主要包括利用對(duì)已知條件的邊角互化求邊或求角的問題,以余弦定理為載體考察三角形面積和周長問題,余弦定理與基本不等式結(jié)合求范圍問題,正弦定理化一角一函數(shù)求范圍問題等.與往年縱向比較,2019年解三角形的題目內(nèi)容符合大綱要求,問題類型與往年規(guī)律相符(求角),學(xué)生通過正弦定理、余弦定理對(duì)條件進(jìn)行邊角互化后即可解決問題,題目定位容易題,對(duì)于整個(gè)試卷結(jié)構(gòu)難易搭配的合理性起重要作用.經(jīng)過仔細(xì)研究會(huì)發(fā)現(xiàn),這一道解三角形題遵循經(jīng)典但富有創(chuàng)新,定位簡單然區(qū)分度高,看似復(fù)雜又源自教材,考察到的思想方法十分豐富,對(duì)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)十分到位.

三、題目剖析

第(1)問對(duì)方程左邊平方展開,得到三角函數(shù)的齊次方程,用正弦定理化角為邊后再結(jié)合余弦定理可得下面重點(diǎn)分析第(2)問.

解法1

反思1 該解法中規(guī)中矩,從問題來看要求的是角,從條件來看所知是邊,因此化邊為角再結(jié)合消掉角B,即可得到關(guān)于角C的方程,后面通過簡單構(gòu)造將問題轉(zhuǎn)化成常見的知值求值問題,既符合學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的一般認(rèn)知規(guī)律,也符合大多數(shù)師生平時(shí)的備考思路.這一常規(guī)解法證明該題定位清晰,難度適當(dāng),考察知識(shí)點(diǎn)合理合情,完全符合大綱要求.在實(shí)際運(yùn)算過程中,學(xué)生可能把②式和sin2C+cos2C=1 聯(lián)立去求sinC,計(jì)算得到sinC=或sinC=這兩個(gè)解的取舍可以把sinC的兩個(gè)值代入①去求sinB,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)sinC=時(shí)sinB=因此需要舍掉.這樣的計(jì)算思路無論是解方程組還是對(duì)兩個(gè)sinC的值的取舍,都會(huì)造成比較大的計(jì)算量,學(xué)生計(jì)算思路的選擇可能會(huì)成為本題被詬病的原因.

解法2由(1)知A=,由余弦定理可得

與

聯(lián)立消去b并整理可得兩邊除以a2得所以又由正弦定理知所以后同反思1 取sin

反思2 該解法是以余弦定理和題式聯(lián)立消元得到a,c關(guān)系,抓住了兩式的方程本質(zhì),三個(gè)變量兩個(gè)方程經(jīng)化簡可以得到兩個(gè)變量的比例關(guān)系,進(jìn)而用正弦定理就可以轉(zhuǎn)化為角.解法體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,轉(zhuǎn)化與化歸的思想,考察了學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).先消元再化角,符合大多數(shù)學(xué)生的思維習(xí)慣,但該解法運(yùn)算量比較大,學(xué)生可能在運(yùn)算過程中出錯(cuò),放棄或者在最后對(duì)兩個(gè)sinC的值的取舍時(shí)感到困難.值得一提的是,該解法有兩個(gè)變解：即下述解法3 和解法4.

解法3在 ③④兩個(gè)方程聯(lián)立后,可以對(duì)兩個(gè)方程選擇主元進(jìn)行思考,不要把方程組看成三元二次方程組,而是看成關(guān)于b的一元二次方程組.由 ③得

由 ④得

兩式再消b得到a,c關(guān)系,后同解法2.

解法4在 ③④兩個(gè)方程聯(lián)立后,觀察 ④式發(fā)現(xiàn),成等差數(shù)列,不妨設(shè)即a=b=c+d,代入 ③式化簡得c2+4cd+d2=0,兩邊除以c2進(jìn)一步解得所以所以后同解法2.

反思3 解法3 和解法4 本質(zhì)上與解法2 一樣都是解方程,但一個(gè)大膽選定主元,發(fā)現(xiàn)了看問題的全新視角,一個(gè)建立等差數(shù)列模型,對(duì)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化解決,解決問題的主要過程同解法2 截然不同,體現(xiàn)了高考對(duì)創(chuàng)新性的要求.若是在平時(shí)的課堂上學(xué)生有這樣的解題思路,無疑是應(yīng)該被大力推崇的.

解法5如圖1所示,延長AC至D,使延長AB至E,使BE=c,所以所以AD=AE,又因?yàn)锳=所以ΔADE是正三角形,在三角形BCD中,∠BDC=由正弦定理可得所以從而由∠DBC所以故所以,從而

圖1

圖2

反思4 上述解法是從平面幾何的角度,將和c長度的線段分別構(gòu)造到AC和AB的延長線上,使得 ④式具有了幾何意義,方法大膽新穎,讓人耳目一新,是幾何法解決三角函數(shù)問題的典型案例,整個(gè)過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想,考察了新課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)抽象,邏輯推理,數(shù)學(xué)建模,直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).這種解法也使本題在條件循規(guī)蹈矩的基礎(chǔ)上,解答有了進(jìn)一步發(fā)揮的空間,既體現(xiàn)了高考出題在知識(shí)交匯點(diǎn)處重點(diǎn)考察的特色,展示了知識(shí)之間的交叉、滲透和綜合,又體現(xiàn)了高考試題越來越強(qiáng)的開放性和探究性的特色,給學(xué)生留足展示特色的舞臺(tái).

人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5》(下簡稱教材)第18 頁練習(xí)第3 題給出一組結(jié)論：在△ABC中,a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.這組結(jié)論告訴我們?nèi)切沃腥魏我贿叺扔谄渌麅蛇呍谠撨吷系纳溆爸?結(jié)合圖2很容易理解和證明,我們把這組結(jié)論稱為△ABC中的射影定理.利用射影定理去看待本題則思路更為簡單.

解法6由 ④式兩邊除以2 可得acosB+bcosA,把A=代入可得cosB=因?yàn)锽 ∈(0,π),所以所以所以

反思5 該解法直接應(yīng)用教材配套練習(xí)中出現(xiàn)的射影定理去審視題目條件,將問題大大簡化,運(yùn)算量大大降低,該題源自教材這一事實(shí),使得其定位簡單題變得毫無爭論,當(dāng)然,這么簡單的方法為什么大多數(shù)學(xué)生甚至老師都想不到呢? 這一點(diǎn)確實(shí)值得我們深刻反思.

四、對(duì)教學(xué)的啟發(fā)

1.深度開發(fā)教材例題習(xí)題,培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng).

教材是新課標(biāo)精神的具體呈現(xiàn),課堂是把新課標(biāo)精神落實(shí)到學(xué)生身上的主陣地.教材中的例題是定理公理最典型的應(yīng)用體現(xiàn),課后的習(xí)題無疑也是對(duì)定理和例題最重要的補(bǔ)充,其巨大的教學(xué)價(jià)值尚待我們?nèi)グl(fā)掘,其豐富的引領(lǐng)示范作用尚待我們?nèi)ラ_拓.一些以習(xí)題資料為主要教學(xué)對(duì)象,把教材扔到一邊的舍本逐末做法,我們應(yīng)當(dāng)及時(shí)摒棄.

比如前文中提到的射影定理,是一個(gè)符合常識(shí)的完美定理,我們?cè)谝胝叶ɡ淼臅r(shí)候就可以設(shè)計(jì)這樣的問題情境,讓學(xué)生去摸索一并發(fā)現(xiàn)射影定理：如圖2所示,我們?cè)谔剿鳓BC中的邊角關(guān)系的時(shí)候,借助輔助線CD⊥AB,可以在兩個(gè)直角三角形ΔCAD和ΔCBD中發(fā)現(xiàn)CD=asinB,CD=bsinA,從而得到正弦定理,如果兩個(gè)角都取余弦呢? 學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)射影定理.讓學(xué)生去體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和歸納的過程,就是新課標(biāo)所說的“既要關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果,更要重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程”.實(shí)際上,這里還可以繼續(xù)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)教材第20 頁中的射影定理的變式：

2.深入研究新課程標(biāo)準(zhǔn),提高自身理論修養(yǎng).

新課程標(biāo)準(zhǔn)是黨的教育方針在數(shù)學(xué)學(xué)科的體現(xiàn),吸取了歷次課程改革的高貴經(jīng)驗(yàn),也借鑒了國際課程改革的優(yōu)秀成果,是具有國際視野的綱領(lǐng)性教學(xué)文件,其對(duì)學(xué)科核心素養(yǎng)的凝練,教學(xué)內(nèi)容的更新,學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的研制,都具有劃時(shí)代的意義,教材的更新也已經(jīng)付諸實(shí)施.對(duì)教材的解讀和使用成為新課程標(biāo)準(zhǔn)落到實(shí)處最重要的環(huán)節(jié).這就需要一線教師及時(shí)更新觀念,正確理解課程性質(zhì),準(zhǔn)確把握課程理念,用培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的眼光去備課和展開教學(xué).這樣無論用什么樣的教材,無論如何使用教材,都具有理論的高度和前瞻性.

3.及時(shí)學(xué)習(xí)學(xué)科考試大綱,把握高考最新動(dòng)向.

高考是新課程標(biāo)準(zhǔn)最權(quán)威的指揮棒,考綱既是對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)的凝練化體現(xiàn),也是對(duì)高考最權(quán)威的指導(dǎo)意見,為二者起到重要的媒介作用.每年考試大綱的調(diào)整,都需要我們及時(shí)學(xué)習(xí).比如現(xiàn)在高考把新課標(biāo)的六大核心素養(yǎng)凝練成了理性思維,數(shù)學(xué)應(yīng)用,數(shù)學(xué)探究和數(shù)學(xué)文化四項(xiàng)學(xué)科素養(yǎng),把核心素養(yǎng)和高考能力整合為邏輯思維,運(yùn)算求解,空間想象,數(shù)學(xué)建模和創(chuàng)新五種能力,新的試卷結(jié)構(gòu)和新的試題類型也是呼之欲出.這些都是一線教師備考必須了解的新形勢.