五局三勝制能不能用二項分布做?

華南師范大學(xué)(510631) 李曉琳

華南師范大學(xué)附中(510630) 羅碎海

在人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)》選修2-3 第59 頁習(xí)題2.2 中,B 組題1 為“甲、乙兩選手比賽,假設(shè)每局比賽甲勝的概率為0.6,乙勝的概率為0.4,那么采用3局2 勝制還是采用5 局3 勝制對甲更有利? 你對局制長短的設(shè)置有何認(rèn)識? ”

教師教學(xué)用書中的參考答案寫道：“每局比賽只有兩個結(jié)果,甲獲勝或乙獲勝,每局比賽可以看成是相互獨立的,所以甲獲勝的局?jǐn)?shù)是隨機變量,服從二項分布.”由此引起許多數(shù)學(xué)老師對“五局三勝制能不能用二項分布做?”問題的激烈討論.有的觀點認(rèn)為“賽制規(guī)則是符合高中數(shù)學(xué)新增知識‘概率與統(tǒng)計’中的‘二項分布’[1]”,該解法是正確的；有觀點則認(rèn)為是錯誤的,“結(jié)果一樣,但從過程上看不能用二項分布,畢竟賽制決定了后面的比賽不存在”；還有觀點指出,“嚴(yán)格來說不是二項分布,最后一局必須固定,前面幾局可以用二項分布計算”.對于這個問題,本文提出了個人見解,為避免贅述,下文以“5 局3 勝”為例展開討論.

一、兩種解法

首先,關(guān)鍵詞“5 局3 勝制”是專業(yè)術(shù)語,意為在5 局比賽中,率先取得3 局勝利的一方,獲得最終勝利.以此類推,7 局4 勝、2n+1 局n+1 勝為同樣的含義.接下來,我們從代數(shù)的角度來解釋答案的合理性.

方法一服從二項分布,轉(zhuǎn)化為事件“甲至少獲勝3 局”,打滿5 局.

在采用5 局3 勝制中,X～B(5,0.6),事件{X ≥3}表示“甲獲勝”,所以甲獲勝的概率為

方法二確定最后一局為甲勝,前面幾局按二項分布計算,甲勝則止.

按照甲乙比賽局?jǐn)?shù)進(jìn)行劃分,固定最后一局為甲勝,比賽3 局甲獲勝的概率為p1=C220.62×0.6；比賽4 局甲獲勝的概率為p2=C230.62×0.4×0.6；比賽5 局甲獲勝的概率為p3=C240.62×0.42×0.6.又因為每局比賽看成相互獨立,則“甲獲勝”的概率為

結(jié)果一樣! 是巧合嗎? 這決不是巧合,而是必然[2].兩種解題思路不同的解法到底有什么必然的聯(lián)系,我們在此繼續(xù)探究.

二、解法分析

分析一按照方法一的思路,甲勝的所有比賽結(jié)果可列舉如下(其中“√”表示甲勝“×”表示乙勝)：

表1 “5 局3 勝”甲勝所有比賽結(jié)果

假設(shè)甲勝出后,乙隊提出打友誼賽(即“為了增進(jìn)友誼、交流經(jīng)驗、提高技術(shù)而舉行的比賽”)的請求,雙方協(xié)商后決定打滿5 局比賽.此時,甲勝的所有比賽結(jié)果可列舉如下：

表2 “打滿5 局”甲勝所有比賽結(jié)果

2.4√×√√×2.5√√×√√2.6√√×√×3.1××√√√3.2×√×√√3.3×√√×√3.4√××√√3.5√×√×√3.6√√××√

這樣一來打滿5 局比賽,“甲戰(zhàn)勝乙”的所有可能情況就有16 種了.

分析二根據(jù)方法二的二項式分布的計算思路,我們只需計算二項式系數(shù)之和即可.由C35+C45+C55=10+5+1=16,同樣地也有16 種可能情況.

這正好說明這兩種不同解法得到的結(jié)果,實則同一個事件“甲戰(zhàn)勝乙”的概率[2].那么,兩者的差異在于什么地方? (借助上表2進(jìn)行說明) 按照方法一的劃分,16 種可能情況被劃分成3 類,每一類分別對應(yīng)“1.1～1.4”、“2.1～2.6”、“3.1～3.6”；按照方法二的劃分,16 種比賽結(jié)果也被劃分為3 類,每一類分別對應(yīng)“1.4,2.2,2.4,2.6,3.1～3.6”、“1.2,1.3,2.1,2.3,2.5”、“1.1”.因此,兩者的差異在于前者以甲取勝時比賽總局?jǐn)?shù)來分類,而后者以(打滿比賽)甲至少能獲勝的局?jǐn)?shù)為分類標(biāo)準(zhǔn).顯然,“甲戰(zhàn)勝乙”的所有可能情況的分類方式并不影響這個事件本身的概率.

三、問題深化

下面我們不妨討論“2n+1 局n+1 勝”的情況,根據(jù)方法一和方法二的計算思路,我們分別可以得到式子：

(1)賦特殊值

假設(shè)在每局比賽中甲、乙雙方獲勝(負(fù)) 的概率均為p=,則由組合數(shù)性質(zhì)可知①=；另用數(shù)學(xué)歸納法可證易得因此,式子①、②相等.換句話說,對陣雙方的運動員水平相差不大,理論上“2n+1 局n+1 勝”的賽制是公平的比賽[1].

(2)事件總數(shù)

基于上述“解法分析”提供的證明思路,“甲戰(zhàn)勝乙”的概率不受分類方式影響,若能證明方法一和方法二的所有可能情況數(shù)相等,則說明式子①和式子②的結(jié)果是相等的.

方法一的總局?jǐn)?shù)列式為

方法二(打滿比賽)的總局?jǐn)?shù)列式為

具體計算思路如下：

方法一由于

故有

方法二由已證

等式兩邊同乘2n,可得

因此,兩種方法的計算結(jié)果均為4k(k為勝局?jǐn)?shù)),從組合意義上說,式子①、②的結(jié)果相等.對于一般情形,有興趣者不妨用代數(shù)方法加以證明!

四、總結(jié)

筆者認(rèn)為,以甲隊為“主元”來看,甲乙比賽問題與射擊問題就有異曲同工之妙了.每局比賽甲勝的概率為0.6,乙勝的概率為0.4,而乙隊獲勝概率等同于甲隊失敗的概率；等同于一位射手擊中目標(biāo)的概率是0.6,其中“求甲隊5 局3 勝的概率”就相當(dāng)于“求射手在5 次射擊中至少有3 次擊中目標(biāo)的概率”.

射擊問題學(xué)生很容易想到用二項分布去解決問題,為什么甲乙比賽的問題就沒有想到呢? 關(guān)鍵就在于題中出現(xiàn)的“5 局3 勝制”,先贏3 局就結(jié)束了,后面不再進(jìn)行比賽,讓人產(chǎn)生“打滿5 局比賽的情況會與5 局3 勝產(chǎn)生矛盾,從而導(dǎo)致概率不同”的錯覺,二項分布的做法不符合問題的實際背景意義.實際上,從整體的角度思考,甲獲勝的局?jǐn)?shù)確實服從二項分布,其計算結(jié)果也是正確的,是科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?本文認(rèn)為,當(dāng)我們弄清楚背后的原理后,用二項分布“秒殺”這類題目是非常聰明的做法,是可取的!

(1) 當(dāng)n=1 時,上式左邊=1=右邊,等式成立.

(2) 假設(shè)當(dāng)n=k(k ≥1)時等式成立,即有

當(dāng)n=k+1 時,

故

所以A=2k+1.所以當(dāng)時等式也成立.由(1)(2)可知,等式對一切正整數(shù)均成立.)