帶交易成本的二階在線投資組合選擇策略

瞿菁晶 郁順昌 黃定江

摘要：針對基于在線牛頓步（Online Newton Step，ONS）算法的投資組合選擇策略沒有考慮交易成本的問題，而交易成本是真實市場中不可或缺的部分，提出了一種新的帶交易成本的在線投資組合選擇策略，簡稱在線牛頓步交易成本策略（Online Newton Step Transaction Cost，ONSC）：首先，結(jié)合投資組合向量的二階信息和交易成本懲罰項構(gòu)造優(yōu)化函數(shù)，并推導(dǎo)得出投資組合的更新公式;然后，通過理論分析得到ONSC算法的次線性后悔邊界O（log（T））.實證研究表明，與半常數(shù)再調(diào)整投資組合策略（Semiconstant Rebalanced Portfolios，SCRP）以及其他考慮交易成本的策略相比，在SP500、NYSE（O）、NYSE（N）和TSE這4個真實市場的數(shù)據(jù)集上，ONSC獲得了最高的累計凈收益和最小的周轉(zhuǎn)率，表明了所提算法的有效性，

關(guān)鍵詞：投資組合選擇;在線牛頓步;交易成本

中圖分類號：TP399

文獻標志碼：A DOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2019.04.008

0 引言

在線投資組合選擇[1-5]是人工智能和機器學習領(lǐng)域熱門的研究課題，其關(guān)鍵問題在于如何在不確定的市場環(huán)境下連續(xù)地選擇最優(yōu)投資組合，以達到一定的目標，如金融證券市場中的累計收益最大化或損失最小化.

在線牛頓步（ONS）算法[6]基于離線優(yōu)化問題中的牛頓法[7]，近年來被廣泛用于在線投資組合選擇策略研究[6]不同于其他的投資組合選擇算法[6]， ONS利用了投資組合向量的二階信息進行更新;相比只使用一階信息，它可以更快地收斂，有最優(yōu)的次線性后悔邊界O（log（T》;它的不足之處是忽略了金融市場中非常重要的元素——交易成本[8-9].最近的一些在線投資組合研究[10-12]試圖解決交易成本的問題，出現(xiàn)了如SCRP[13]、半泛投資組合策略[14] （Semi-Universal Portfolio，SUP）等帶交易成本的策略，但其中沒有使用投資組合向量的二階信息策略.

針對上述問題，本文提出了一種新的在線牛頓步交易成本策略（ONSC）：在ONS的基礎(chǔ)上結(jié)合交易成本，利用投資組合向量的二階信息進行更新，并且在優(yōu)化函數(shù)的設(shè)置上，添加交易成本懲罰項，控制交易量的大小.本文還給出了ONSC算法的理論后悔邊界，并且通過在真實市場中對累計凈收益和周轉(zhuǎn)率的大量實驗，說明ONSC算法在保證收益最大化的同時降低了交易成本，在凈收益和穩(wěn)定性兩方面都優(yōu)于SCRP和其他考慮交易成本的算法.

1 相關(guān)工作

研究投資組合選擇主要有兩個流派，分別是均值方差理論[15]和資本增長理論[16]，其中資本增長理論側(cè)重于多個周期或連續(xù)的投資組合選擇，適用于在線場景，是本文研究的基礎(chǔ).

在線投資組合選擇領(lǐng)域有很多出色的策略，其中最經(jīng)典的有常數(shù)再調(diào)整策略（ConstantRebalanced Portfolio，CRP）[17]，它在每期都會重新調(diào)整投資組合，保證每期分配到各個資產(chǎn)上的財富是一個固定的比例.Cover在1991年提出了泛化投資組合策略（UniversalPortfolio，UP） [18]，采用所有CRP專家的加權(quán)平均進行投資.不久之后，交易成本開始被納入考慮范疇.Gaivoronski和Stella在2000年提出了半常數(shù)再調(diào)整策略（SCRP），相比CRP策略，“半”（semi）的思想，即只在整個交易期中選取k 個適當?shù)臅r期重新調(diào)整投資組合，顯著減少了交易成本.Das等人在2013年提出了在線懶惰更新策略[19] （Online Lazy Update，OLU），它通過對優(yōu)化問題中參數(shù)的懶惰更新來調(diào)整投資組合.黃定江等人在2015年提出了基于交易成本的半泛投資組合策略（SUP） [14]，也是用了“半”的概念來控制交易成本，實證研究表明SUP算法在累計凈收益和穩(wěn)定性方面優(yōu)于之前提到的所有算法.

2問題設(shè)置

這類帶交易成本的策略SCRP、SUP在許多數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)出高效的性能，但它們有一些潛在的問題：SCRP基于CRP的思想，每次調(diào)整的投資組合為固定的比例，不能很好地適應(yīng)動態(tài)的市場;SUP在選定時期采用UP的投資組合，要計算所有CRP專家的加權(quán)平均，在計算上非常復(fù)雜.針對上述問題，本文提出的新策略O(shè)NSC根據(jù)實時數(shù)據(jù)，動態(tài)調(diào)整模型參數(shù)，且每次迭代時計算量小、效率高.

“半”（semi）的思想本身也有不足之處，它需要在整個交易期中找到一個最優(yōu)子集進行投資組合調(diào)整，但找到這個最優(yōu)子集在計算上也是非常困難的.另外，交易成本分為固定比例交易成本、固定值的交易成本，“半”的做法更適用于后者.而OLU作為一種考慮交易成本的策略，不同于SCRP、SUP這兩個交易成本策略采用“半”的思想，OLU給出了一個懶惰的投資組合向量OLU在優(yōu)化模型中加入了L1懲罰項[20]，計算調(diào)整投資組合需要的交易量，并用參數(shù)α控制交易量的大小.這個方法實際操作起來更加簡便，于是本文考慮在ONS的模型中也引入一個交易成本懲罰項.之所以選擇ONS算法來改進，是因為它采用的策略中損失函數(shù)為對數(shù)收益的二階泰勒展開，利用了投資組合向量的二階信息;而OLU用的是對數(shù)收益，即一階信息.多項關(guān)于二階信息的研究工作[21-23]表明，二階信息可以達到更快的收斂速度，且能提供投資組合向量的波動信息，相較一階信息更有助于投資組合選擇任務(wù).

本文在ONS的基礎(chǔ)上考慮交易成本，設(shè)計了一個新的策略O(shè)NSC.該策略利用投資組合向量的二階信息進行更新，并且通過交易成本懲罰項控制交易量的大小.后面的理論證明與實證研究將說明ONSC的良好性能.

4 在線牛頓步交易成本策略（ONSC）

4.1 模型設(shè)計

其中，argmaxf（b）表示在△n中使得f（b）最大的b值;等號右邊括號內(nèi)第一項為損失函數(shù)，表示最大化對數(shù)收益，第二項為正則項處理過擬合問題，第三項用一個可變參數(shù)α來控制交易量和交易成本的大小，保證相鄰兩項投資組合之間偏差最小，即每期的交易量盡可能

從定理1的結(jié)果可以看出，ONSC算法獲得了次線性后悔邊界O（log（T》，說明隨著交易期數(shù)的增加，后悔值會逐漸趨于0，即ONSC的累計收益增長率將逐漸接近事后最優(yōu)的BCRP.也就是說，隨著時間的推移，不斷得到新的數(shù)據(jù)使得ONSC和選定的最優(yōu)策略BCRP之間的差異越來越小，逐步逼近離線最優(yōu)解.

5 實證研究

本節(jié)用ONS、CRP、SCRP、UP、SUP與ONSC作比較，根據(jù)平均凈收益和周轉(zhuǎn)率來評估算法的性能，比較ONS與ONSC可以看到是否考慮交易成本對一個算法性能的影響.CRP和UP是在線投資組合選擇領(lǐng)域的經(jīng)典策略，SCRP和SUP分別是這兩個策略考慮交易成本的版本，其中SUP代表了本領(lǐng)域的最優(yōu)結(jié)果.

5.1 數(shù)據(jù)集

實驗在4個真實市場的數(shù)據(jù)集上進行，分別是標普500指數(shù)SP500，紐交所兩個時間段的數(shù)據(jù)NYSE（O）和NYSE（N）、德黑蘭指數(shù)TSE，具體信息見表1.紐交所的數(shù)據(jù)在時間范圍上更廣，有新、老兩個時間段，新一階段的股票數(shù)量根據(jù)市場變化也有所更新，是值得用于實證研究的數(shù)據(jù)集.這里選取ld作為一個投資期.

5.2 評價指標

本文采用了兩種指標來評估ONSC與其他策略對比的實驗效果.

（1）平均凈收益：凈收益表示累計收益扣除交易成本，本文每次選取3只股票，平均50次實驗的凈收益.這是度量一個算法的標準指標，顯然平均凈收益越大越好.

（2）周轉(zhuǎn)率：每期交易的平均資產(chǎn)百分比.可以用來做投資算法的穩(wěn)定性分析，周轉(zhuǎn)率越小表示策略的穩(wěn)定性越高.

5.3 實驗及結(jié)果

實驗的做法是從每個數(shù)據(jù)集中隨機選取3只股票，這樣隨機選取50次，并采用ONSC、ONS、CRP、SCRP、UP、SUP等6種策略來做投資.這里ONS與ONSC的參數(shù)設(shè)置為η=0，β=1，δ=0.125，ONSC的交易成本控制參數(shù)α= 10 000.表2、表3、表4和表5分別表示了當交易成本率分別為c - 0.05，0.02，0.01，0.001，0時，6種不同的策略在4個數(shù)據(jù)集上獲得的平均凈收益.在4個數(shù)據(jù)集的結(jié)果中，除了在NYSE（O）上當交易成本率為0時ONSC獲得的平均凈收益略低于ONS以外，其他情況下ONSC的表現(xiàn)比其他策略都要好，獲得的平均凈收益最高.

圖1、圖2、圖3和圖4展示了當c = 0.05時6種策略在4個數(shù)據(jù)集上的周轉(zhuǎn)率.從4這張圖可以看出ONSC得到了最小的周轉(zhuǎn)率，遠低于UP和CRP.表6展示了4個圖的數(shù)值結(jié)果，可以看出在數(shù)據(jù)集NYSE（O）與NYSE（N）上，ONSC的周轉(zhuǎn)率比剩余策略中周轉(zhuǎn)率最低的SCRP還要低一個數(shù)量級.而在SP500中，ONSC的周轉(zhuǎn)率只是剩余策略中周轉(zhuǎn)率最低的SUP的1/4.在TSE中，ONSC的周轉(zhuǎn)率也只是剩余策略中周轉(zhuǎn)率最低的SCRP的一半不到.結(jié)合以上兩個實驗，ONSC有較小的周轉(zhuǎn)率和較大的凈收益，而且只需較低的交易成本.

6 結(jié)論與展望

本文提出了一種新的在線投資組合選擇策略 在線牛頓步交易成本策略（ONSC），基于ONS的思想，充分利用投資組合向量的二階信息構(gòu)造優(yōu)化函數(shù)，并在優(yōu)化函數(shù)中添加了交易成本懲罰項，控制了交易量和交易成本的大小.該方法具備ONS的二階信息優(yōu)勢，且能夠適應(yīng)存在交易成本的真實市場.本文對ONSC對應(yīng)的算法進行了理論分析，得到后悔邊界O（log（T）），并在4個真實數(shù)據(jù)集上對多個股票進行了大量實驗，發(fā)現(xiàn)ONSC得到的累計凈收益明顯高于其他在線投資組合選擇策略，并且獲得了最低的周轉(zhuǎn)率，其對應(yīng)的算法表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性.

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