Rolle定理引出的反例

馬昌秀

微分中值定理是微分學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，也是利用導(dǎo)數(shù)的局部性研究函數(shù)整體性的重要工具，是數(shù)學(xué)分析中很有實(shí)際應(yīng)用價值的定理.微分中值定理是Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等基本定理的總稱.［1-3］Rolle定理是微分中值定理的基石，在微分中值定理中處于十分重要的地位，是證明其他微分中值定理的關(guān)鍵.故掌握Rolle定理的條件、結(jié)論及Rolle定理條件的各種改變十分重要.［4-5］

1 Rolle定理

若函數(shù)f(x)滿足下列條件：①在[a,b]上連續(xù)；②在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；③f(a)=f()b，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得成立.

2 Rolle中值定理引出的反例

（1）Rolle定理中，f(a)=f()b這個條件只是充分條件，并非必要條件.Rolle定理中函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)處處可導(dǎo)，且存在，使得成立.但在閉區(qū)間上不存在x1,x2，使得f(x1)=f(x2)成立.

本例說明，Rolle定理中，f(a)=f()b這個條件只是充分的，并非必要.

（2）Rolle定理中，函數(shù)f()x在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)的這個條件也只是充分條件，非必要條件.函數(shù)在上連續(xù)，對內(nèi)任何滿足的兩點(diǎn)c和d，子區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得.但是在內(nèi)有無窮多個導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).

例2

當(dāng)x0=0時，f()0=0，，所以，函數(shù)f()x在上是連續(xù)的.

④ 若 有 -1≤x1＜x2≤1,使得f(x)1=，若記使得x1＜ξ1＜x2，有，若則當(dāng)x1＞0 時 ，記使得x1＜ξ2＜x2，有.當(dāng)x1＜0 時，上面的ξ2點(diǎn)自然在x1,x2之間，當(dāng)x1,x2分布在x軸的負(fù)半軸上，可以用同樣的方法證明ξ點(diǎn)的存在.

由此說明Rolle定理中，函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo)的條件是充分的，但非必要的.

（3）Rolle定理中，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，f(a)=f(b)，f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)除一點(diǎn)以外，處處可導(dǎo)，但是在(a,b)內(nèi)不存在，使成立.

例3

分析：函數(shù)f(x)在[0,2]上連續(xù)，f(0)==0.顯然除x=1以外，它處處可導(dǎo)，且，所以在內(nèi)不存在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn).

（4）Rolle定理中，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，但在(a,b)內(nèi)不存在使成立.

例4

（5）Rolle定理中，函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)處處可導(dǎo)，f(a)=f(b)，但是不存在導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn).

例5

3 Rolle定理中的三個條件缺少任何一個，其結(jié)論將不一定成立

例6

例7

例8

4 結(jié)論

通過上述對Rolle定理的條件進(jìn)行的認(rèn)真分析，并對其條件和結(jié)論的各種改變情況進(jìn)行的討論，進(jìn)一步說明Rolle定理中的函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)就有成立，其條件只是充分條件并非是必要條件.只要Rolle定理的條件滿足，就會有其結(jié)論成立，反之不一定成立.