花文華,張金鵬,2,張擁軍
(1.中國空空導(dǎo)彈研究院,河南 洛陽 471009;2.航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河南 洛陽 471009)
將一類僅可提供目標(biāo)方位角量測(cè)的攔截導(dǎo)彈作為研究對(duì)象。僅有角度量測(cè)情況下的目標(biāo)跟蹤問題的研究成果可用于該類型攔截導(dǎo)彈濾波器的設(shè)計(jì)。然而,在目標(biāo)機(jī)動(dòng)不確定性和量測(cè)噪聲等因素的影響下,即使采用先進(jìn)的濾波器,如粒子濾波等,攔截高機(jī)動(dòng)目標(biāo)的性能仍將受限于濾波器的延遲和跟蹤精度的影響,同時(shí)濾波器越先進(jìn),往往也越復(fù)雜,在彈上實(shí)現(xiàn)也是一個(gè)問題。一種改進(jìn)目標(biāo)跟蹤精度,從而改進(jìn)攔截性能的方法是增加量測(cè)量。這一方法通常需要改變導(dǎo)彈的硬件,如采用多模導(dǎo)引頭等,會(huì)較大程度的增加導(dǎo)彈的成本和復(fù)雜度,且工程化的多模導(dǎo)引頭在國內(nèi)仍屬技術(shù)難點(diǎn)。另一種方式是采用其他信息源的信息,如地面跟蹤雷達(dá)。這一要求需要地面或機(jī)載跟蹤雷達(dá)持續(xù)的向攔截導(dǎo)彈傳送目標(biāo)信息,會(huì)限制跟蹤雷達(dá)的運(yùn)行,且影響導(dǎo)彈的自主性,同時(shí)跟蹤雷達(dá)的跟蹤精度會(huì)隨著探測(cè)距離的增加而顯著下降。對(duì)于攔截一些高價(jià)值目標(biāo)的情形,如攔截彈道導(dǎo)彈、隱身戰(zhàn)機(jī)、預(yù)警機(jī)等,往往會(huì)發(fā)射多枚導(dǎo)彈以提高命中概率,但攔截導(dǎo)彈之間并不存在協(xié)同或信息共享,因此多彈同時(shí)攔截情況下的可用信息并未得到充分利用。
多導(dǎo)彈協(xié)同易于構(gòu)建更加有利的目標(biāo)攔截態(tài)勢(shì),從而改進(jìn)制導(dǎo)性能并降低控制量要求,多彈協(xié)同也可用于飽和目標(biāo)防御、限制目標(biāo)機(jī)動(dòng)概率、誘騙目標(biāo)和增強(qiáng)對(duì)目標(biāo)的可觀測(cè)性等方面[1-5]。本文提出一種基于擴(kuò)展Kalman濾波器(extended Kalman filter,EKF)[6-9]的多導(dǎo)彈協(xié)同濾波方法,通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和濾波器量測(cè)方程的建立,實(shí)現(xiàn)導(dǎo)彈間量測(cè)信息的共享,從而改進(jìn)估計(jì)性能。
針對(duì)多枚導(dǎo)彈攻擊一個(gè)目標(biāo)的攔截情形進(jìn)行建模,導(dǎo)彈采用設(shè)定的制導(dǎo)律,彼此在制導(dǎo)上不存在協(xié)同,僅進(jìn)行信息共享。假設(shè)導(dǎo)彈是滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定的,可近似分解為垂直和水平2個(gè)平面分別進(jìn)行研究,且結(jié)果是類似的。垂直平面的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。
圖1 平面彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系Fig.1 Planar engagement geometry
圖1中Mi和Mj分別表示攔截導(dǎo)彈i和j,T為目標(biāo),v,a和γ分別表示速度、加速度和航向角,下標(biāo)m和t分別對(duì)應(yīng)導(dǎo)彈和目標(biāo),Mi和目標(biāo)間、Mj和目標(biāo)間的相對(duì)距離分別采用ρmi和ρmj表示,相對(duì)應(yīng)的視線角為λmi和λmj。
以導(dǎo)彈Mi為例,選取導(dǎo)彈自身的狀態(tài)變量為
(1)
選取導(dǎo)彈關(guān)于目標(biāo)的狀態(tài)向量為
(2)
假設(shè)目標(biāo)做常速運(yùn)動(dòng),且具有一階控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài),式(2)相應(yīng)的狀態(tài)方程可以表示為
(3)
式中:
vρi=-[vmicos(γmi-λmi)+vtcos(γt+λmi)],
vλi=-vmisin(γmi-λmi)+vtsin(γt+λmi);
(4)
τt為目標(biāo)的控制系統(tǒng)時(shí)間常數(shù);atc為加速度指令,是一個(gè)白噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)過程。
假設(shè)攔截導(dǎo)彈安裝有僅可提供角度量測(cè)的導(dǎo)引頭[10-15],可以提供相對(duì)目標(biāo)的視線角度信息,該類型導(dǎo)引頭具有低成本的優(yōu)勢(shì)。建立導(dǎo)彈Mi的量測(cè)方程為
zmi=γmi-λmi+wmi,
(5)
導(dǎo)彈Mj的量測(cè)方程也是類似的,結(jié)合圖1,將Mj的量測(cè)方程寫成導(dǎo)彈Mi的狀態(tài)表示的形式:
(6)
導(dǎo)彈Mi和導(dǎo)彈Mj在同一個(gè)坐標(biāo)系下,導(dǎo)彈Mj將自身的位置信息傳輸給導(dǎo)彈Mi用于構(gòu)建量測(cè)方程,實(shí)現(xiàn)信息共享或協(xié)同濾波,則導(dǎo)彈Mi綜合n個(gè)導(dǎo)彈信息的量測(cè)方程可表示為
(7)
導(dǎo)彈Mi相應(yīng)增加了n-1個(gè)偽量測(cè)信息。采用EKF進(jìn)行協(xié)同濾波器的設(shè)計(jì),并假設(shè)噪聲符合高斯分布。對(duì)于一些先進(jìn)的濾波方法,如粒子濾波,并不受限于量測(cè)噪聲的高斯特性要求。
擴(kuò)展Kalman濾波器通過Taylor序列展開實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)和量測(cè)量聯(lián)合分布的高斯近似,從而將Kalman濾波器的適用范圍擴(kuò)展到了非線性系統(tǒng)領(lǐng)域。
EKF所采用的濾波模型為
xk=f(xk-1,k-1)+Qk-1,
zk=h(xk,k-1)+Rk,
(8)
式中:f和h為非線性函數(shù)向量,分別為系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型和量測(cè)模型,分別與式(3)和式(7)相對(duì)應(yīng)。
在給定量測(cè)z1 : k的條件下,狀態(tài)xk的分布概率滿足:
p(xk|z1 : k)=N(xk|mk,Pk),
(9)
式中:mk和Pk分別為狀態(tài)xk的均值和方差。
在每一個(gè)執(zhí)行周期內(nèi),EKF都由狀態(tài)預(yù)測(cè)和量測(cè)更新2個(gè)過程構(gòu)成。相應(yīng)于系統(tǒng)(3)的狀態(tài)預(yù)測(cè)為
xk|k-1=f(xk-1,k-1).
(10)
相應(yīng)的預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣為
(11)
式中:
Φk,k-1=eFxk·T,
(12)
(13)
式中:Fxk和Φk,k-1分別為狀態(tài)方程(3)的Jacobian矩陣和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;T=tk-tk-1為執(zhí)行周期;Qd為系統(tǒng)噪聲離散化后的誤差矩陣,其大小與濾波器的響應(yīng)速度相關(guān)。
在狀態(tài)預(yù)測(cè)完成后進(jìn)行量測(cè)更新,
xk|k=xk|k-1+Kk(zk-h(xk|k-1)),
(14)
式中:K為濾波器增益矩陣,由式(15)進(jìn)行計(jì)算:
(15)
式中:Sk為濾波新息的協(xié)方差矩陣;Hx為量測(cè)Jacobian矩陣,滿足:
(16)
對(duì)于導(dǎo)彈Mi,結(jié)合式(7),可將式(16)展開為
(17)
(18)
(19)
(20)
最后進(jìn)行濾波器協(xié)方差矩陣更新,用于下一濾波周期預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣的計(jì)算:
(21)
將式(13)表示成式(22)的形式,進(jìn)行可觀性分析:
(22)
對(duì)于僅有視線角度量測(cè)的單枚導(dǎo)彈,Hx=(0,-1,0,0,0),根據(jù)線性系統(tǒng)可觀性判據(jù),
(23)
式中:o21等矩陣參數(shù)不展開給出,但可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)很容易滿足rank{Om1}=5的條件,即系統(tǒng)是可觀的,對(duì)于多導(dǎo)彈信息協(xié)同的情況,系統(tǒng)同樣是可觀的,且可觀測(cè)性有所增強(qiáng)。
對(duì)觀測(cè)方僅可提供角度測(cè)量的情況,文獻(xiàn)[16-17]分別針對(duì)單傳感器和多傳感器對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的可觀測(cè)性進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[16]從幾何方法、線性與非線性方法、數(shù)值分析方法等角度,對(duì)單傳感器情況下的純方位目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的可觀測(cè)性研究成果進(jìn)行了綜述。文獻(xiàn)[17]對(duì)多靜止測(cè)向站系統(tǒng)的可觀測(cè)性、定位方法進(jìn)行了分析和研究,建立了純方位多傳感器系統(tǒng)目標(biāo)定位問題的數(shù)學(xué)描述,并定量分析了系統(tǒng)的可觀測(cè)性條件,指出多觀測(cè)方與目標(biāo)共線、多觀測(cè)方位置不分辨、觀測(cè)方測(cè)量時(shí)機(jī)選擇不當(dāng)?shù)犬a(chǎn)生不良的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)帶來系統(tǒng)的不可觀測(cè)。對(duì)于多觀測(cè)方和目標(biāo)同時(shí)運(yùn)動(dòng)情況下的可觀測(cè)性研究較少,可以從不可觀測(cè)拓?fù)錁?gòu)型分析和避免措施方面開展研究,從而滿足多導(dǎo)彈的協(xié)同作戰(zhàn)使用需求。
假設(shè)所有的導(dǎo)彈都由同一機(jī)載或地面雷達(dá)進(jìn)行初始化。圖2給出了雷達(dá)R與導(dǎo)彈之間的平面相對(duì)關(guān)系。雷達(dá)與目標(biāo)間的視線角和相對(duì)距離分別為λr和ρr,此外通過相關(guān)濾波技術(shù)還可以提供目標(biāo)的航向角γt和加速度at信息。雷達(dá)的位置(xr,yr)是已知的,與初始信息(λr0,ρr0,γt0,at0)一同通過發(fā)射前任務(wù)加載或數(shù)據(jù)鏈信息傳輸給導(dǎo)彈。利用這些信息,導(dǎo)彈完成濾波器的初始化,其中彈目距離和視線角的初始化值為
(24)
(25)
圖2 雷達(dá)與導(dǎo)彈的平面相對(duì)關(guān)系Fig.2 Planar engagement geometry between radar and missile
式中:
(26)
系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)結(jié)果如圖3~7所示。
圖3 彈目相對(duì)距離估計(jì)Fig.3 Estimation of range between missile and target
圖4 視線角估計(jì)Fig.4 Estimation of line of sight angle
圖5 目標(biāo)航向角估計(jì)Fig.5 Estimation of flight-path angle
圖6 目標(biāo)加速度估計(jì)Fig.6 Estimation of target acceleration
圖7 目標(biāo)加速度指令估計(jì)Fig.7 Estimation of target acceleration command
從圖3~7中可以發(fā)現(xiàn),在較大的初始彈目相對(duì)距離誤差(2 000 m)下,單枚導(dǎo)彈的濾波器除與量測(cè)相關(guān)的視線角狀態(tài)外,其他狀態(tài)并不收斂,而在存在協(xié)同的情況下,由于可觀測(cè)性增強(qiáng),獲得了較好的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果。由于是可觀的,雖然在適當(dāng)?shù)某跏紬l件下是可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)收斂的,但僅有角度量測(cè)的單枚導(dǎo)彈濾波器對(duì)狀態(tài)初值和估計(jì)誤差協(xié)方差初值是較為敏感的,出現(xiàn)了發(fā)散現(xiàn)象。
圖8~12進(jìn)一步給出了2枚導(dǎo)彈信息協(xié)同的情況下200次Monter Carlo仿真的狀態(tài)估計(jì)的統(tǒng)計(jì),包括估計(jì)誤差均值和1σ包絡(luò)曲線。從圖8~12中可以看出,各狀態(tài)的估計(jì)誤差都是收斂的。
圖8 彈目相對(duì)距離估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì),彈間協(xié)同F(xiàn)ig.8 Statistical estimation errors of range for cooperation missile
圖9 視線角估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì),彈間協(xié)同F(xiàn)ig.9 Statistical estimation errors of line of sight angle for cooperation missile
圖10 目標(biāo)航向角估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì),彈間協(xié)同F(xiàn)ig.10 Statistical estimation errors of flight-path angle for cooperation missile
圖11 目標(biāo)加速度估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì),彈間協(xié)同F(xiàn)ig.11 Statistical estimation errors of target acceleration for cooperation missile
圖12 目標(biāo)加速度指令估計(jì)誤差統(tǒng)計(jì),彈間協(xié)同F(xiàn)ig.12 Statistical estimation errors of target acceleration command for cooperation missile
本文針對(duì)多枚導(dǎo)彈量測(cè)信息共享的情況,完成了基于EKF的多導(dǎo)彈協(xié)同濾波器的設(shè)計(jì)。相比于單枚導(dǎo)彈的情況,由于可觀測(cè)性增強(qiáng),在初始彈目相對(duì)距離誤差較大的情況下,實(shí)現(xiàn)了對(duì)所有系統(tǒng)狀態(tài)的較好估計(jì),同時(shí)Monter Carlo仿真結(jié)果表明所有狀態(tài)的估計(jì)誤差都是收斂的,進(jìn)一步表明了彈間協(xié)同濾波的優(yōu)勢(shì)。