非對(duì)易施瓦西黑洞的熱力學(xué)及其量子修正*

沈玨 劉成周 朱寧寧 童一諾 嚴(yán)晨成 薛珂磊

(紹興文理學(xué)院物理系,紹興 312000)

為了探討量子引力效應(yīng)對(duì)黑洞量子性質(zhì)的影響,本文研究了非對(duì)易黑洞的熱力學(xué)及其量子修正.首先,利用修正的黑洞熱力學(xué)第一定律,對(duì)非對(duì)易施瓦西黑洞的熱力學(xué)量進(jìn)行了計(jì)算.結(jié)果表明,利用修正的熱力學(xué)第一定律得到的非對(duì)易黑洞溫度與利用表面引力和隧穿方法得到的溫度相同,而且黑洞熵符合貝肯斯坦-霍金面積定律.對(duì)得到的黑洞熱容進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)在視界半徑與非對(duì)易參數(shù)滿足一定條件時(shí),熱容可以為正值,非對(duì)易黑洞可以具有熱力學(xué)穩(wěn)定性.其次,討論了廣義不確定原理對(duì)非對(duì)易施瓦西黑洞熱力學(xué)的影響,給出了廣義不確定原理修正的黑洞溫度、熵和熱容表達(dá)式,其中得到的黑洞熵包含面積對(duì)數(shù)項(xiàng).在忽略廣義不確定原理效應(yīng)的情況下,修正的黑洞熵可以回到貝肯斯坦-霍金面積定律的情況.同樣,修正的黑洞溫度和熱容也可以在忽略量子引力效應(yīng)時(shí)回到通常施瓦西黑洞的情況.

1 引 言

霍金從半經(jīng)典的量子場(chǎng)論出發(fā),表明黑洞并非只進(jìn)不出,它能向外發(fā)出熱輻射[1,2].這可以描述為：由于真空量子漲落,黑洞附近產(chǎn)生正負(fù)粒子對(duì),當(dāng)負(fù)能粒子被黑洞吸收后,正能粒子可以因視界附近的時(shí)空彎曲效應(yīng)而留在黑洞外,并可運(yùn)動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處,從而可在視界外觀測(cè)到黑洞釋放了粒子,這種現(xiàn)象被稱為霍金輻射.霍金輻射確立了黑洞溫度的存在和黑洞熱力學(xué)定律的成立,從而為黑洞熱力學(xué)奠定了基礎(chǔ)[3,4].黑洞熱力學(xué)體現(xiàn)了廣義相對(duì)論和量子理論之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系,揭示了黑洞的量子性質(zhì).同時(shí),黑洞熱力學(xué)也帶來(lái)了黑洞信息疑難等理論物理的難題[4,5].一般認(rèn)為,揭示黑洞熱力學(xué)的本質(zhì)和解決黑洞熱力學(xué)疑難需要相對(duì)論與量子力學(xué)的進(jìn)一步結(jié)合甚至統(tǒng)一.

引力量子化是理論物理面臨的巨大挑戰(zhàn),量子引力理論還有待建立.存在普朗克長(zhǎng)度量級(jí)的最小可觀測(cè)長(zhǎng)度是各種量子引力候選理論的普遍預(yù)言[6].最小長(zhǎng)度引發(fā)了許多量子引力效應(yīng),其中最引人注目的一個(gè)是廣義不確定原理(generalize uncertainty principle,GUP)[7,8].當(dāng)量子引力效應(yīng)起重要作用時(shí),由于存在長(zhǎng)度和位置不確定度的最小值,此時(shí)海森伯不確定原理不再準(zhǔn)確,需要引入與動(dòng)量相關(guān)的不確定度的附加項(xiàng).不確定原理是量子力學(xué)中的基本原理,對(duì)廣義不確定原理的研究及其應(yīng)用非常重要和有意義(其綜述可見(jiàn)文獻(xiàn)[9]).將廣義不確定原理引入黑洞熱力學(xué),可以研究黑洞熱力學(xué)性質(zhì)的量子修正,并對(duì)黑洞熱力學(xué)疑難給出可能的解決方案[10-25].比如,廣義不確定原理可以克服黑洞視界附近量子態(tài)的發(fā)散困難,有助于對(duì)黑洞熵統(tǒng)計(jì)起源的認(rèn)識(shí); 廣義不確定原理可以影響黑洞視界上粒子的量子隧穿過(guò)程,增加粒子的隧穿概率,有助于對(duì)黑洞信息疑難的解決; 利用廣義不確定原理研究黑洞熵,可以得到熵的量子修正項(xiàng),有助于對(duì)黑洞熵量子本質(zhì)的認(rèn)識(shí); 利用廣義不確定原理研究黑洞輻射,可以得到普朗克量級(jí)的黑洞剩余,有助于對(duì)黑洞信息疑難問(wèn)題的解決,并對(duì)暗物質(zhì)給出可能的候選方案.

最小可觀測(cè)長(zhǎng)度效應(yīng)也引發(fā)了對(duì)非對(duì)易時(shí)空(noncommutative spacetimes,NS)的研究[26,27].在非對(duì)易時(shí)空中,廣義相對(duì)論的經(jīng)典時(shí)空被具有非對(duì)易坐標(biāo)的幾何取代,從而導(dǎo)致了一種量子修正時(shí)空-非對(duì)易黑洞(noncommutative black hole,NBH)[28-32].非對(duì)易黑洞中心存在非奇異的標(biāo)量曲率,從而可避免傳統(tǒng)黑洞中的時(shí)空奇異性和溫度發(fā)散[33-36].非對(duì)易黑洞的正規(guī)性可以為黑洞熱力學(xué)疑難的解決提供線索和思路,相應(yīng)地,其熱力學(xué)的修正效應(yīng)也得到了許多研究[37-51].其中,通過(guò)考察正規(guī)黑洞的內(nèi)能特征,文獻(xiàn)[51]提出,傳統(tǒng)的黑洞熱力學(xué)第一定律不再適用于能量密度依賴于黑洞質(zhì)量的正規(guī)黑洞; 正規(guī)黑洞的內(nèi)能和熱力學(xué)第一定律需要修正.利用文獻(xiàn)[51]給出了修正的黑洞熱力學(xué)第一定律,文獻(xiàn)[23]研究了Hayward正規(guī)黑洞熱力學(xué)的量子修正,得到了不同方法下黑洞溫度結(jié)果的一致性,并驗(yàn)證了貝肯斯坦-霍金面積定律適用性.

此外,關(guān)于最小長(zhǎng)度和黑洞熱力學(xué)的量子修正,還有許多其他研究和進(jìn)展,均增加了對(duì)黑洞量子性質(zhì)的認(rèn)識(shí)[52-63].其中,Parikh 和 Wilczek[62,63]給出了一種通過(guò)計(jì)算視界上粒子的隧穿率來(lái)給出霍金輻射的半經(jīng)典方法.量子隧穿方法將粒子的隧穿概率與黑洞熵的變化相聯(lián)系,給出了霍金輻射偏離黑體譜的結(jié)果,從而可以給出一種可能的解決黑洞信息疑難的方案.

為了研究最小長(zhǎng)度效應(yīng)對(duì)黑洞量子性質(zhì)的影響,我們研究了非對(duì)易黑洞的熱力學(xué).研究中利用熱力學(xué)第一定律的修正形式,并考慮廣義不確定原理效應(yīng).首先,我們?cè)诜菍?duì)易施瓦西黑洞中,利用修正的黑洞熱力學(xué)第一定律,計(jì)算了黑洞的溫度、熵和熱容,給出了具有普遍意義的黑洞溫度表達(dá)式,討論了黑洞的面積定律的適用性和熱力學(xué)穩(wěn)定性.其次,將廣義不確定原理與時(shí)空的非對(duì)易效應(yīng)相結(jié)合,討論了廣義不確定原理對(duì)非對(duì)易施瓦西黑洞熱力學(xué)的影響,得到了廣義不確定原理修正的黑洞溫度、熵和熱容.本文第2節(jié)對(duì)非對(duì)易黑洞做簡(jiǎn)單介紹; 第3節(jié)利用修正的熱力學(xué)第一定律對(duì)非對(duì)易施瓦西黑洞的熱力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行討論; 第4節(jié)討論廣義不確定原理對(duì)非對(duì)易黑洞溫度、熵和熱容的影響; 最后是總結(jié)和討論.本文將采用G=k=c=1的自然單位制.

2 非對(duì)易黑洞

廣義相對(duì)論指出,引力是時(shí)空彎曲的表現(xiàn),而時(shí)空彎曲源于物質(zhì)與能量.在對(duì)易空間中,點(diǎn)粒子質(zhì)量密度通常用質(zhì)量與狄拉克函數(shù)的乘積來(lái)表示.考慮非對(duì)易性對(duì)引力物體中質(zhì)量分布的影響,質(zhì)量密度不再能用狄拉克函數(shù)表示,而是要用高斯分布替代[28-30].相應(yīng)地,時(shí)空結(jié)構(gòu)的描述將發(fā)生變化.

在非對(duì)易時(shí)空中,存在空間坐標(biāo)x的非對(duì)易關(guān)系[26,27]

其中,θ 為非對(duì)易參數(shù),具有普朗克長(zhǎng)度平方的量級(jí).(1)式表示,空間出現(xiàn)了模糊性,對(duì)易空間中描述位置的幾何點(diǎn)將被最小寬度為普朗克長(zhǎng)度量級(jí)的區(qū)域所取代.因此,利用狄拉克函數(shù)來(lái)定義質(zhì)點(diǎn)密度的方法在非對(duì)易空間中不再適用,而是要用最小寬度為普朗克長(zhǎng)度的高斯分布.對(duì)于靜態(tài)、球?qū)ΨQ的點(diǎn)粒子引力源,其質(zhì)量分布可用密度 ρθ表示為[28-30]

其中M為引力源的質(zhì)量.可以看到,在非對(duì)易空間中,取代對(duì)易空間中的點(diǎn)粒子,質(zhì)量M將在整個(gè)區(qū)域上分布,其特征尺度為利用質(zhì)量密度(2)式,可以求出半徑為r范圍內(nèi)引力源的總質(zhì)量為

求解具有非對(duì)易質(zhì)量密度的愛(ài)因斯坦方程,可以得到非對(duì)易時(shí)空中的黑洞解[28-30].在廣義相對(duì)論中,對(duì)于非對(duì)易性的影響,可以考慮通過(guò)保持愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程左邊張量的標(biāo)準(zhǔn)形式,而在右邊引入一個(gè)修改后的能量動(dòng)量張量并將時(shí)間分量記為為使度規(guī)的時(shí)間分量滿足利用能動(dòng)張量的協(xié)變守恒能動(dòng)張量可定義為

這樣,利用能動(dòng)張量(5)式解愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程,可以得到非對(duì)易時(shí)空中的施瓦西黑洞線元為

其中,r為徑向坐標(biāo),d?2為單位球面上的度規(guī),且有[28-30]

這樣,非對(duì)易黑洞可以在 r=0 處找到一個(gè)正常數(shù)曲率的德西特核,不存在曲率奇點(diǎn).而且,這一時(shí)空非奇異性可以對(duì)黑洞的蒸發(fā)等熱力學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)性的影響[33-36].而如果忽略時(shí)空的非對(duì)易性,令 θ→0 ,即可通過(guò)(9)式在 r=0 處得到時(shí)空奇點(diǎn).

3 非對(duì)易黑洞的熱力學(xué)

接下來(lái)研究非對(duì)易施瓦西黑洞的熱力學(xué).首先,通過(guò)三種方法,即表面引力法、量子隧穿法和熱力學(xué)第一定律法來(lái)給出非對(duì)易黑洞的溫度.將會(huì)看到,由熱力學(xué)第一定律得到的黑洞溫度與其他兩種方式所得的不同.為了解決這一矛盾,我們采用文獻(xiàn)[51]給出的修正的黑洞熱力學(xué)第一定律.可以看到,利用修正的黑洞熱力學(xué)第一定律,可以得到與表面引力法和量子隧穿法一致的黑洞溫度,并得到符合貝肯斯坦-霍金面積定律的黑洞熵.進(jìn)一步,計(jì)算非對(duì)易黑洞的熱容,得到非對(duì)易施瓦西黑洞可以具有熱力學(xué)穩(wěn)定性的結(jié)果.

首先,通過(guò)表面引力法給出非對(duì)易黑洞(6)式的溫度.利用(6)式和(7)式,通過(guò) [(gθ)tt]r=rh=0 ,可得黑洞的視界半徑為

黑洞視界上的表面引力 κ 是一個(gè)守恒量,由視界的幾何結(jié)構(gòu)決定,即

霍金輻射是黑洞附近的量子效應(yīng).黑洞溫度是黑洞視界的特征量,可由視界上的表面引力得到[2],

對(duì)于利用表面引力所得到的非對(duì)易施瓦西黑洞的溫度,可以看出,對(duì)于大黑洞,即時(shí),溫度Tκ可以回到施瓦西黑洞溫度但對(duì)于小黑洞,Tκ將與 TSch有明顯不同[28-30].

利用霍金輻射的量子隧穿方法同樣可以計(jì)算黑洞的溫度[62,63].對(duì)于球?qū)ΨQ靜態(tài)時(shí)空,利用Wenzel-Kramers-Brillouin近似,粒子在視界上的輻射率 Γ 可以從隧穿粒子作用量I的虛部得到[62,63],即

為了計(jì)算粒子在視界上的隧穿作用量,需要消除線元(6)式的坐標(biāo)奇異性.因此,對(duì)該線元進(jìn)行Painleve坐標(biāo)變換[64]

從而得到

可以看出,Painleve坐標(biāo)線變換可以消除度規(guī)在視界上的奇異性.

為了計(jì)算無(wú)質(zhì)量粒子在視界上的隧穿率,需要給出粒子的徑向運(yùn)動(dòng)方程.從(15)式可以得到徑向零測(cè)地線方程為

其中“+”對(duì)應(yīng)出射粒子,“-”對(duì)應(yīng)入射粒子.這里,為了研究視界外的輻射,我們?nèi)　?”.對(duì)(16)式在視界上進(jìn)行泰勒展開(kāi),可以得到

粒子隧穿作用量虛部為

其中,ri和 rf表示粒子在隧穿前后的坐標(biāo),pr為粒子的動(dòng)量.應(yīng)用哈密頓方程

并改變(18)式的積分次序,可以得到

其中H為系統(tǒng)的哈密頓量,ω′表示隧穿粒子的能量.將粒子徑向運(yùn)動(dòng)方程(16)式代入(20)式中,并取(17)式的一級(jí)近似,可以得到

利用留數(shù)定理,完成對(duì)r的積分,得到

將(22)式代入(13)式,得到

這樣,將(23)式與玻爾茲曼因子 exp(-ω/T) 相比較,得到黑洞的溫度為

可以看到,通過(guò)量子隧穿方法得到的黑洞溫度與通過(guò)表面引力得到的黑洞溫度是相同的.

利用黑洞熱力學(xué)第一定律也可以計(jì)算黑洞溫度.對(duì)于無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)電荷的非對(duì)易黑洞,黑洞熱力學(xué)第一定律為

其中,S為黑洞的熵,TH為黑洞的熱力學(xué)溫度.對(duì)于非對(duì)易黑洞(6)式,其質(zhì)量可以通過(guò) f(rh)=0 表示為

按照貝肯斯坦-霍金面積定律,黑洞熵可以表示為

其中 Ah為黑洞視界面積.將(26)式和(27)式代入(25)式,即可根據(jù)熱力學(xué)第一定律得到非對(duì)易施瓦西黑洞的溫度為

其中,參量 B(rh,θ) 定義為

可以看出,由黑洞熱力學(xué)第一定律所得出的黑洞溫度(28)式與表面引力溫度(12)式和量子隧穿溫度(24)式并不一致.如果熱力學(xué)第一定律是適用的,那么利用熱力學(xué)第一定律得到的溫度與其他方法得到的溫度也應(yīng)該是一致的.實(shí)際上,對(duì)于包括廣義相對(duì)論在內(nèi)的各種引力理論中的大多數(shù)黑洞來(lái)說(shuō),確實(shí)是這樣的.但對(duì)于非對(duì)易黑洞,出現(xiàn)了與熱力學(xué)第一定律有關(guān)的矛盾.一方面,三種方法給出了兩個(gè)不同的黑洞溫度,而表面引力與隧穿效應(yīng)得到了同樣的結(jié)果.因此,我們傾向于由表面引力和隧穿效應(yīng)所得到的結(jié)果,即由通常的熱力學(xué)定理得到的溫度(28)式需要修改.另一方面,研究表明,即使是利用表面引力和隧穿效應(yīng)所得的霍金溫度,也不能在非對(duì)易黑洞中利用熱力學(xué)第一定律得到滿足面積定律的貝肯斯坦-霍金熵[36-39].非對(duì)易效應(yīng)只作用于物質(zhì)源,而場(chǎng)方程的愛(ài)因斯坦張量部分保持不變,而且非對(duì)易性只有在普朗克尺度下才有作用,因此,作為視界特征量的黑洞熵,在非對(duì)易黑洞時(shí)空中也應(yīng)該符合貝肯斯坦-霍金面積定律.這樣,在非對(duì)易黑洞中,認(rèn)為(12)式和(24)式是正確的溫度表達(dá)式,而且黑洞熵滿足面積定律,則傳統(tǒng)的黑洞熱力學(xué)第一定律需要修改.對(duì)于包括非對(duì)易黑洞在內(nèi)的正規(guī)黑洞,文獻(xiàn)[51]給出了一種修正的熱力學(xué)第一定律.利用該修正的熱力學(xué)第一定律,可以避免正規(guī)黑洞中與通常的熱力學(xué)第一定律有關(guān)的矛盾.

文獻(xiàn)[51]從考察黑洞的內(nèi)能入手,認(rèn)為正規(guī)黑洞的內(nèi)能不應(yīng)與黑洞的質(zhì)量直接等同,而應(yīng)存在一個(gè)修正因子.實(shí)際上,彎曲時(shí)空中的能量本來(lái)就對(duì)理論模式和定義方法有較復(fù)雜的依賴性,是需要進(jìn)行研究的課題[65].這樣,考慮黑洞內(nèi)能的修改,則修正后的黑洞熱力學(xué)第一定律應(yīng)為[51]

這里,F(M,rh) 為內(nèi)能修正因子,且

對(duì)于非對(duì)易施瓦西黑洞(6)式,由(5)式可見(jiàn)

因此,可以得到非對(duì)易黑洞的內(nèi)能修正因子為

這樣,將修正因子(33)式代入(30)式,并應(yīng)用面積定律,可以通過(guò)修正后的熱力學(xué)第一定律得到黑洞的溫度為

顯然,這是與(12)式一樣的結(jié)果.這就是說(shuō),由修正的黑洞熱力學(xué)第一定律得到的非對(duì)易黑洞溫度,與利用表面引力法和量子隧穿法得到的黑洞溫度是一致的,即有

另外,根據(jù)修正的熱力學(xué)第一定律,可以得到非對(duì)易施瓦西黑洞的熱力學(xué)熵為

將(33),(34)和(26)式代入(36)式,計(jì)算可得

這樣,利用修正的熱力學(xué)第一定律,驗(yàn)證了在非對(duì)易施瓦西黑洞中黑洞熵滿足面積定律.

接下來(lái),計(jì)算非對(duì)易施瓦西黑洞的熱容,以討論時(shí)空非對(duì)易性對(duì)黑洞熱力學(xué)穩(wěn)定性的影響.黑洞的定體熱容定義為

對(duì)于施瓦西黑洞,將溫度 (Th)Scw=h/(8πM) 與熵(37)代入(38)式,則有

施瓦西黑洞的熱容為負(fù),表示該熱力學(xué)系統(tǒng)不穩(wěn)定[4].施瓦西黑洞會(huì)隨著霍金輻射變得更小,同時(shí)溫度更高,這會(huì)加劇黑洞的輻射從而使得輻射無(wú)法被阻止,而且當(dāng)黑洞半徑趨近于零時(shí),會(huì)出現(xiàn)輻射爆炸.

對(duì)于非對(duì)易施瓦西黑洞(6)式,將溫度(34)與熵(37)式代入(38)式,可得

這是一個(gè)較復(fù)雜的熱容公式,但當(dāng) θ→0 時(shí),該式可以給出(39)式的結(jié)果.這就是說(shuō),忽略非對(duì)易效應(yīng),(40)式即為施瓦西黑洞的熱容.比如,對(duì)于大質(zhì)量黑洞,當(dāng)時(shí),(40)式可回到施瓦西黑洞的熱容(39)式.

另外,為了方便對(duì)黑洞熱力學(xué)性質(zhì)的討論,可以對(duì)黑洞溫度進(jìn)行近似處理[28-30].在的情況下,將展開(kāi)至的同階項(xiàng),可以將非對(duì)易施瓦西黑洞的溫度(34)式改寫(xiě)為

可以看出,對(duì)于大質(zhì)量黑洞,非對(duì)易施瓦西黑洞低于同質(zhì)量的施瓦西黑洞溫度這是非對(duì)易黑洞與通常黑洞的一個(gè)熱力學(xué)差異.而且,當(dāng)時(shí),非對(duì)易黑洞與de-Sitter時(shí)空相符[28-30],而此時(shí)施瓦西黑洞的溫度會(huì)趨于發(fā)散.不過(guò),當(dāng)黑洞的大小符合時(shí),非對(duì)易施瓦西黑洞的溫度可以回到施瓦西黑洞的溫度.

對(duì)于大質(zhì)量黑洞,將溫度(41)式與熵(37)式代入(38)式,可得到較為簡(jiǎn)單的熱容公式

與(40)式一致,該式也可以在大黑洞極限情況下,回到施瓦西黑洞的熱容(39)式.

如果黑洞熱容為正,則黑洞有可能與外界達(dá)到熱力學(xué)平衡.現(xiàn)在我們考察非對(duì)易黑洞熱容為正的可能性.為方便,定義

在(42)式中令 CV＞0 ,可以得到

解不等式(44),可以近似得到 1.54＜μ＜5.63.這樣,結(jié)合(43)式,可以看到,當(dāng)黑洞半徑滿足

時(shí),非對(duì)易施瓦西黑洞的熱容大于零,黑洞可以具有熱力學(xué)的穩(wěn)定性.也就是說(shuō),處于這一尺度范圍內(nèi)的非對(duì)易施瓦西黑洞,可以與外界達(dá)到熱力學(xué)平衡,黑洞可以在熱浴中穩(wěn)定存在.顯然,這是非對(duì)易施瓦西黑洞不同于施瓦西黑洞的熱力學(xué)性質(zhì).

4 廣義不確定原理對(duì)黑洞熱力學(xué)的影響

為了進(jìn)一步討論黑洞熱力學(xué)的量子修正,我們考慮廣義不確定原理對(duì)非對(duì)易黑洞相關(guān)熱力學(xué)量的影響.考慮引力的量子效應(yīng),海森伯不確定原理ΔpΔx≥?可被推廣為如下形式的廣義不確定原理[6-10]：

考慮到通常 lp?Δx ,對(duì)上式進(jìn)行泰勒展開(kāi),保留到的二次項(xiàng),得到

利用海森伯不確定原理,可以給出粒子的能量ω≥?/Δx[66].這樣,考慮(48)式給出的廣義不確定原理,粒子能量的修正值為

然后,將(49)式代入(23)式,得到廣義不確定原理修正下的粒子隧穿概率為[20-23]

將(50)式與玻爾茲曼因子 exp(-ω/T) 比較,可得

取輻射粒子的位置不確定度為 Δx?2rh[19],且將(24)式和(35)式代入上式,可得廣義不確定原理修正的黑洞溫度為

可以看到,黑洞的溫度出現(xiàn)了與廣義不確定原理相關(guān)的修正因子,而且有

即廣義不確定原理體現(xiàn)的量子引力效應(yīng)降低了黑洞的溫度.如果忽略廣義不確定原理的修正效應(yīng),令 λ→0 ,則有 TGUP=Th.同樣,對(duì)于大質(zhì)量黑洞,考慮到為小量,廣義不確定原理對(duì)黑洞溫度的影響可以忽略.但對(duì)于小質(zhì)量黑洞,(52)式表明,TGUP可以與 Th有明顯不同,這也許有可能給廣義不確定原理帶來(lái)可觀測(cè)效應(yīng)和相應(yīng)檢驗(yàn).

現(xiàn)在,考慮到廣義不確定原理對(duì)黑洞溫度的影響,利用修正的熱力學(xué)第一定律(30)式,非對(duì)易施瓦西黑洞的熵可以表示為

將(26)式,(33) 式和(52)式代入(54)式,計(jì)算得

忽略積分常數(shù),計(jì)算結(jié)果可以表示為

這樣就得到了廣義不確定原理影響下的非對(duì)易施瓦西黑洞熵.其中,第一項(xiàng)是貝肯斯坦-霍金熵,第二項(xiàng)是與廣義不確定原理效應(yīng)有關(guān)的黑洞熵的量子修正,該修正為黑洞面積的對(duì)數(shù).忽略廣義不確定原理效應(yīng),令 λ→0 ,則黑洞熵可以回到(37)式的面積定律.而考慮到 λ 具有普朗克長(zhǎng)度量級(jí),可以看出,在大黑洞情況下,rh?λlp,(56)式中起主導(dǎo)作用的是第一項(xiàng),可以體現(xiàn)黑洞熵正比于黑洞面積.而在黑洞半徑接近普朗克長(zhǎng)度時(shí),廣義不確定原理對(duì)黑洞熵的影響不可以被忽略,熵與面積不再成正比.另外,這里的修正熵(56)式與相關(guān)研究結(jié)果是相符合的[19-23].

考慮廣義不確定原理效應(yīng),黑洞的熱容公式(38)可以寫(xiě)為

將(56)式和(52)式代入(57)式得

再將(34)式代入(58)式,可以得到進(jìn)一步的計(jì)算結(jié)果為

此即廣義不確定原理影響下的非對(duì)易施瓦西黑洞的熱容.可以看出,當(dāng)令 λ→0 時(shí),(CV)GUP可以回到 (40)式,即與不考慮廣義不確定原理修正效應(yīng)的熱容結(jié)果一致.然后,再令 θ→0 時(shí),可以得到施瓦西黑洞的熱容(39)式.

另外,在(59)式中,直接令 θ→0 ,可以得到此為考慮廣義不確定原理效應(yīng)時(shí)的施瓦西黑洞熱容.然后,再令 λ→0 ,(60)式也可以回到施瓦西黑洞的熱容(39)式.這是與相關(guān)研究相符合的結(jié)果[25].

5 總結(jié)與討論

本文研究了具有正規(guī)性的非對(duì)易黑洞的熱力學(xué)性質(zhì).首先,我們分別利用表面引力、隧穿效應(yīng)與黑洞熱力學(xué)第一定律計(jì)算了非對(duì)易施瓦西黑洞的溫度.結(jié)果表明,由表面引力與隧穿效應(yīng)所得的黑洞溫度相同,而由傳統(tǒng)熱力學(xué)第一定律所得的黑洞溫度與上述兩種方法所得的溫度不一致.文獻(xiàn)[51]提出,對(duì)于包括非對(duì)易黑洞在內(nèi)的一類正規(guī)黑洞,由于時(shí)空質(zhì)量分布與經(jīng)典黑洞有所不同,熱力學(xué)第一定律應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)修正.利用文獻(xiàn)[51]給出的黑洞熱力學(xué)第一定律的修正形式,并應(yīng)用黑洞面積定律,我們得到了與其他兩種方法一致的黑洞溫度.這樣,在非對(duì)易施瓦西黑洞中,利用三種不同的方法,均得到了一樣的黑洞溫度.而且,該溫度表達(dá)式表明,非對(duì)易黑洞的溫度比相應(yīng)的施瓦西黑洞溫度低.不過(guò),對(duì)于大質(zhì)量黑洞,非對(duì)易黑洞溫度與施瓦西黑洞溫度的差異會(huì)消失.隨后,利用修正的黑洞熱力學(xué)第一定律,計(jì)算了非對(duì)易施瓦西黑洞的熵,結(jié)果驗(yàn)證了非對(duì)易黑洞符合貝肯斯坦-霍金面積定律.然后,根據(jù)得到的溫度和熵,并利用修正的熱力學(xué)第一定律,得到了非對(duì)易施瓦西黑洞的熱容.對(duì)熱容結(jié)果進(jìn)行分析,近似得到在視界半徑與非對(duì)易參數(shù)滿足一定條件時(shí),非對(duì)易施瓦西黑洞的熱容可以為正值.這是與傳統(tǒng)施瓦西黑洞的負(fù)熱容不同的熱力學(xué)性質(zhì).這表明,非對(duì)易黑洞有可能與外界達(dá)到熱力學(xué)平衡,黑洞可以在一定尺度范圍內(nèi)穩(wěn)定存在.而在大質(zhì)量極限下,非對(duì)易施瓦西黑洞的熱容會(huì)回到施瓦西黑洞的情況.

其次,我們考慮廣義不確定原理體現(xiàn)的量子引力效應(yīng),并利用修正的黑洞熱力學(xué)第一定律,對(duì)非對(duì)易施瓦西黑洞的熱力學(xué)進(jìn)行了進(jìn)一步研究.結(jié)果表明,廣義不確定原理對(duì)黑洞溫度、熵和熱容均帶來(lái)進(jìn)一步的量子修正.廣義不確定原理進(jìn)一步降低了黑洞的溫度.對(duì)于微觀黑洞來(lái)說(shuō),這一溫度差異有可能帶來(lái)觀測(cè)上的區(qū)別,并可能對(duì)廣義不確定原理的量子引力效應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn).廣義不確定原理為黑洞熵提供了一個(gè)面積對(duì)數(shù)的修正項(xiàng).而在大黑洞極限下,對(duì)數(shù)項(xiàng)影響可以忽略,黑洞熵符合面積定律.當(dāng)黑洞減小至接近普朗克尺度時(shí),量子引力效應(yīng)不能被忽略,黑洞熵不再符合面積定律.對(duì)于廣義不確定原理影響下的黑洞熱容,可以看到,忽略廣義不確定原理效應(yīng),黑洞熱容回到之前的非對(duì)易黑洞熱容,再忽略非對(duì)易效應(yīng),黑洞熱容回到傳統(tǒng)施瓦西黑洞情況.而在修正的熱容公式中,如果直接忽略非對(duì)易效應(yīng),則可得到廣義不確定原理影響下的施瓦西黑洞熱容,再忽略廣義不確定原理效應(yīng),也可得到傳統(tǒng)施瓦西黑洞熱容.

黑洞熱力學(xué)是量子引力效應(yīng)的重要應(yīng)用和探測(cè)領(lǐng)域,特別是在量子修正黑洞中.廣義不確定原理在描述黑洞的量子性質(zhì)中起著重要的作用.本文的研究可推廣到帶電荷和帶角動(dòng)量的非對(duì)易黑洞中.另外,在此基礎(chǔ)上,研究非對(duì)易黑洞蒸發(fā)的量子修正,以及相關(guān)的輻射剩余和信息疑難等問(wèn)題,也應(yīng)是值得繼續(xù)的工作.