熱傳導(dǎo)系數(shù)跳躍的三維非Fourier溫度場分布的奇攝動(dòng)雙參數(shù)解*

包立平 李文彥 吳立群

1) (杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,杭州 310018)

2) (杭州電子科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院,杭州 310018)

應(yīng)用非Fourier熱傳導(dǎo)定律構(gòu)建了溫度場模型,即一類在無界域上的三維奇攝動(dòng)雙曲拋物方程的初邊值問題.隨著溫度急劇變化,熱傳導(dǎo)系數(shù)發(fā)生跳躍,相應(yīng)可以用非線性的具有間斷系數(shù)的奇攝動(dòng)雙參數(shù)雙曲方程表示.通過奇攝動(dòng)雙參數(shù)展開方法,得到了該問題的漸近解.首先應(yīng)用奇攝動(dòng)方法得到該問題的展開式,通過對解做出估計(jì)以及古典解的存在唯一性定理給出了內(nèi)解和外解的存在性、唯一性.其次,由奇攝動(dòng)理論,得到該類奇攝動(dòng)雙曲方程進(jìn)行了初始層矯正,得到了解關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的估計(jì).并且通過用Fourier 變換確定了熱傳導(dǎo)系數(shù)跳躍的位置表達(dá)式,從而得到了解的形式漸近展開式.最后通過余項(xiàng)估計(jì),得到了漸近解的一致有效性,從而得到了熱傳導(dǎo)系數(shù)間斷的溫度場的分布.

1 引 言

隨著超短脈沖激光加熱、金屬快速凝固等現(xiàn)代高新技術(shù)的發(fā)展,熱作用的周期時(shí)間短到皮秒以至飛秒量級的超急速,超常規(guī)熱傳導(dǎo)規(guī)律的研究越來越引起人們的重視.

在許多實(shí)際物理問題中,會(huì)遇到含有間斷系數(shù)的擴(kuò)散問題,例如,熱傳導(dǎo)過程中在不同溫度下,熱傳導(dǎo)系數(shù)會(huì)出現(xiàn)間斷[1],從而這些物理問題的數(shù)學(xué)模型就歸結(jié)于間斷系數(shù)問題.如何有效和準(zhǔn)確地求解它們?nèi)匀皇且粋€(gè)很大的挑戰(zhàn).雖然許多學(xué)者針對這類問題的數(shù)值求解做了大量的研究工作,但是使用經(jīng)典的有限元方法求解很難獲得高精度的數(shù)值解.關(guān)建飛等[1]和沈中華等[2]用Fourier熱傳導(dǎo)定律描述了板狀金屬材料中脈沖激光激發(fā)的超聲波,并用有限元方法進(jìn)行了數(shù)值模擬.對于常規(guī)條件下的非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題,人們經(jīng)常采用Fourier熱傳導(dǎo)定律來描述熱流密度與溫度梯度之間的關(guān)系,也足夠精確,但是延伸到溫度急劇變化的場合,由于經(jīng)典Fourier熱傳導(dǎo)定律是準(zhǔn)平衡假設(shè),假定熱播傳播速度為無限大的熱擴(kuò)散行為,就在應(yīng)用中產(chǎn)生了問題,實(shí)驗(yàn)表明溫度傳播速度是有限的熱波行為,因此應(yīng)用非Fourier熱傳導(dǎo)定律更合適.文獻(xiàn)[3,4]分別報(bào)道了鐵、鋼鋁合金等材料中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,表明了熱傳播中的非Fourier性質(zhì).李金娥等[5]建立了一個(gè)雙層材料層合板瞬態(tài)加熱情況下的非Fourier熱傳導(dǎo)分析模型,用向后差分法得到了溫度場的數(shù)值解.張浙等[6]對非傅里葉熱傳導(dǎo)的性質(zhì)、模型、模型的求解及應(yīng)用與實(shí)驗(yàn)等幾個(gè)方面的研究進(jìn)展做了較詳盡的概括與評述,并指出了今后需要著重研究的方向.我們采用非Fourier熱傳導(dǎo)定律來構(gòu)建模型,考慮由于溫度急劇變化熱傳導(dǎo)系數(shù)出現(xiàn)跳躍的情況,得到了非線性的具有間斷系數(shù)的奇攝動(dòng)雙曲方程.文獻(xiàn)[7]討論了一類二階擬線性雙曲型偏微分方程的 H1-Galerkin混合有限元方法,分析了兩種有限元方法,分別證明了連續(xù)問題和離散問題解的存在唯一性.對一維空間問題做出了誤差估計(jì),討論了 H1-Galerkin混合有限元方法在二元和三元空間問題中的推廣,通過數(shù)值例子驗(yàn)證了數(shù)值方法的可行性.Amirov[8]構(gòu)造了新的積分來表示具有分段常導(dǎo)系數(shù)和間斷條件的Sturm-Liouville方程的基本解,研究了邊值問題的重要譜性質(zhì).Farrel等[9]和Silva[10]研究了具有間斷源項(xiàng)的半線性微分方程奇攝動(dòng)問題.上述文獻(xiàn)都是通過數(shù)值模擬的方法得到相關(guān)結(jié)果.Teixeria等[11]研究了一類微分方程系數(shù)出現(xiàn)間斷時(shí),利用爆破技術(shù)對非光滑動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行正則化.文獻(xiàn)[12-15]討論了具有間斷系數(shù)的微分方程的穩(wěn)定性、正則性.文獻(xiàn)[16]研究了一類具有非 線性初邊值條件的奇攝動(dòng)問題的n維擬線性雙曲拋物方程，文獻(xiàn)[17]研究了一類具有變動(dòng)邊界的初邊值問題的奇攝動(dòng)擬線性雙曲拋物方程，兩者均給出了有效解的存在性.文獻(xiàn)[18]討論了非Fourier溫度場分布的奇攝動(dòng)解.文獻(xiàn)[19]用數(shù)值方法研究了具有界面耦合的Frenkel-Kontorova (FK)晶格的熱傳導(dǎo).文獻(xiàn)[20]通過應(yīng)用數(shù)值分析方法詳細(xì)分析了引起多個(gè)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生的內(nèi)在物理機(jī)制.以上文獻(xiàn)均是用數(shù)值模擬的方法研究的.文獻(xiàn)[21]應(yīng)用數(shù)值分析方法研究了隨著偏壓的增大,即絕對負(fù)遷移率現(xiàn)象(ANM),其平均速度會(huì)減小,并且詳細(xì)討論了ANM任意段產(chǎn)生的內(nèi)在物理機(jī)制和條件.文獻(xiàn)[22]研究了具有耦合位移的對稱FK晶格的熱傳導(dǎo),通過數(shù)值計(jì)算得出耦合位移對控制熱流起著至關(guān)重要的作用.但文獻(xiàn)[16,17]的模型并未出現(xiàn)系數(shù)間斷的情況.文獻(xiàn)[12-15]只是涉及了間斷系數(shù),并沒有確定位置關(guān)系.迄今為止,尚未見到關(guān)于具有間斷系數(shù)的奇攝動(dòng)雙曲方程的研究的報(bào)道,特別是未見關(guān)于間斷位置未定的情形的報(bào)道.

本文考慮脈沖激光作用于材料表面基于熱彈機(jī)制產(chǎn)生的溫度場.過去通常用Fourier熱傳導(dǎo)定律描述由激光激發(fā)的溫度場,但由于激光作用的周期非常短,在瞬態(tài)熱傳導(dǎo)過程中(特別是某些極端情況,如激光加熱等),熱量傳遞具有和經(jīng)典熱傳導(dǎo)理論所認(rèn)為的擴(kuò)散行為完全不同的物理機(jī)制,物理機(jī)制的差異反映在描述物理行為的數(shù)學(xué)表達(dá)式上,就是說以經(jīng)典的Fourier定律為基礎(chǔ)建立起來的熱傳導(dǎo)理論,已不能對這種情況下的熱量傳遞規(guī)律做出合理的解釋,因此用Fourier熱傳導(dǎo)定律來描述就存在問題.所以我們采用非Fourier熱傳導(dǎo)定律構(gòu)造模型,克服了這一問題.由于溫度急劇變化,熱傳導(dǎo)系數(shù)出現(xiàn)跳躍,得到了非線性的具有間斷系數(shù)的奇攝動(dòng)雙曲方程,應(yīng)用奇攝動(dòng)雙參數(shù)展開法得到該問題的展開式,并且通過給出最大模估計(jì)得到了內(nèi)外解的存在唯一性,進(jìn)而通過Fourier變換確定了熱傳導(dǎo)系數(shù)跳躍的位置關(guān)系,從而得到了解的形式漸近展開式.其次通過余項(xiàng)估計(jì),得到了漸近解的一致有效性,從而得到了完整溫度場的分布.為非Fourier熱傳導(dǎo)在非均勻材料領(lǐng)域中的應(yīng)用研究提供參考依據(jù).

2 模型建立

現(xiàn)在做如下的假設(shè)：

[H1]f1(x,y,z),f2(x,y,z)是已知的任意階連續(xù)可微函數(shù),記

其中M是正整數(shù).

[H2]f(r)及 g(t) 是脈沖激光的空間分布,可以表示成

式中,r0是激光輻照的光斑半徑,t0是脈沖激光的上升時(shí)間.

[H3]u(x,y,z,t)表示t時(shí)刻的溫度分布; ρ ,c,k分別表示密度、熱容量和熱擴(kuò)散系數(shù).記m=k/(ρc).

在 ?1,?2,?3,?4,上,k(u)=k1,在 ?5上,k(u)=k2(μu),?1∩?2∩?3∩?4∩ ?5=?.

[H5]k(u)為熱傳導(dǎo)系數(shù),

k1,C為常數(shù),k2導(dǎo)數(shù)連續(xù),μ 是小參數(shù).假設(shè)熱傳導(dǎo)系數(shù)在 T=C 處滿足 z?=φ(x,y,t?,ε)=0,其中 t?＜t＜T ,t?為發(fā)生跳躍的時(shí)間,其中

根據(jù)非Fourier熱傳導(dǎo)理論,溫度場u(x,y,z,t)滿足以下偏微分方程

其初始條件和邊界條件為

式中,R是樣品表面的反射率; h是樣品的厚度;I0是單脈沖激光的輻照能量.令 m=k1,把問題(1)改寫為

3 形式展開

分別對(2)式和(3)式構(gòu)造形式漸近解.

首先對(2)式做正則展開,得到

比較 ε 的同次冪系數(shù),可得：

現(xiàn)給出(2)式的合成展開式：

將(7)式代入到(2)式中,比較 ε 的同次冪系數(shù),可得

對(3)式做正則展開,得到：

將(10),(11)式代入到(3)式中,可得

討論(12)式中的 εkμl項(xiàng)的系數(shù) pk,l只能為0.因?yàn)榧?/p>

同理,ε 的次數(shù)為

比較 εμ 的同次冪系數(shù),可得(3)式的展開式為

我們給出如下定理.

定理1考慮下述線性方程在 QT=×(0,T) ,?=R2×(0,h)的初邊值問題,

證明上述估計(jì)式已在文獻(xiàn)[18]中證明,在此不詳述.下面證明存在唯一性.

考慮(1)在 QTk=k×(0,T) 上的初邊值問題,其中 ?k?? 是一個(gè)有界域.因?yàn)間∈C1,2(QTk),滿足文獻(xiàn)[15]中定理8.3.1的條件,則(1)在 QTk上的初邊值問題存在唯一的解因?yàn)榧碊有界所以與邊界k的選取無關(guān),則在無界域上該問題的解存在且唯一.同理,可得(3)式的解的存在唯一性.證畢.

推論問題(8)-(13)的解存在唯一,且滿足

根據(jù)定理可得(4)-(15)式的解的存在唯一性,不再贅述.

4 熱傳導(dǎo)系數(shù)跳躍位置

定理2熱傳導(dǎo)系數(shù) k(u) 在 u=C 處發(fā)生跳躍的位置z=φ(x,y,t,ε)=φ0(x,y,t,ε)+εφ1(x,y,t,ε)+···εnφn(x,y,t,ε)+···滿足

G是由 φ0,···,φn-1決定的已知函數(shù).

證明考慮在 [0,T]×[0,h]×R2上的溫度場分布

其初始條件和邊界條件為

對(19)式的 x,y 進(jìn)行Fourier變換,可得到

所以

u0t(x,y,φ0)+u0z(x,y,φ0)φ0x=0,φ0(x,y,t?)=0,u0z(x,y,φ0)φnt+u0zz(x,y,φ0)φn+u0tzφn=G(x,y,φ0,φ1,···),φn(x,y,t?)=0 則確定了熱傳導(dǎo)系數(shù)發(fā)生跳躍的位置關(guān)系.證畢.

由定理2可知,熱傳導(dǎo)系數(shù)的跳躍點(diǎn)位置是由問題(17)所決定的,由條件[H5],在 t?時(shí)刻,φ(x,y,t?,ε)=0,這是在 z=0 平面上的位置,此后隨著溫度的變化,位置由(17)式?jīng)Q定.跳躍點(diǎn)位置z=φ(x,y,ε)是一個(gè)曲面,將整個(gè)空間分割成u＞C 和 u＜C 兩個(gè)部分.在 u＜C 時(shí),熱傳導(dǎo)系數(shù)為 k1,而在 u＞C 時(shí),熱傳導(dǎo)系數(shù)為 k2(μu).在空間 ? 中,溫度場是連續(xù)的,但溫度場在跳躍位置上的變化率比較大.

5 余項(xiàng)估計(jì)

定理3(1)式的余項(xiàng)

滿足∥R∥L2(QT)+∥?R∥L2(QT)+∥Rt∥L2(QT)≤M.

證明(1)式經(jīng)過極坐標(biāo)變換后可得

考慮(1)式的余項(xiàng)

將(26)式代入到(25)式中,可得

可得

(28)式左右同乘 2Rt,并在上積分,可得

其中,

將(30),(31)式代入到(29)式,化簡可得

其中

6 結(jié)束語

采用非Fourier熱傳導(dǎo)定律來構(gòu)造溫度場模型,即一類在無界域上的三維奇攝動(dòng)雙曲拋物方程的初邊值問題,通過奇攝動(dòng)分析,得到該問題的形式漸近解,通過對解做出估計(jì)以及古典解的存在唯一性定理給出了內(nèi)解和外解的存在性、唯一性.其次對該類奇攝動(dòng)雙曲方程進(jìn)行了初始層矯正,得到了解關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的估計(jì).由于出現(xiàn)了熱傳導(dǎo)系數(shù)間斷的情形,而間斷的位置未定,從而產(chǎn)生了自由邊界問題,采用雙參數(shù)展開法、Fourier變換確定了熱傳導(dǎo)系數(shù)跳躍的位置表達(dá)式,得到了漸近展開式,克服了高維無界域上的自由邊界問題,從而得到了解的形式漸近展開式.最后通過余項(xiàng)估計(jì),得到了漸近解的一致有效性,從而得到了熱傳導(dǎo)系數(shù)間斷的溫度場的分布.通過本文的分析,可以看到溫度場在 t=0 附近有一個(gè)極薄的初始層,溫度場是連續(xù)的,而導(dǎo)數(shù)則有一個(gè)明顯的變化.與以往工作比較可得,初始層呈現(xiàn)角層現(xiàn)象,即溫度場的變化是 O(ε) 階,而導(dǎo)數(shù)則是 O(1) 階,在熱傳導(dǎo)系數(shù)的跳躍位置兩側(cè),我們應(yīng)用雙參數(shù)奇攝動(dòng)方法,得到了溫度場的漸近表達(dá)式.當(dāng)熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)時(shí),溫度場由常系數(shù)線性雙曲方程表達(dá),從而可以求得解.但當(dāng)熱傳導(dǎo)系數(shù)不為常數(shù)時(shí),溫度場則由非線性雙曲方程表達(dá),求解就相當(dāng)困難.而雙參數(shù)奇攝動(dòng)漸近展開則將問題轉(zhuǎn)化為一系列的常系數(shù)雙曲方程,從而可以得到漸近解析解,是本文的創(chuàng)新之處.熱傳導(dǎo)系數(shù)跳躍位置是另一個(gè)困難所在.當(dāng)熱傳導(dǎo)系數(shù)是跳躍的情形,本文實(shí)際上是關(guān)于雙曲方程的自由邊界問題.因此確定熱傳導(dǎo)系數(shù)跳躍的位置就具有重要意義.我們應(yīng)用Fourier變換和奇攝動(dòng)漸近展開,得到了熱傳導(dǎo)系數(shù)跳躍位置的表達(dá)式,從而可以確定其位置.到目前為止,還較少看到這方面的結(jié)果.