畢達(dá)哥拉斯群決策方法及其在綠色供應(yīng)商選取中的應(yīng)用

施明華, 肖慶憲

(1.皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 六安 237012; 2.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院,上海 200093; 3.上海系統(tǒng)科學(xué)研究院,上海 200093)

0 引言

上世紀(jì)60年代，自動控制專家Zadeh定義了模糊集的系統(tǒng)化范式和計(jì)算法則，從而打開模糊集在決策分析領(lǐng)域的應(yīng)用空間，使其成為表征不確定和模糊信息的一種主要工具。在日益復(fù)雜的決策環(huán)境下，人們對事物的認(rèn)知結(jié)果往往呈現(xiàn)出肯定、否定和猶豫三個方面，而模糊集僅能通過隸屬度刻畫肯定信息。鑒于此，Atanassov對模糊集進(jìn)行拓展，提出了直覺模糊集(IFS)，用隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個度量指標(biāo)更細(xì)膩的度量信息。由于IFS在表征模糊和不確定信息時(shí)表現(xiàn)出靈活、高精度等特點(diǎn)，IFS被廣泛的應(yīng)用于供應(yīng)鏈管理、電子商務(wù)推薦系統(tǒng)、數(shù)據(jù)挖掘、智慧醫(yī)療等諸多領(lǐng)域[1～3]。在IFS基礎(chǔ)上，不確定性和模糊邏輯專家Yager提出一種新的模糊集，即畢達(dá)哥拉斯模糊集(PFS)[4]，其理論框架完全不同于直覺模糊集。首先，二者的求補(bǔ)運(yùn)算不同，IFS基于C(a)=1-a，而PFS基于C(a)=(1-a2)1/2。其次，IFS落腳點(diǎn)是滿意度和非滿意度值，而PFS采用類似極坐標(biāo)系的方法，即基于滿意度強(qiáng)度值和滿意度方向偏離值來構(gòu)建。構(gòu)造方式的差異，使得二者的運(yùn)算方式完全不同，并且PFS比IFS使用范圍更廣。因?yàn)榍罢呦拗茥l件較弱，要求隸屬度和非隸屬度的平方和不超過1，而后者限制條件較強(qiáng)，要求隸屬度和非隸屬度之和不超過1。目前，PFS已經(jīng)引起諸多學(xué)者興趣，并取得一些研究成果[5～7]，但在管理決策領(lǐng)域的研究還處于起步階段，相關(guān)理論有待進(jìn)一步的完善和深入研究。

證據(jù)理論是一種非常實(shí)用的處理和表達(dá)不確定信息的技術(shù)手段，最早由Dempster在1967年提出，Shafer進(jìn)一步給出其嚴(yán)格和規(guī)范化的定義。因此，證據(jù)理論又常被稱為Dempster-Shafer理論，簡稱為D-S理論。證據(jù)理論將命題轉(zhuǎn)化為集合的形式，利用信任度函數(shù)和似然度函數(shù)刻畫命題的可靠性，并通過證據(jù)合成規(guī)則進(jìn)行證據(jù)融合，從而進(jìn)行決策。鑒于此，證據(jù)理論被視為一種依據(jù)證據(jù)做決策的理論，廣泛的用于求解模糊決策問題。姚爽等人將證據(jù)理論和層次分析法相結(jié)合提出一種求解專家權(quán)重未知的模糊多屬性群決策方法[8]。針對具有動態(tài)參考點(diǎn)以及混合型屬性值的模糊多屬性決策問題，靳留乾等人提出一種基于前景理論和證據(jù)理論的決策方法[9]。Dong Yuanxiang等人將證據(jù)理論和模糊軟集相結(jié)合，提出一種新的模糊集合，即D-S模糊軟集理論，并研究了D-S模糊軟集環(huán)境下的多屬性群決策問題[10]。針對權(quán)重未知且屬性值為三角直覺模糊數(shù)的多屬性決策問題，Li Xihua等人基于前景理論和證據(jù)理論提出一種新的決策方法[11]。但至今未見將證據(jù)理論應(yīng)用于求解畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境下的管理決策問題研究。

集結(jié)算子作為一種主要的信息融合工具，得到學(xué)者的廣泛重視，產(chǎn)生了豐碩的研究成果。從關(guān)聯(lián)性角度出發(fā)，集結(jié)算子可大致劃分為兩大類，一類認(rèn)為集結(jié)變量間相互獨(dú)立，代表性的有加權(quán)平均算子，幾何平均算子，混合平均算子[3]。但在實(shí)際決策中，由于經(jīng)濟(jì)社會的復(fù)雜性，涉及的變量大都相互關(guān)聯(lián)。鑒于此，很多學(xué)者提出通過利用變量間的交叉運(yùn)算挖掘其關(guān)聯(lián)信息，從而設(shè)計(jì)出另外一類基于交互運(yùn)算的關(guān)聯(lián)變量集結(jié)算子，代表性的有Heronian平均(HM)算子和Bonferroni平均(BM)算子[1,3]。但這些算子的交互運(yùn)算是固定的，例如HM和BM算子均采用兩兩運(yùn)算，當(dāng)變量個數(shù)較多的時(shí)，挖掘關(guān)聯(lián)信息的能力較弱。為此，Qin Jindong等人首次將MSM算子引入模糊信息的集結(jié)[12]，其顯著性的優(yōu)勢是可以根據(jù)決策情況自主設(shè)定交互運(yùn)算變量的個數(shù)。目前，MSM算子已經(jīng)被應(yīng)用于猶豫模糊[13]、直覺不確定模糊語言[14]、單變量中智[15]、不確定模糊語言[16]等環(huán)境下的決策問題求解。然而，這些文獻(xiàn)中涉及的加權(quán)MSM算子存在一個較大的缺陷，即不滿足退化性和冪等性。為此，本文將對加權(quán)MSM算子進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，提出一種新的可退化并具有冪等性的混合加權(quán)MSM算子。

鑒于上述分析，針對屬性值為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)且專家權(quán)重未知的多屬性群決策問題，本文構(gòu)建了一種基于證據(jù)理論和加權(quán)MSM算子的群決策方法。該方法先利用決策矩陣間的距離，獲取專家權(quán)重，在一定程度上解決了后期證據(jù)融合時(shí)的沖突問題。然后，再采用兩種方法串行實(shí)施信息融合：第一階段，針對存在關(guān)聯(lián)關(guān)系的屬性變量，用加權(quán)MSM算子進(jìn)行集結(jié)，分別獲得專家對各個候選對象的綜合評價(jià)；第二階段，針對各專家獨(dú)立提供的綜合評價(jià)信息，利用證據(jù)合成方法進(jìn)行合成，獲得各個候選對象的置信區(qū)間。最后，利用置信區(qū)間構(gòu)建可能度矩陣進(jìn)行優(yōu)選決策。

1 證據(jù)理論

識別框架指的是某個命題的全部可能結(jié)果所組成的有限且完備的集合，通過識別框架的構(gòu)建可將抽象的命題運(yùn)算轉(zhuǎn)化為集合運(yùn)算。D-S理論的信任度函數(shù)、似然度函數(shù)和證據(jù)組合函數(shù)等重要概念均建立在識別框架基礎(chǔ)之上。

定義2[11]設(shè)F為D-S識別框架，F(xiàn)={F1,F2,…,Fn}為一組相互獨(dú)立的結(jié)論所構(gòu)成的集合，A和B為F子集。則A的信任度(Belief measure, Bel)函數(shù)和似然度(Plausibility measure, Pl)函數(shù)為

Bel(A)表示證據(jù)A一定發(fā)生的可信度；Pl(A)則表示證據(jù)A可能發(fā)生的可信度。顯然，對于F的任意子集A都有Pl(A)≥Bel(A)，故A的支撐度區(qū)間可表示為[Bel(A),Pl(A)]，也稱為A的信任區(qū)間。為了將多個證據(jù)信息進(jìn)行融合，以便實(shí)施優(yōu)選決策，Dempster提出了如下的正交和法則。

定理1[11]設(shè)m1,m2,…,mn是同一識別框架下的Mass函數(shù)，所對應(yīng)的證據(jù)分別為A1,A2,…,Ap，則有

m(A)=m1(A1)⊕m2(A2)⊕…mn(An)

2 混合加權(quán)畢達(dá)哥拉斯MSM算子

2.1 畢達(dá)哥拉斯模糊集

定義3[6]設(shè)X是一給定論域，則X上的一個畢達(dá)哥拉斯模糊集A為A={|x∈X},其中r(x)表示為給予x的承諾強(qiáng)度，d(x)則表示承諾的偏向值，并且r(x)∈[0,1]，d(x)∈[0,1]。

Zhang和Xu進(jìn)一步提出畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)概念，即稱二元數(shù)組α=P(μα,υα)為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，μα和υα滿足約束條件(μα)2+(υα)2≤1，并給出如下的運(yùn)算法則和二元關(guān)系，從而打開畢達(dá)哥拉斯模糊集的應(yīng)用空間。

定義4[17]設(shè)αi=P(μαi,υαi)(i=1,2)，α=P(μα,υα)是三個畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，則有：

定義5[17]設(shè)α=P(μα,υα)為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，則α的得分函數(shù)為sα=(μα)2-(υα)2。對任意的兩個畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)α1和α2，有如下的排序方案：

·若sα1>sα2，則α1>α2;

·若sα1=sα2，則α1=α2;

·若sα1

2.2 混合加權(quán)邁克勞林對稱平均算子

HWMSM(k)(a1,a2,…,an)

目前文獻(xiàn)中常用的通過交互運(yùn)算挖掘變量關(guān)聯(lián)性的加權(quán)算子為：加權(quán)Heronian平均(WHM)算子[3]、加權(quán)Bonferroni平均(WBM)算子[3]和加權(quán)MSM算子，如表1所示改進(jìn)后的HWMSM算子性質(zhì)最為優(yōu)良，并具有退化性、冪等性、有界性和單調(diào)性這些優(yōu)良性質(zhì)，下面我們將其推廣到畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境中并進(jìn)行討論。

表1 常用關(guān)聯(lián)性算子比較

2.3 PFHWMSM算子

PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)

NWPFMSM(k)(a1,a2,…,an)

OWPFMSM(k)(a1,a2,…,an)

PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)

據(jù)此可得

下證，由PFHWMSM算子得到的集結(jié)值也是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)。顯然有

綜上定理得證。

定理3設(shè)αi=P(μαi,υαi)，βi=P(μβi,υβi)(i=1,2,…,n)為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，若μαi≤μβi,υαi≥υβi(i=1,2,…,n)，則PFHWMSMPFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)≤PFHWMSM(k)(β1,β2,…,βn)。

證明設(shè)PFHWMSM(α1,α2,…,αn)=ξ1=P(μξ1,υξ1)，PFHWMSM(k)(β1,β2,…,βn)=ξ2=P(μξ2,υξ2)，則有

即μξ1≤μξ2，類似可得υξ1≥υξ2，因此sξ1=(μ1)2-(υ1)2≤(μ2)2-(υ2)2=sξ2，由定義5可知PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)≤PFHWMSM(k)(β1,β2,…,βn)。

定理4設(shè)αi=P(μαi,υαi)為一列畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，若αi=α=P(μα,υα)(i=1,2,…,n)，則PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)=α。

證明PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)

證明由定理3和4可得PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)≤PFHWMSM(k)(α+,α+,…,α+)≤α+以及α-=PFHWMSM(α-,α-,…,α-)≤PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn),因此，可得α-≤PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)≤α+。

隨著參數(shù)k的變化，可得PFHWMSM算子的一些特例。

Case1若k=1,則PFHWMSM退化為畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)(PFHWA)平均算子:

PFHWMSM(k)(α1,α2,…,αn)

=PFHWA(α1,α2,…,αn)

即將Liao等人定義的HWA算子[18]推廣至畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境。

PFHWMSM(2)(α1,α2,…,αn)

=PFGWHM1,1(α1,α2,…,αn)

即將Liu等人定義的GWHM算子[19]推廣至畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境。

Case3若k=n，則PFHWMSM退化為畢達(dá)哥拉斯模糊幾何(PFG)平均算子:

PFHWMSM(n)(α1,α2,…,αn)

=PFG(α1,α2,…,αn)

即將經(jīng)典的幾何平均算子[2]推廣至畢達(dá)哥拉斯模糊環(huán)境。

3 畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性群決策方法

i=1,2,…,n;k=1,2,…,l

步驟4針對每個專家關(guān)于方案的規(guī)范化綜合評價(jià)信息，利用證據(jù)合成方法進(jìn)行集結(jié)。

Mi(A)=m1i(A1)⊕m2i(A2)⊕…⊕mli(Al)

其中A,A1,A2,…,Al∈{accept，reject，(accept, reject)}。

步驟5給出候選方案Yi關(guān)于綜合證據(jù)Mi的信任區(qū)間Ii，即Ii=[Bel(xi),Pl(xi)]，并依據(jù)信任區(qū)間給出候選方案間的可能度矩陣P=(pij)n×n，其中pij表示候選方案Yi優(yōu)于Yj的可能度，計(jì)算公式為

步驟6計(jì)算可能度矩陣P=(pij)n×n的排序向量{P1,P2,…,Pn}，其中

依據(jù)Pi的大小對候選方案進(jìn)行優(yōu)選決策，Pi值越大則表示方案越好。

4 實(shí)例分析

例1出行便捷、節(jié)約能源等優(yōu)勢使得電動自行車在我國得到極大的推廣和應(yīng)用，國家統(tǒng)計(jì)局公布數(shù)據(jù)顯示，2016年我國電動自行車?yán)塾?jì)產(chǎn)量超過3000萬。但電池一直是制約電動自行車發(fā)展的主要瓶頸，層次不齊的質(zhì)量導(dǎo)致電池較高的淘汰率。廢舊電池不妥善處理會溢出含鉛重金屬和酸性物質(zhì)，從而對環(huán)境造成極大危害。因此，為電動自行車制造商尋求綠色電池供應(yīng)商尤為重要。某品牌電動自行車公司有五個可供選擇的電池貨源，為選擇出最佳綠色供應(yīng)商，該公司結(jié)合自身情況制定了五個評價(jià)指標(biāo)：產(chǎn)品質(zhì)量(g1)、使用環(huán)境友好型的材料與生產(chǎn)技術(shù)(g2)、創(chuàng)新能力(g3)、服務(wù)水平(g4)、產(chǎn)品價(jià)格(g5)，其權(quán)重向量為w=(0.2,0.4,0.1,0.1,0.2)，同時(shí)公司用權(quán)重λ=(0.3,0.25,0.2,0.15,0.1)來體現(xiàn)其對電池貨源突出屬性的偏好。為達(dá)到公平合理的決策結(jié)果，公司決定聘請三名業(yè)內(nèi)專家Di(i=1,2,3)對五家供應(yīng)商進(jìn)行評價(jià)，專家所提供的決策矩陣如下：

表2 畢達(dá)哥拉斯決策矩陣H(1)

表3 畢達(dá)哥拉斯決策矩陣H(2)

表4 畢達(dá)哥拉斯決策矩陣H(3)

下面用本文的決策方法，為該公司選出最佳綠色供應(yīng)商。

步驟2利用評價(jià)矩陣間的距離，得出決策專家的模糊測度，進(jìn)而確定其權(quán)重系數(shù)，具體計(jì)算結(jié)果如表5所示。

表5 權(quán)重系數(shù)求解結(jié)果

表6 綜合評價(jià)信息

步驟3計(jì)算屬性的得分值并進(jìn)行排序，然后利用PFHWMSM算子對專家Dk關(guān)于各個方案Yi的屬性評價(jià)信息集結(jié)，得到專家Dk關(guān)于Yi的綜合評價(jià)信息，具體如表6所示。

步驟4將方案的綜合評價(jià)信息規(guī)范化，并利用證據(jù)合成方法合成，得到每個備選方案的綜合證據(jù)信息，計(jì)算結(jié)果如表7所示。

表7 證據(jù)合成結(jié)果

步驟5由備選方案的綜合證據(jù)信息，可知各方案的信任區(qū)間分別為I1=[0.076,0.090]，I2=[0.187,0.246]，I1=[0.117,0.161]，I1=[0.098,0.133]，I1=[0.145,0.181]。據(jù)此，可得候選方案間的可能度矩陣P=(pij)5×5。

步驟6由可能度矩陣的排序向量{0.075,0.275,0.175,0.135,0.215}，可得候選方案的排序?yàn)閤2>x5>x3>x4>x1,因此最佳綠色供應(yīng)商應(yīng)為x2。

5 方法比較與討論

畢達(dá)哥拉斯模糊集的理論研究尚處于起步階段，用于多屬性群決策的方法不多見，這里我們選取文獻(xiàn)[20]的方法和本文方法進(jìn)行比對。文獻(xiàn)[20]利用專家提供的決策矩陣和理想矩陣間的相似度分配專家相應(yīng)的權(quán)重，再利用畢達(dá)哥拉斯加權(quán)平均(PFWA)算子進(jìn)行集成。盡管兩種方法都基于決策矩陣挖掘權(quán)重信息，但兩者有一定的區(qū)別，文獻(xiàn)[20]以全體決策矩陣的算術(shù)平均矩陣作為參照點(diǎn)，從而獲取專家權(quán)重，這難免會造成決策信息的丟失或者扭曲，而本文完全基于原始數(shù)據(jù)直接進(jìn)行挖掘，更加真實(shí)客觀。在決策信息融合的方面二者也有區(qū)別，文獻(xiàn)[20]在屬性信息融合和專家信息融合兩個階段均采用PFWA算子，而本文方法則表現(xiàn)的更為細(xì)膩，在兩個階段分別利用PFHWMSM算子和證據(jù)合成方法進(jìn)行融合。

表8 文獻(xiàn)[20]計(jì)算結(jié)果

表8可見，兩種方法給出的排序結(jié)果完全一致，均認(rèn)為x2為最佳商業(yè)合作伙伴，這說明了本文方法的可行性。進(jìn)一步分析可能度排序向量和得分值排序向量，可見文獻(xiàn)[20]明顯放大了候選方案間的差異。這主要基于以下原因：首先，本文所使用的PFHWMSM算子考慮了變量間的聯(lián)系，事實(shí)上管理決策實(shí)際問題研究中所涉及的變量都或多或少存在關(guān)聯(lián)性，但PFWA算子認(rèn)為屬性變量間相互獨(dú)立；其次，本文利用證據(jù)理論來集成專家間的信息更符合人類的思維方式，能比集結(jié)算子更有效的處理不確定模糊信息[9,21,22]；最后，文獻(xiàn)[20]的信息集結(jié)方法沒有反映出候選方案針對不同的因素有所側(cè)重的特點(diǎn)，例如有的電池側(cè)重于使用綠色生產(chǎn)材料但價(jià)格偏高，有的則側(cè)重于電池使用年限但服務(wù)水平略遜一些，忽略這些信息以至于產(chǎn)品間的差異被放大。

6 結(jié)論

針對屬性值為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)并且專家權(quán)重未知的多屬性群決策問題，本文提出一種基于證據(jù)理論和混合加權(quán)畢達(dá)哥拉斯MSM算子的群決策方法。新方法以多數(shù)人的意見為出發(fā)點(diǎn)，挖掘原始數(shù)據(jù)信息，設(shè)計(jì)出一種確定專家權(quán)重的方法；然后，再采用混合加權(quán)MSM算子對候選變量屬性信息進(jìn)行集成，所采用的新算子一方面比傳統(tǒng)的加權(quán)MSM算子性質(zhì)優(yōu)良，滿足退化性、冪等性等性質(zhì)，并且是常見的混合加權(quán)平均算子、GWHM算子、幾何平均算子的廣義形式，另一方面比Bonferroni平均等算子在捕獲變量k間的關(guān)聯(lián)性方面更靈活，通過參變量k的設(shè)置自由選取交叉運(yùn)算變量的個數(shù)；最后，將專家的綜合評價(jià)信息看成證據(jù)，進(jìn)行D-S證據(jù)集結(jié)，得到綜合證據(jù)信息，并進(jìn)行優(yōu)選決策。但該方法也有不足之處，對于屬性權(quán)重未知，以及屬性值為區(qū)間值的情形沒有加以討論，下一步的研究重點(diǎn)將是討論屬性權(quán)重未知、屬性值為區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的群決策問題。