擬Abelian范疇的平凡擴張范疇

趙 曉， 童智錦

(福州外語外貿(mào)學(xué)院 公共教學(xué)部， 福建 福州 350202)

1 預(yù)備知識

擬Abelian范疇是Abelian范疇的基礎(chǔ)，也是Abelian范疇的自然推廣，建立在擬Abelian范疇上的各種理論更具有一般的理論意義[1]。而范疇的擴張在代數(shù)表示論和范疇理論中扮演重要的角色，例如推出范疇、范疇的平凡擴張等。在代數(shù)學(xué)方面，由一個代數(shù)構(gòu)造新代數(shù)是一個重要的研究方法，同樣，在范疇理論中由一個范疇構(gòu)造新范疇也是范疇論一個重要的研究方向，范疇的平凡擴張就是一個精典的例子[2]。文獻[3]結(jié)合Abel范疇的平凡擴張，定義了一種新的Abel范疇的“平凡擴張”,此外,還對有限范疇進行了討論，證明了有限范疇的平凡擴張仍然為有限范疇。文獻[4-6]也對一些范疇的平凡擴張進行了研究。鑒于此，結(jié)合擬Abelian范疇的相關(guān)理論對擬Abelian范疇的平凡擴張范疇進行研究。文中所出現(xiàn)的擬Abelian范疇的相關(guān)概念參見文獻[7]，但為完整起見，將主要概念列示如下：

定義1[7]加法范疇A稱為擬Abelian范疇，如果1)每個態(tài)射都有核與余核;2)每個嚴(yán)格滿態(tài)射的拉回是封閉的,即每個嚴(yán)格滿態(tài)射的拉回是嚴(yán)格滿態(tài)射,如圖1所示。

圖1 嚴(yán)格滿態(tài)射拉回圖

圖中f是嚴(yán)格滿態(tài)射,則f′也是嚴(yán)格滿態(tài)射，其中(PB)表示該圖是拉回圖。

3)每個嚴(yán)格單態(tài)射的推出是封閉的,即每個嚴(yán)格單態(tài)射的推出是嚴(yán)格單態(tài)射,如圖2所示。

圖2 嚴(yán)格單態(tài)射推出圖

圖中f是嚴(yán)格單態(tài)射,則f′也是嚴(yán)格單態(tài)射，其中(PO)表示該圖是推出圖。

設(shè)A,B是兩個擬Abelian范疇，F(xiàn):A→B是加法函子。

定義2[7]稱F是強左正合函子，如果對于A中任意嚴(yán)格正合序列0→A→B→C，經(jīng)F作用后的序列0→F(A)→F(B)→F(C)在B中嚴(yán)格正合。即F是強左正合函子,當(dāng)且僅當(dāng)F保持任意態(tài)射的核。

定義3[7]稱F是強右正合函子,如果對于A中任意嚴(yán)格余正合序列A→B→C→0,經(jīng)F作用后的序列F(A)→F(B)→F(C)→0在B中嚴(yán)格余正合。即F是強右正合函子,當(dāng)且僅當(dāng)F保持任意態(tài)射的余核。

2 擬Abeilian范疇的平凡擴張范疇

定義4設(shè)A為擬Abeilian范疇，F(xiàn):A→A為自同構(gòu)的加法函子。由A和加法函子F可構(gòu)造得一新的范疇：

obj:a:FA→A,a∈MorA,使a°Fa=0。

Mor:f:a→b，f:A→B∈MorA，使得b°Ff=f°a,其中a:FA→A,f:A→B,Ff:FA→FA,b:FA→B。

將如上構(gòu)造的范疇稱為擬Abeilian范疇A的右平凡擴張范疇，記為A?F。

對偶的可定義擬Abeilian范疇A的左平凡擴張范疇，記為F? A。

定理11)當(dāng)F是強右正合函子時，右平凡擴張范疇A?F為擬Abelian范疇；

2)當(dāng)F是強左正合函子時，左平凡擴張范疇F? A為擬Abelian范疇。

我們只證定理1中2)，對偶的可證定理1中1)。對于定理1中2)的證明，可分為以下幾個引理來證明。

引理1左平凡擴張范疇F?A中每個態(tài)射都有核與余核。

證明 1)先證每個態(tài)射都有余核。

設(shè)a:A→FA,b:B→FB∈objF?A，f:a→b為F?A中態(tài)射，其中f:A→B∈MorA。因為A為擬Abelian范疇，所以可令(C,π)=Cokerf，故存在交換圖如圖3所示。

圖3 F?A中交換圖

因為Fπ°b°f=Fπ°Ffa=F(π°f)°a=0，所以由余核的泛性存在唯一的c:C→FC使c°π=Fπ°b。下證c∈objF?A，即要證Fc°c=0。因為Fc°c°π=Fc°Fπ°b=F(cπ)°b=F(Fπ°b)°b=F2(π)°Fb°b=0，又因為π為滿態(tài)射，所以Fc°c=0。

下面再證π:b→c為f:a→b的余核。

?g:b→d∈MorF?A，其中g(shù):B→D∈MorA，d:D→FD∈objF?A滿足gf=0，則根據(jù)c是f的余核，存在唯一的h:C→D使hπ=g。又由于d°h°π=dg=Fg°b,Fh°c°π=Fh°Fπ°b=F(h°π)°b=Fg°b，所以d°h°π=Fh°c°π，又π是滿態(tài)射，故d°h=Fh°c，即h:c→d為F?A中態(tài)射，因此在F?A中π:b→c為f:a→b的余核。

2)下面我們用F為強正合函子來證F?A中每個態(tài)射都有核。

因為Ff°a°i=b°f°i=0,Fi:FK→FA為Ff的核，故存在唯一的k:K→FK，使a°i=Fi°k。于是可得正合的交換圖，如圖5所示。

圖4 行正合交換圖

圖5 圖4相應(yīng)的正合的交換圖

因為F2i為單態(tài)射，F(xiàn)2i°Fk°k=Fa°Fi°k=Fa°a°i=0，故有Fk°k=0，因此k:K→FK∈objF?A。往證i:k→a為f:a→b的核。?g′:e→a∈MorF?A，其中e:E→FE∈objF?A，?g':E→A∈MorA滿足f°g′=0。因為i:K→A為f的核，故存在唯一的h′:E→K使g′=i°h′，則有Fg′=Fi°Fh′。又a°g′=a°i°h′=Fi°k°h,Fg′°e=Fi°Fh′°e,a°g′=Fg′°e，所以Fi°k°h′=Fi°Fh′°e，又Fi為單態(tài)射，因此有k°h′=Fh′°e，即h′:e→k為F?A中態(tài)射，故在F?A中i:k→a為f:a→b的核。

由定義1可知，在擬Abelian范疇A中，f:A→B為嚴(yán)格滿態(tài)射，g:C→B為任意態(tài)射，則存在(f,g)的拉回(f′,D,g′)，且f′為嚴(yán)格滿態(tài)射。

引理2若強左正合函子F作用于該拉回圖，則有(Ff′,FD,Fg′)為(Ff,Fg)的拉回。

證明 1)Ff°Fg′=F(f°g′)=Fg°Ff′;

2)?T∈A，m:T→FC,n:T→FA使Fg°m=Ff°n，拉回考察圖如圖6所示。

圖6 拉回考察圖

因為F是自同構(gòu)的加法函子，所以存在F-1，用F-1作用于圖6后的拉回圖如圖7所示。

圖7 F-1作用于圖6后的拉回圖

由于F-1(Fg°m)=F-1(Ff°n)，即g°F-1m=f°F-1n，其中F-1m:F-1T→C,F-1n:F-1T→A,(f′,D,g′)為(f,g)的拉回，所以存在唯一的h:F-1T→D使得F-1m=f′°h,F-1n=g′°h。從而也存在Fh:T→FD使m=Ff′°Fh,n=Fg′°Fh。若還有Fh′:T→FD使m=Ff′°Fh′,n=Fg′°Fh′，則Ff′°Fh=Ff′°Fh′,Fg′°Fh=Fg′°Fh'，即F(f′°(h-h′))=0,F(g′°(h-h′))=0，由h的唯一性知h′=h，所以Fh′=Fh，因此圖6為拉回圖。

定義5稱f:a→b即f:A→B∈MorA為F?A中嚴(yán)格滿(單)態(tài)射，如果f:A→B為A中嚴(yán)格滿(單)態(tài)射。

引理31)F?A中每個嚴(yán)格滿態(tài)射的拉回是封閉的；

2)F?A中每個嚴(yán)格單態(tài)射的推出是封閉的。

證明 只須證1)，對偶的可證2)。設(shè)f:a→b即f:A→B∈MorA為F?A中嚴(yán)格滿態(tài)射，則f:A→B為A中嚴(yán)格滿態(tài)射，g:c→b為F?A中任意態(tài)射，其中g(shù):C→B∈MorA，所以在A中存在(f,g)的拉回(f′,D,g′)使得g°f′=f°g′，且f′為嚴(yán)格滿態(tài)射。由引理2知(Ff′,FD,Fg′)為(Ff,Fg)的拉回。嚴(yán)格滿態(tài)射的拉回交換圖如圖8所示。

圖8 嚴(yán)格滿態(tài)射的拉回交換圖

又因為Ff°a°g′=b°f°g′=b°g°f′=Fg°c°f′，所以由拉回的性質(zhì)知存在唯一的d:D→FD使得Ff′°d=c°f′,Fg′°d=a°g′，即g′:d→a,f′:d→c為F?A中態(tài)射，且f′為F?A中嚴(yán)格滿態(tài)射，由引理2可知(F2f′,F2D,F2g′)為(F2f,F2g)的拉回。所以由拉回的唯一性可知Fd°d=0，即d:D→FD∈objF?A。

注1:若F為強正合函子，則左平凡擴張范疇F?A和右平凡擴張范疇A?F均為擬Abelian范疇。

F?A中的序列圖如圖9所示。

圖9 F?A中的序列圖

證明 在A中若kerf=0，則f為單態(tài)射。因為F為強左正合函子，所以Ff為單態(tài)射，所以在F?A中Ff°f=0。又Ff為單態(tài)射，所以在F?A中f=0。反之，當(dāng)f=0時，顯然kerf=0。

以上F?A的性質(zhì)，A?F有對偶的結(jié)論。因此，定理1的證明可以由引理1及引理3直接得證。

3 擬Abeilian范疇的平凡擴張范疇的局部類

1)若s∈S，則Fs∈S；

2)s°t∈S當(dāng)且僅當(dāng)s∈S,t∈S。

(m,v)的拉回交換圖如圖10所示。

圖10 (m,v)的拉回交換圖

因為m,c為范疇A中的態(tài)射，A為有核的加法范疇，所以(m,-c)在A中有核。設(shè)(v,u)T為(m,-c)的核，則(u,T,v)為(n,c)的拉回。又s是嚴(yán)格的，n為π的核，則u為πc的核，且u為嚴(yán)格單態(tài)射。又m為嚴(yán)格滿的，所以(m,v)存在拉回(p1,E1,f1)且p1為嚴(yán)格滿的。記t1=u°p1，則t1為嚴(yán)格的。

由拉回的性質(zhì)知(t1,E1,f1)為(s,c)的拉回，考察交換圖如圖11所示。

圖11 交換圖

由上證明知(t2,E2,f2)為(Fs,Fc)的拉回，且t2∈S，又Fs°a°f1=b°s°f1=b°c°t1=Fc°d°t1，所以由拉回的唯一性知存在唯一的e:E1→E2使d°t1=t2°e,a°f1=f2°e,于是可令E1=E,E2=FE,t1=t,t2=Ft,f1=f,f2=Ff。因為a°f=Ff°e,d°t=Ft°e，所以f,t∈MorF?A。

下證e:E→FE∈objF?A，即只須證Fe°e=0。

證明Fe°e=0的考察圖如圖12所示。

圖12 證明Fe°e=0的考察圖

因為(Ft,FE,Ff)為(Fs,Fc)的拉回，所以由引理1知(F2t,F2E,F2f)為(F2s,F2c)的拉回，且F2t°Fe°e=Fd°Ft°e=Fd°d°t=0,F2f°Fe°e=Fa°Ff°e=Fa°a°f=0，故由拉回唯一性知Fe°e=0。

核的交換圖如圖13所示。

圖13 核的交換圖

圖13對應(yīng)交換圖如圖14所示。

圖14 圖13對應(yīng)交換圖

因為F2i°Fk°k=Fa°Fi°k=Fa°a°i=0，F(xiàn)2i為單態(tài)射，所以Fk°k=0。因此k:K→FK∈objF?A。