利用直觀想象結(jié)合鄰域分析解決參數(shù)問題

金聲

近年來，教育界對于培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問題日益重視。數(shù)學(xué)學(xué)科提出 “數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”、“直觀想象”、“數(shù)學(xué)建?！?、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”、“數(shù)據(jù)分析”這六大學(xué)科核心素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成的，滿足學(xué)生終身學(xué)習(xí)和社會發(fā)展需求的綜合能力與品質(zhì)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)科課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。

在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，通過圖像的直觀想象能夠?qū)?fù)雜的函數(shù)“看”簡單，還能夠架起方程（不等式）通往函數(shù)的橋梁。近幾年的高考函數(shù)壓軸題中涉及求參數(shù)值、參數(shù)范圍的問題，標(biāo)準(zhǔn)解答往往能夠一針見血地將參數(shù)的臨界值找到，并證明其滿足條件，而老師和學(xué)生看解答總是不明覺厲，嘆為觀止，但親自動手做題卻只能束手無策。本文正是利用直觀想象結(jié)合鄰域分析，探尋參數(shù)的臨界值。

一、鄰域的概念與解題的價值

為研究一些關(guān)鍵點x0（比如極值點、最值點和零點等）附近的情況，可取區(qū)間（x0-δ，x0+δ）叫作x0的鄰域（不妨理解為區(qū)間，下文不再另外說明），其中δ>0可以非常小。（x0-δ，x0）和（x0，x0+δ）分別叫x0的左右鄰域。

由初等函數(shù)的連續(xù)性（即圖象連續(xù)不斷，高中階段大部分學(xué)習(xí)的函數(shù)都是簡單的初等函數(shù)的復(fù)合，在不間斷的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的），導(dǎo)函數(shù)也常常是連續(xù)的，由函數(shù)在x=x0滿足性質(zhì)，可以取某個δ，使得函數(shù)在區(qū)間（x0-δ，x0+δ）也具有相同的性質(zhì)。這樣就把在整個函數(shù)的定義域上比較復(fù)雜的問題，轉(zhuǎn)化到了某個小區(qū)間上，為研究問題提供了更強(qiáng)的條件。

本文畫出函數(shù)在小鄰域處的草圖，通過直觀想象，將圖像與其對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)的分析過程呈現(xiàn)，實現(xiàn)了化抽象為具體。其中使用到一些簡單的高數(shù)知識，僅作為分析使用，不在書面解答中呈現(xiàn)。

四、方法綜述

這樣的直觀想象結(jié)合鄰域分析不失為一件解決與關(guān)鍵點x0附近的情況有關(guān)的問題的神兵利器，將參數(shù)問題中諱莫如深的臨界值猜測出來。但此方法通過分析，只能找到結(jié)論的充分條件或必要條件，并不能保證它是充要條件，需要對其充要性進(jìn)行檢驗。

直觀想象與邏輯推理也是密不可分的，直觀想象會把看到的與以前學(xué)習(xí)的結(jié)合起來，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，但這僅僅是合情推理，還要靠邏輯推理支撐，不能把直觀想象與其他核心素養(yǎng)割裂。

【備注：本文系福建省中小學(xué)名師名校長工作室專項課題，課題名稱：互聯(lián)網(wǎng)自媒體環(huán)境下高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)的微課應(yīng)用研究，課題編號：GZS180104】