基于問(wèn)題解決培養(yǎng)關(guān)鍵能力

李海敏

【摘 ? 要】 ?核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)“關(guān)鍵能力”，而解決問(wèn)題的能力是核心素養(yǎng)的重要組成部分，它由數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)溝通與交流等多個(gè)環(huán)節(jié)組成，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要途徑。在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師有必要基于問(wèn)題解決，設(shè)法培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力。

【關(guān)鍵詞】 ?初中數(shù)學(xué);問(wèn)題解決;關(guān)鍵能力;核心素養(yǎng)

解決問(wèn)題能力是核心素養(yǎng)的重要組成部分，也是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要途徑，它由數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)溝通與交流等多個(gè)環(huán)節(jié)組成，在這四個(gè)環(huán)節(jié)中，我們可以發(fā)現(xiàn)它們與課程標(biāo)準(zhǔn)中的九個(gè)核心概念有關(guān)，但又不盡相同，所以，我們初中數(shù)學(xué)教師有必要對(duì)其進(jìn)行研究。

一、數(shù)學(xué)建模，問(wèn)題解決的能力基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模能力是指學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。所以，數(shù)學(xué)建模能力是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)非常重要的基礎(chǔ)。

例如在《一元二次方程》的教學(xué)中，為了幫助學(xué)生建立一元二次方程模型，教師可以為學(xué)生提供一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生了解一元二次方程模型在解決問(wèn)題過(guò)程中的作用，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型在解決問(wèn)題中的作用。為了達(dá)到這一目的，我是這樣設(shè)計(jì)的：一個(gè)學(xué)生想在社區(qū)活動(dòng)中設(shè)計(jì)一個(gè)人物雕塑，他通過(guò)查找資料后發(fā)現(xiàn)：“人物雕塑腰線以下的長(zhǎng)度：全身高度=腰線以上長(zhǎng)度：腰線以下的距離”，這樣的雕塑才是最美的。如果他要設(shè)計(jì)的雕塑高度是0.6米，腰線以上應(yīng)該有多高？這一問(wèn)題設(shè)置在社區(qū)情境下，學(xué)生具有一定的熟悉感，但是比例關(guān)系較為復(fù)雜，要求學(xué)生深入思考。在這個(gè)過(guò)程中，如果直接基于文本對(duì)主題的描述，那么建立比例關(guān)系就更加復(fù)雜了。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生可以先嘗試獨(dú)立解決問(wèn)題，教師可以在巡查過(guò)程中找到通過(guò)畫(huà)圖的方法來(lái)解決問(wèn)題的學(xué)生。然后，在建立方程時(shí)，讓學(xué)生在黑板上板演：用一條垂直線段表示雕塑，用A、B兩點(diǎn)分別表示人物的頭頂和腳底，中間用一個(gè)C點(diǎn)表示腰，假設(shè)BC的長(zhǎng)為x，那AC的長(zhǎng)則為0.6-x，根據(jù)最佳的比例關(guān)系，得到方程式x：0.6=（0.6-x）：x，然后轉(zhuǎn)化為0.36-0.6x=x2。之后，引導(dǎo)學(xué)生組織公式得到x2+0.6x-0.36=0，然后從“元”與“次”的角度定義方程。到目前為止，解決這個(gè)問(wèn)題的主要過(guò)程已經(jīng)完成，剩下的就是解這個(gè)方程。從構(gòu)造模型的角度來(lái)看，方程的推導(dǎo)并不意味著模型已經(jīng)建立。在這里，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生重新思考：我們是如何找到解決問(wèn)題的方法的？這個(gè)問(wèn)題有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)模型意識(shí)。因?yàn)樵诜此嫉倪^(guò)程中，學(xué)生將關(guān)注兩個(gè)方面：第一，學(xué)生會(huì)說(shuō)是方程起到了關(guān)鍵的作用，那為什么問(wèn)題中的比例關(guān)系變成了一個(gè)方程？為什么有些學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)到這點(diǎn)？因此，一些學(xué)生又會(huì)提出畫(huà)圖也是一個(gè)重要的環(huán)節(jié)，即用一個(gè)線段和相應(yīng)的點(diǎn)來(lái)表達(dá)雕塑的要求及其比例。

因此，本課數(shù)學(xué)模型意識(shí)的培養(yǎng)有兩個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是實(shí)際雕塑用一條垂直線段表示;二是比例關(guān)系演化為一元二次方程。前者是對(duì)實(shí)物的抽象，后者是抽象后得到的數(shù)量關(guān)系。在這一環(huán)節(jié)中，只要學(xué)生認(rèn)識(shí)到這兩點(diǎn)，特別是由于方程的存在，就有可能解決這個(gè)問(wèn)題。這是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵，自然也是培養(yǎng)抽象能力的關(guān)鍵。

二、數(shù)據(jù)分析，問(wèn)題解決的能力保障

許多學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)分析有誤解，他們認(rèn)為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵在于針對(duì)問(wèn)題列式求解，數(shù)據(jù)分析只是一個(gè)低級(jí)的數(shù)據(jù)處理過(guò)程。事實(shí)上，在當(dāng)今數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的背景下，數(shù)據(jù)分析是學(xué)生用不同的方法提取信息和數(shù)據(jù)、辨別信息和數(shù)據(jù)、利用信息和數(shù)據(jù)，然后思考其與解決實(shí)際問(wèn)題的相關(guān)性的一個(gè)重要過(guò)程。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)據(jù)分析主要是在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程中。利用二次函數(shù)求最大利潤(rùn)的問(wèn)題往往是基于實(shí)際生活，學(xué)生對(duì)生活比較熟悉，也可以更直接地運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來(lái)求解。例如，一個(gè)購(gòu)物中心最初的商品價(jià)格是每件60元，每月可以賣出300件，如果價(jià)格上漲1元，銷量減少10件，價(jià)格下跌1元，銷量每月增加20件。已知這一商品的進(jìn)貨價(jià)格是40元，那么如何確定價(jià)格以保證月利潤(rùn)最大化呢？

很明顯，解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵在于售價(jià)與數(shù)量這兩者關(guān)系的把握。而這涉及到一個(gè)采購(gòu)價(jià)格、三種售價(jià)、三個(gè)相應(yīng)的銷售量和相應(yīng)的利潤(rùn)，這樣的數(shù)據(jù)關(guān)系不容易掌握，怎么辦？我們可以使用上面提到的模型思想，使用表格來(lái)表示特定的關(guān)系。教師可以從數(shù)量的角度確定表中的行與列的要素：“行”由售價(jià)、單件利潤(rùn)、銷售量和利潤(rùn)總額組成，“列”由原價(jià)和調(diào)整后的價(jià)格組成。這是一個(gè)學(xué)生從研究問(wèn)題中數(shù)據(jù)到找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系的過(guò)程。具體來(lái)說(shuō)，從原價(jià)60到調(diào)整價(jià)60+x，從原利潤(rùn)20到調(diào)整利潤(rùn)20+x，從原銷量300到調(diào)整銷量300-10x，再?gòu)脑麧?rùn)總額20×300到調(diào)整價(jià)利潤(rùn)總額（20+x）（300-10x）。至止，基于數(shù)據(jù)分析的利潤(rùn)總額表達(dá)式已經(jīng)出現(xiàn)了。

在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維實(shí)際上經(jīng)歷了從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的過(guò)程。他們從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的原因是數(shù)據(jù)分析。提取銷售價(jià)格、單件利潤(rùn)、銷售量和總利潤(rùn)的過(guò)程就是學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的過(guò)程。

三、數(shù)學(xué)運(yùn)算，問(wèn)題解決能力的體現(xiàn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是利用數(shù)學(xué)規(guī)則和運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行運(yùn)算的過(guò)程，理解運(yùn)算過(guò)程中的算理，進(jìn)而尋求更簡(jiǎn)潔、更科學(xué)的運(yùn)算方法。初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)優(yōu)良傳統(tǒng)是在運(yùn)算過(guò)程中追求最優(yōu)化的運(yùn)算技能。從問(wèn)題解決的角度來(lái)看，這有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)直覺(jué)，這是核心素養(yǎng)所強(qiáng)調(diào)的“關(guān)鍵能力”的重要組成部分。

例如，在一元二次方程求解時(shí)，學(xué)生是否能快速感覺(jué)到x2-4x+4=0是一個(gè)完全平方式，而x2+4x-4=0不是一個(gè)完全平方式;學(xué)生是否能快速感知到x2+5x+6=0可以轉(zhuǎn)換成（x+2）（x+3）=0。實(shí)際上，這是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)則水平的反映，也是數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的反映。在實(shí)踐教學(xué)中，我們經(jīng)?？吹綄W(xué)生在這些問(wèn)題上犯錯(cuò)誤。在訂正時(shí)，我們通常從理解和運(yùn)用規(guī)則的角度讓學(xué)生進(jìn)行重復(fù)練習(xí)。這種訓(xùn)練的優(yōu)點(diǎn)是可以促進(jìn)學(xué)生思維能力的提高，幫助學(xué)生將邏輯思維轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇X(jué)思維。從這個(gè)角度看，數(shù)學(xué)運(yùn)算體現(xiàn)了解決問(wèn)題的能力。

總之，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，以問(wèn)題解決為基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，不但可以為學(xué)生提供一條數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主線，而且可以有效地提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，對(duì)一線教師具有一定的借鑒意義。