觀念引領(lǐng)，視角多維，巧解三角形

謝俊宇

[摘 ?要] 2018年全國(guó)1卷第17題解三角形試題，題目簡(jiǎn)潔頗具親和力，但解答視角多樣，平凡中不失對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查. 由此也引發(fā)了高中解三角形的常見(jiàn)處理策略的思考. 文章從解三角形常見(jiàn)問(wèn)題（邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、角度、面積、最值）出發(fā)，通過(guò)實(shí)例闡述正弦定理、余弦定理、幾何法（構(gòu)造直角三角形）及坐標(biāo)法，試圖多角度反思，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈動(dòng)性，最后提出核心素養(yǎng)背景下解三角形教學(xué)的幾點(diǎn)思考.

[關(guān)鍵詞] 解三角形;正弦定理;余弦定理;構(gòu)造直角

解三角形問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，更是全國(guó)卷高考試題中不可或缺的命題考查點(diǎn)，通常都是借助正弦定理或余弦定理處理問(wèn)題. 正弦定理、余弦定理如何運(yùn)用？對(duì)于非直角三角形通過(guò)恰如其分地作垂線可以構(gòu)造出直角三角形，可以將解三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形問(wèn)題處理. 如何構(gòu)造直角，巧妙在哪里？解三角形的常見(jiàn)策略又有哪些？筆者通過(guò)具體實(shí)例進(jìn)行闡述.

邊長(zhǎng)及周長(zhǎng)問(wèn)題

例1：（2018屆廣東二模理科數(shù)學(xué)第17題節(jié)選（1））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知B=60°，c=8. 若點(diǎn)M，N是線段BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BM= BC， =2 ，求AM的值.

解析：如圖1，設(shè)BM=x，則MN=x，AN=2 x，在△ABN中由余弦定理可得cos60°= = ，化簡(jiǎn)整理可得x2+2x-8=0，故x=2，故BN=4，AN=4 ，所以BN2+AN2=AB2，因此∠ANB=90°，AM= =2 .

點(diǎn)評(píng)：三邊關(guān)系已知，通常采用余弦定理處理，但關(guān)注到勾股定理會(huì)讓運(yùn)算更簡(jiǎn)潔.

例2：（2017全國(guó)1卷理17）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 .

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng).

解析：（1）由題意可得S△ABC= acsinB= ，即 csinB= ，由正弦定理可知a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，故 sinCsinB= ，所以sinBsinC= .

（2）因?yàn)閟inBsinC= ，cosBcosC= ，所以cosBcosC-sinBsinC=- ，于是cos（B+C）=- . 又△ABC中π-A=B+C，故cos（π-A）=cos（B+C）=-cosA，所以cosA= . 因?yàn)锳∈（0，π），所以A= . 由余弦定理可得cosA= = ，即b2+c2-bc=9. 又S△ABC= bcsinA= ，所以bc=8，于是（b+c）2-3bc=9，所以b+c= ，故△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=3+ .

點(diǎn)評(píng)：本題靈活考查三角形面積公式和兩角和的余弦公式，尤其是第2問(wèn)給出的已知需要及時(shí)聯(lián)想到余弦公式才能破解. 從這里，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)死記硬背公式是不行的，公式需要理解，更要靈活運(yùn)用，但百變不離公式本質(zhì).

三角形的面積問(wèn)題

例3：（2018屆佛山二模理科數(shù)學(xué)第17題（1））如圖2，平面四邊形ABCD中，∠ABC= ，AB⊥AD，AB=1.若AC= ，求△ABC的面積.

解析：方法1：借助已知角，余弦定理求邊長(zhǎng).

設(shè)BC=x（x>0），在△ABC中由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC，即x2+ x-4=0，解得x= 或x=-2 （舍去），所以△ABC的面積為S△ABC= AB·BC·sin∠ABC= ×1× × = .

方法2：利用三角形兩邊，正弦定理求夾角.

設(shè)∠ACB=θ，在△ABC中由正弦定理可得 = ，即 = ，所以sinθ= . 又θ∈0， ，所以cosθ= ，在△ABC中，sin∠BAC=sin（∠ABC+θ）=sin +θ= ·（cosθ-sinθ）= ，因此S△ABC= AB·AC·sin∠BAC= ×1× × = .

方法3：作垂線，構(gòu)造直角三角形.

如圖3，過(guò)點(diǎn)C作AB延長(zhǎng)線的垂線，垂足為E，假設(shè)BE=x（x>0），由題意∠ABC= ，則∠CBE= . 在Rt△BEC中，EC=BE=x. 在Rt△AEC中，∠AEC= ，AE=1+x，EC=x，AC= ，根據(jù)勾股定理可得（1+x）2+x2=5，解得x=1，x=-2（舍去），因此x=1，S△ABC= AB·EC= ×1×1= .

例4：（2017年全國(guó)3卷理科數(shù)學(xué)第17題節(jié)選（2））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c. 已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2. 設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

解析：方法1：借助已知角，余弦定理求邊長(zhǎng).

在△ABC中，由sinA+ cosA=0得cosA=- ，A= . 由余弦定理可得cosA= =- ，解得c=4. 由余弦定理可得cosC= = = . 又AD⊥AC，所以在Rt△ACD中， = = ，所以CD= ，AD= = ，故S△ABD= AB·ADsin∠BAD= ×4× ×sin = .

方法2：作垂線，構(gòu)造直角三角形.

如圖4，過(guò)點(diǎn)B作CA延長(zhǎng)線的垂線，垂足為E，由方法1知A= ，所以∠BAE= ，∠ABE= . 在Rt△ABE中，AE=AB·sin =2，BE=2 . 又AD⊥AC，故△ACD～△ECB， = = ，故AD= ，S△ABD= AB·ADsin∠BAD= .

方法3：關(guān)注幾何關(guān)系，巧妙轉(zhuǎn)化.

因?yàn)镾△ABD= AB·ADsin ，S△ACD= AC·AD，所以 = ，即 = =1，所以S△ABD=S△ACD= S△ABC. 又S△ABC= AC·AB·sin =2 ，因此S△ABD= .

點(diǎn)評(píng)：常見(jiàn)的三角形面積公式有S△= ah= absinC，抓住計(jì)算公式中的基本量方能求解. 學(xué)生在解題中潛意識(shí)地默認(rèn)使用高中面積公式S△= absinC，然后專心挖掘正弦定理或者余弦定理（如上述兩個(gè)例題方法1和方法2），而對(duì)于初中常用的面積公式S△= ah有所忽視. 通過(guò)上述兩個(gè)例題的多種解法不難發(fā)現(xiàn)善于作垂線，將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形處理這一思路可以簡(jiǎn)化計(jì)算流程，更呈現(xiàn)思維的靈動(dòng). 特別地，例題4方法3充分利用幾何關(guān)系，巧妙轉(zhuǎn)化也是解三角形的一種新穎思路.

三角形的角度問(wèn)題

例5：（2018屆佛山二模理科數(shù)學(xué)第17題）平面四邊形ABCD中，∠ABC= ，AB⊥AD，AB=1. 若∠ADC= ，CD=4，求sin∠CAD.

解析：方法1：正弦定理，利用方程組思想.

設(shè)∠CAD=α，則∠ACD= -α，∠ACB=α- ，在△ABC中，由正弦定理可得 = ，即 = （1）;在△ACD中，由正弦定理可得 = ，即 = （2）.由（2）÷（1）式可得 = ，化簡(jiǎn)整理可得sinα=2cosα，又α∈0， ，sin2α+cos2α=1，解得sin2α= . 因?yàn)閟inα>0，所以sinα= .

方法2：作垂線，構(gòu)造直角三角形.

如圖5，過(guò)點(diǎn)C作AB延長(zhǎng)線的垂線，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作直線AD的垂線，垂足為F. 假設(shè)BE=x（x>0），由題意∠ABC= ，則∠CBE= . 在Rt△BEC中，EC=BE=x.在Rt△AEC中，∠AEC= ，AE=1+x，EC=x，AC= ，根據(jù)勾股定理可得（1+x）2+x2=5，解得x=1，x=-2（舍去），因此x=1. 又四邊形AECF為矩形，所以AF=CE=1.在Rt△DCF中，∠ADC= ，CD=4，故CF=2.在Rt△ACF中由勾股定理可得AC= = = ，所以sinα= = .

點(diǎn)評(píng)：正弦定理或者余弦定理是解決角度問(wèn)題的首選，而充分借助圖形中的已知角（邊）作垂線，構(gòu)造直角三角形也不失為一種訓(xùn)練思維，培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)的方式.

三角形中的最值問(wèn)題

例6：（2014全國(guó)1卷理16）已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_______.

解析：方法1：余弦定理，將面積轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)，用重要不等式求最值.

依題意，根據(jù)正弦定理可得（2+b）·（a-b）=（c-b）c，即b2+c2-a2=bc. 由余弦定理可得cosA= = ，又A∈（0，π），所以A= ，于是S△ABC= bc·sinA= bc. 又b2+c2=bc+4≥2bc（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立），所以bc≤4，S△ABC= bc≤ ，此時(shí)a=b=c=2，△ABC面積的最大值為 .

方法2：正弦定理，將面積轉(zhuǎn)化為角，根據(jù)三角函數(shù)有界性求最值.

根據(jù)方法1可知A= ，由正弦定理可得 = = = ，因此b= sinB，c= sinC，S△ABC= bc·sinA= sinBsinC. 又B+C= ，故0

例7：（2018年福建省質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)第16題）在平面四邊形ABCD中，AB=1，AC= ，BD⊥BC，BD=2BC，則AD的最小值為_(kāi)_______.

解析：方法1：正弦定理和余弦定理，將邊化為角，利用三角函數(shù)有界性求最值.

如圖6，設(shè)∠BAC=θ，∠ABD=α，則∠ABC=α+ . 在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC，

即BC2=6-2 cosθ;由正弦定理可得 = ，即 = ，所以BCcosα= sinθ. 在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosα，又BD2=4BC2=24-8 cosθ，且BD·cosα=2BCcosα=2 sinθ，因此AD2=25-8 cosθ-4 sinθ=25-20sin（θ+φ0），其中cosφ0= ，sinφ0= ，所以當(dāng)sin（θ+φ0）=1時(shí)，即sinθ= ，cosθ= 時(shí)，AD2取得最小值5，因此AD的最小值為 .

方法2：建立平面直角坐標(biāo)系，代數(shù)化處理.

如圖7，以B為原點(diǎn)，以 為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則A（-1，0），又CA= ，故可設(shè)C（ cosθ-1， sinθ），BC=r，則C（rcosθ，rsinθ）. 因BD⊥BC，BD=2BC，所以D2rcosθ+ ，2rsinθ+ ，即D（-2rsinθ，2rcosθ），于是xD=-2yC，yD=2xC，所以xD=-2 sinθ，yD=2 cosθ-2，因此AD2=（-2 sinθ+1）2+（2 cosθ-2）2=25-20sin（θ+φ0），其中cosφ0= ，sinφ0= ，所以當(dāng)sin（θ+φ0）=1時(shí)，即sinθ= ，cosθ= 時(shí)，故點(diǎn)C（1，1），D（-2，2），AD的最小值為 .

點(diǎn)評(píng)：上述兩個(gè)例題的解法表明，解三角形中的取值范圍問(wèn)題，首先需要通過(guò)正弦定理或者余弦定理將所求量（邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積等）表示成為某個(gè)角的三角函數(shù)或者某邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后借助三角函數(shù)的有界性或者不等式、導(dǎo)數(shù)進(jìn)行范圍求解.

教學(xué)啟示

1. 觀念引領(lǐng)，善于作垂線，構(gòu)造直角三角形，巧妙處理三角形問(wèn)題. 解三角形問(wèn)題在高中數(shù)學(xué)階段通常習(xí)慣于運(yùn)用正弦定理或者余弦定理作為處理問(wèn)題的工具，忽視了構(gòu)造直角三角形的作用.通過(guò)文中的闡述不難發(fā)現(xiàn)，作垂線構(gòu)造直角三角形有著簡(jiǎn)化計(jì)算的效果，給人一種“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的感覺(jué). 因此，在解三角形時(shí)需要特別關(guān)注圖形，善于作垂線，構(gòu)造直角三角形，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想.

2. 視角多維，多角度反思，讓學(xué)生思維真正實(shí)現(xiàn)靈動(dòng). 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題需要一定的解題經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)從何而來(lái)？這就需要平時(shí)解題中的逐漸反思和多角度思考問(wèn)題. 反思可以優(yōu)化解題思路，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，同時(shí)也需要勤于動(dòng)腦經(jīng)和舍得花時(shí)間訓(xùn)練. 如文中所述例題解答方法多樣，但過(guò)程的繁簡(jiǎn)卻又差別不一，有的解法確實(shí)是讓人感受到思維的靈動(dòng)感.思維的靈動(dòng)不可強(qiáng)求，但可以通過(guò)不斷多解反思逐漸積累.

3. 掌握通性通法，培養(yǎng)幾何直觀想象、數(shù)學(xué)建模及運(yùn)算素養(yǎng). 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答途徑可能多種多樣，可有時(shí)卻因選擇太多而不知路在何方. 因此，在培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力的時(shí)候更應(yīng)該關(guān)注題目涉及的數(shù)學(xué)模型以及解決該模型的通性通法. 正弦定理和余弦定理是高中解三角形的常見(jiàn)工具，構(gòu)造直角三角形可以為解三角形增添活力，不應(yīng)刻意追求. 當(dāng)然，無(wú)論選擇哪種途徑，數(shù)學(xué)最后都在運(yùn)算中得到落實(shí)，因此必須加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)和提升.

4. 思考有深度，才可以使得分析問(wèn)題有著明確的思路，不同于死搬硬套. 觀察表象，思考本質(zhì)，“多考一點(diǎn)想法，少考一點(diǎn)算數(shù)”，正是核心素養(yǎng)導(dǎo)向的命題特色. 我們知道，思考的深度很大程度上取決于思維的習(xí)慣、觀念的引領(lǐng)，所以教學(xué)中要加強(qiáng)概念的理解，重視體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成的過(guò)程，組織學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng)、實(shí)踐操作和動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，鼓勵(lì)學(xué)生多視角思考，發(fā)揮學(xué)生自身的主觀能動(dòng)性，自己能通過(guò)思考、分析、展示、實(shí)踐、構(gòu)建、創(chuàng)造等方式，從而體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感和幸福感.

成熟的方法思路固然重要，但是讓學(xué)生能有所思考，能將實(shí)際問(wèn)題和所學(xué)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，這種觀察聯(lián)想的能力也是我們急需的東西，不能因?yàn)榻鉀Q過(guò)程煩瑣或者沒(méi)有將問(wèn)題解決而就去否定它，而是看到它長(zhǎng)遠(yuǎn)的作用：觀念的引領(lǐng)和深度的思考能讓他們對(duì)問(wèn)題有自己的認(rèn)識(shí)，觀察聯(lián)想和多視角分析的思維習(xí)慣能讓他們變得更加睿智. 在核心素養(yǎng)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)該用觀念引領(lǐng)，多視角思維，注重學(xué)生活動(dòng)，讓素養(yǎng)在實(shí)踐中開(kāi)花結(jié)果.