導數(shù)及應用
2019-10-23 02:30:44張躍驁
數(shù)學教學通訊·高中版 2019年9期
張躍驁
[摘 ?要] 導函數(shù)問題多出現(xiàn)于高考壓軸題位置，用導數(shù)證明指數(shù)型、對數(shù)型不等式問題是常見考查形式. 本節(jié)課設計意圖，一是通過構造函數(shù)，把不等式證明問題轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性求最值;二是從看似平常的導數(shù)問題中發(fā)現(xiàn)、提煉不等式，或對不等式進行等價變形，用以解決難度更大的不等式問題;三是數(shù)學問題情境化、形象化、模型化，得出方天畫戟這一數(shù)學兵器，方便學生將此類問題永記于心.
[關鍵詞] 指數(shù)型不等式;對數(shù)型不等式;數(shù)學兵器方天畫戟
引言
數(shù)學教學在課堂中一個首要任務就是教會學生怎樣思考問題，怎樣將陌生的問題轉化為熟悉的問題來解答. 學生在考試中面臨的問題就是需要獨立思考和獨立求解，著名的數(shù)學家、莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾說：“解題就是把題目轉化為已經解過的題.”如何培養(yǎng)學生這樣的能力呢？作為教學組織者，我們要善于營造數(shù)學問題情境，讓學生將一類問題永記于心，看到類似問題，眼前立馬浮現(xiàn)當時情景，進而將陌生化為熟悉.
教學目標、重難點
1. 教學目標
（1）理解導數(shù)的意義，熟練運用導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值;
（2）應用導數(shù)解決不等式恒成立問題，體會函數(shù)思想、化歸與轉化思想以及數(shù)形結合思想在解題中的應用;
（3）培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生將陌生問題轉化為熟悉問題的良好思維習慣.
2. 教學重點與難點
教學重點：應用導數(shù)解決不等式恒成立問題，體會函數(shù)思想、化歸與轉化思想以及數(shù)形結合思想在解題中的應用.
教學難點：由數(shù)提煉不等關系到形上的方天畫戟;如何將陌生問題
利用化歸與轉化思想將其轉化到熟悉問題上.
教學過程
1. 情境引入，點亮課題
觀看三國演義中的一段小視頻.
問題：該視頻中主要出現(xiàn)的一個驍勇善戰(zhàn)的人物是誰？
學生1：呂布
教師：呂布有三大法寶，大家猜猜都是什么？
學生2：赤兔馬、方天畫戟、貂蟬（學生哈哈大笑）.
教師：言歸正傳，我們今天這節(jié)數(shù)學課要探究的也是數(shù)學界的一種兵器方天畫戟.
設計意圖：在陌生環(huán)境里上課，最怕學生不配合. 通過觀看視頻，吸引學生注意力，激發(fā)學生參與課堂的興趣，達到師生順暢交流的目的.
2. 導學回顧，提煉方法
教師：前面導數(shù)及應用中我們學了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值.以導學回顧第二題為例，我們來看一下該同學的做法. （PPT投影展示學生的解題過程）
教師：這位同學解題過程非常規(guī)范，我們要向他學習. 通過該同學的解題過程，我們總結一下利用導數(shù)研究函數(shù)單調性、極值、最值的步驟是什么？
學生3：①定義域優(yōu)先;②求導函數(shù);③令f′（x）=0，求根;④列表;⑤下結論.
設計意圖：本節(jié)課證明不等式方法之一就是通過構造函數(shù)，把不等式證明問題轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性求最值，所以以小題熱身為例，總結這種方法的步驟，進而規(guī)范學生解題過程，為下面證明不等式問題提供了一個方法.
3. 合作探究，實例驗證
師生共同研究下列問題.
例1：已知函數(shù)f（x）=ex-1-x，討論函數(shù)的單調性，并求其最值.
教師：請同學們和老師一起規(guī)范地將解題過程板書出來. （學生齊聲回答，教師板書）
因為f（x）=ex-1-x，x∈R，所以f′（x）=ex-1，令f′（x）=0，得x=0.
列表，得
所以當x=0時，y=f（x）有極小值也為最小值，所以f（x）最小值為f（0）=0，無最大值.
教師：如果將例1變成證明ex≥x+1對于任意x∈R恒成立，如何證明？
學生4：將不等式右邊移到左邊，構造函數(shù)f（x）=ex-1-x，求f（x）的最小值.
教師：很好！將該不等式轉化為我們剛剛求過的函數(shù)的最值問題，即可得證ex≥x+1恒成立，當且僅當x=0時，取等號. 那么從代數(shù)角度上我們證得了ex≥x+1，能否從圖像角度來刻畫一下該不等式反映的位置關系呢？
學生5：在教師準備好的坐標紙上，畫出函數(shù)y=ex和函數(shù)y=x+1的圖像，通過觀察得到y(tǒng)=ex的圖像在y=x+1圖像的上方，并且它們在x=0處有且只有一個交點.
教師：你能說出該不等式的幾何意義嗎？
學生6：不等式的幾何意義為：y=x+1為y=ex在x=0處的切線.
教師：太棒了，那我們再看一下導學案上導學回顧第一小題，大家通過代數(shù)計算求得的y=ex在x=0處的切線也正是y=x+1.
設計意圖：由數(shù)到形，明確了ex與x+1大小關系，和在直角坐標系中的位置關系，并得到了該不等式所代表的幾何意義，為我們解決下面的問題做了指導性的鋪墊.
教師：我們繼續(xù)來看這幾個問題.
①思考：y=ex關于y=x對稱的函數(shù)是誰？請你畫在直角坐標系中.
②類比猜想：y=ex在（0，1）處的切線方程是y=x+1，你能得到相對應的y=lnx的切線嗎？
③驗證：lnx≤x-1恒成立嗎？請你證明.
學生活動：
1. 獨立解決問題①②并將所需圖像畫在直角坐標系中.
2. 對于問題③小組討論，合作交流，得到證明不等式lnx≤x-1恒成立的方法，并將證明過程規(guī)范地書寫在練習紙上. （給六分鐘時間完成）
教師：同學們，你們討論出來證明lnx≤x-1恒成立的方法了嗎？
學生7：構造函數(shù)求最值
教師：很好，能夠學以致用，請把你的解題過程通過投影給大家展示一下.（學生邊投影邊講解）
教師：點評該同學解法，構造函數(shù)求最值法，并指出問題（或提出表揚），那同學們還有其他證明方法嗎？
教師提示：如果讓你來解這個對數(shù)不等式，你會將式子兩邊怎么處理呢？比如解log2x≤3，求x的取值范圍，你怎么解？
學生8：將lnx≤x-1右邊轉化為lnx≤lnex-1，即可得到x≤ex-1，將x-1替換為x. 即x+1≤ex，恒成立.
教師：這里的替換可否從形的角度看成一種平移呢？
學生9：x≤ex-1可以看成x+1≤ex向右平移一個單位而得到的.
教師：非常棒，能夠由數(shù)聯(lián)想到形，做到數(shù)形結合.
學生10：將不等式lnx≤x-1兩邊轉化為elnx≤ex-1，即x≤ex-1，將x-1替換為x，即x+1≤ex恒成立.
學生11：將不等式lnx≤x-1中的x替換成ex，得lnex≤ex-1，即x+1≤ex恒成立.
教師：同學們真的是太棒了，不愧是徐州一中的學霸. 后面三位同學的解法都是將要證明的不等式進行等價變形，變到了我們剛剛證明過的一個結論，進而得證原不等式恒成立. 這種等價變形回歸結論法也是我們在證明不等式問題中經常用到的一種方法，用的就是化歸與轉化的數(shù)學思想，將陌生問題轉化為熟悉問題，進而解決陌生問題.
教師：我們剛剛經歷了類比、猜想、證明，得到了一個非常完美的軸對稱圖形，幾何畫板展示一下，這個圖形神似呂布的方天畫戟，所以它也是我們數(shù)學界的一大法寶.
教師：那么通過以上的探究過程，我們來回顧一下幾個問題：
1. 你知道了哪些不等式恒成立了？
2. 證明它們成立的方法有哪些？滲透了哪些數(shù)學思想？
3. 你心中的方天畫戟長什么樣？它的幾何意義是什么？
教師活動：對于問題1，教師利用幾何畫板工具將圖像在直角坐標系中上下左右平移，讓學生通過圖像直觀感受，還能得到其他一連串的不等式都是恒成立的，達到舉一反三的效果.
對于問題2、3，由學生配合，教師板書解題方法、數(shù)學思想，達到實時反思、總結的目的.
設計意圖：通過這一大環(huán)節(jié)的探究，讓學生經歷由數(shù)到形，由類比猜想到證明，由陌生到熟悉的化歸與轉化等過程，進而達到滲透數(shù)學思想，提煉數(shù)學解題方法，培養(yǎng)學生思維能力等目的.
教師：我們坐標紙上每人都有了方天畫戟這一兵器，黑板上也有使用它的相應兵法套路，那么手持方天畫戟可以斬殺哪些數(shù)學題型呢？聽老師給你們細細道來. （播放教師吉他彈唱視頻）歌詞改編如下：讓我再看你一遍，從頭到尾，像是指與對數(shù)型的不等式，眼前立馬浮現(xiàn)出方天畫戟，拿去用吧，它在等你呢！
教師：初次見面，方天畫戟是我送給你們的一個小禮物，還等什么呢？我們快來拿它斬殺一下高考題吧！
4. 學以致用，揭示本質
例2：2016全國卷3文科21題（改編）
設函數(shù)f（x）=lnx-x+1，
（1）討論y=f（x）的單調性;
（2）證明：當x∈（1，+∞） 時，1< 教師：第1小問我們剛剛已經解決過了，我們一起來說出它的單調性. 學生12：f（x）單調增區(qū)間為（0，1），單調減區(qū)間為（1，+∞） 教師：思考第2問，你將如何證明這個不等式？ 學生活動：先獨立思考，再小組合作、交流探究. 教師：同學們交流得怎么樣？得到了證明不等式成立的方法了嗎？哪位同學來說一下？ 學生13：構造函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x>1，求其最值. 由（1）問可知x∈（1，+∞），f（x）單調遞減，所以f（x） 再構造函數(shù)g（x）=xlnx-x+1，x>1，求其最值. 因為g（x）=xlnx-x+1，x>1，所以g′（x）=lnx>0，所以g（x）在（1，+∞）上單調遞增，所以g（x）>g（1）=0，即xlnx-x+1>0，x-1 教師：該同學的方法為構造函數(shù)求最值，目標明確，思路清晰，值得表揚，同學們還有不同的方法嗎？ 學生14：證明當x∈（1，+∞） 時，1< 教師：該同學的做法為等價變形，回歸結論，將陌生的不等式轉化為熟悉的方天畫戟上來，凸顯了較高的思維能力，值得學習，非常棒. 通過例2我們反思一下，高考的考向往往都是上一問為下一問做鋪墊，考查的是同學們對問題化歸與轉化的能力，平時解題中要強加練習. 設計意圖：夯實利用導數(shù)解決不等式證明的方法，一是構造函數(shù)求最值法，二是等價變形結論法，意在培養(yǎng)學生化歸與轉化思想，充分利用方天畫戟的結論來解題，多種思路，多種方向. 5. 課堂小結，完善提升 （1）本節(jié)課你學到了哪些數(shù)學知識？ （2）感悟了哪些重要的數(shù)學思想？ （3）積累了哪些基本結論？ 6. 自我認知，當堂檢測 （1）若直線y=x+a與曲線y=ln（x-1）相切，則a的值為_________. （2） 證明不等式 ≥e在（0，+∞）恒成立. 設計意圖：通過課堂小結及當堂檢測的幾個問題，讓學生來自我認知，具體學到了什么，還欠缺什么. 7. 分層作業(yè)，加深升華 必做題：教材34頁2、3、4. 選做題： 教材34頁2題改編 確定函數(shù)y=xlnx的單調區(qū)間，求其最值并畫出它的圖像. 結束語 在培養(yǎng)學生思維能力的過程中，教師要認識到“數(shù)學問題是核心”，教師要科學設計問題，層層遞進，讓學生有所思有所答，并引導學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題.在培養(yǎng)學生解題能力的過程中，教師要善于引導學生總結題型及方法，培養(yǎng)學生分析問題的能力，將陌生問題熟悉化，進而解決問題. 長此以往，提高學生的思維能力、解題能力、終身學習能力就不是一句空話了.
