多面體的外接球問題的若干解法

廖永福

(福建省廈門第二中學(xué) 361009)

近年來，多面體外接球問題一直是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).為了幫助他們突破這一難點(diǎn)，本文試圖以高考題為例，從知識和方法兩個(gè)層面進(jìn)行歸納總結(jié)，給出多面體外接球問題的一般解法，切實(shí)提高學(xué)生的解題能力.

一、定義法

空間中，到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做球面.這個(gè)定點(diǎn)叫做球心，定長叫做球的半徑.

如果一個(gè)多面體的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么這個(gè)球叫做多面體的外接球，這個(gè)多面體叫做球的內(nèi)接多面體.不難知道，一個(gè)多面體至多有一個(gè)外接球，到多面體所有頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)就是球心.

解答多面體外接球問題的關(guān)鍵是確定球心，利用上述結(jié)論確定球心，進(jìn)而解決問題的方法叫做定義法.常用的結(jié)論有：長方體或正方體的外接球的球心是體對角線的中點(diǎn)．

例1(2017?全國卷Ⅱ)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為____.

分析因?yàn)殚L方體的體對角線的交點(diǎn)到八個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以長方體的對角線即為球的直徑.求出長方體對角線的長，就知道球的半徑，進(jìn)而求得球的表面積．

點(diǎn)評本題考查長方體的外接球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．解答此類問題常用：長方體或正方體的外接球的球心是體對角線的中點(diǎn)．

分析說明△CDB和△CDA都是以CD為斜邊的直角三角形，則CD是球的直徑，球心O為CD的中點(diǎn).求出CD，即可求出球的體積．

由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，

又AB∩AD=A，所以BC⊥面ABD，所以BC⊥BD.

點(diǎn)評本題考查球的內(nèi)接多面體，考查分析問題解決問題的能力．解題關(guān)鍵是找出球心.

例3(2017?全國卷Ⅰ)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為____．

分析根據(jù)已知條件判斷三棱錐的形狀，利用幾何體的體積，求出球的半徑，再求球的表面積．

解答三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑，SA=AC，SB=BC,可知OA⊥SC，OB⊥SC，所以SC⊥平面OAB，且∠AOB是二面角A-SC-B的平面角.

又因?yàn)槠矫鍿CA⊥平面SCB，所以O(shè)A⊥OB.

點(diǎn)評本題考查球的內(nèi)接多面體，三棱錐的體積以及球的表面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．解答此類問題常用：球心到球面上各點(diǎn)的距離都相等．

二、性質(zhì)法

球有如下性質(zhì):

1.用一個(gè)平面去截球，經(jīng)過球心和截面小圓圓心的直線垂直于截面.

2.經(jīng)過截面小圓圓心且垂直于截面的直線必過球心.

利用上述性質(zhì)確定球心，進(jìn)而解決問題的方法叫做性質(zhì)法.

常用的結(jié)論有：

1.直棱柱的外接球的球心是上下底面多邊形外心連線的中點(diǎn).

2.正棱錐的外接球的球心必在其高線上，具體位置可通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計(jì)算得到.

例4(2014?全國卷)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為( ).

分析正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，OA=OP. 在Rt△OO1A中，根據(jù)勾股定理求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．

點(diǎn)評本題考查球的表面積，球的內(nèi)接幾何體問題，考查計(jì)算能力．解答此類問題常用：正棱錐的外接球的球心在其高線上，具體位置可通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計(jì)算得到.

點(diǎn)評本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．解答此類問題常用：經(jīng)過球心和截面小圓圓心的直線垂直于截面.

三、補(bǔ)體法

長方體或正方體的外接球球心是其體對角線的中點(diǎn).把幾何體補(bǔ)成與之有共同外接球的長方體或正方體，進(jìn)而解決問題的方法叫做補(bǔ)體法。常用的結(jié)論有：

1.正四面體可補(bǔ)成正方體.

2.三對對棱分別相等的四面體可補(bǔ)成長方體或正方體.

3.三條棱兩兩垂直的四面體可補(bǔ)成長方體或正方體.

4.三個(gè)側(cè)面兩兩垂直的四面體可補(bǔ)成長方體或正方體.

分析若把正四面體補(bǔ)成以其六條棱為面對角線的正方體，則它和原四面體有共同的外接球.易求得正方體的棱長為1.因?yàn)檎襟w的體對角線即為球的直徑，求出球的直徑，即可求出球的表面積．

點(diǎn)評本題考查球的表面積，正四面體的外接球問題，考查計(jì)算能力．解答此類問題常用：正四面體與以正四面體的棱為面對角線的正方體有共同的外接球.

例7(2019?全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

分析由題意畫出圖形，證明三棱錐P-ABC為正三棱錐，且三條側(cè)棱兩兩互相垂直，再由補(bǔ)體法求外接球的體積．

解答如圖，由PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，可知三棱錐P-ABC為正三棱錐，則頂點(diǎn)P在底面的射影O為底面三角形的中心.連接BO并延長交AC于G，則AC⊥BG.

又PO⊥AC，PO∩BG=O，可得AC⊥平面PBG，則PB⊥AC.

∵E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∴EF∥PB，又∠CEF=90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，

∴正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，

點(diǎn)評本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計(jì)算能力，是中檔題．解答此類問題常用：三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體與以這三條側(cè)棱為棱的長方體有共同的外接球.

定義法、性質(zhì)法和補(bǔ)體法是解答多面體外接球問題的常用方法，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件選擇合適的方法，以達(dá)到化難為易、化繁為簡、巧妙求解的目的.

牛刀小試：請你分別用性質(zhì)法和補(bǔ)體法解答例7和例2.