立體幾何中等體積法的運(yùn)用探究

林紹鎵

(廣東省肇慶市百花中學(xué) 526000)

一、命題規(guī)律的探討

等體積法在高考中體現(xiàn)的原則是源于教材，高于教材的特點(diǎn)，在高考中主要考查學(xué)生能換角度看幾何體的高以及熟悉求錐體底面幾何形的面積.針對(duì)全國高考命題的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為有必要在選擇幾何體的底面上下功夫，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)解題的一般規(guī)律性，熟悉立體幾何命題技巧，才能使我們的備考會(huì)有方向性和針對(duì)性.

1.問題溯源，回歸教材，熟悉原理

例1 (人教版教材必修2P28頁習(xí)題1.3A組3題改編)在正方體ABCD-A′B′C′D′中，棱長為a，

(1)求三棱錐A′-AB′D′,A′-AB′C′的體積；

(2)求點(diǎn)A′到平面AB′D′的距離h；

(3)求AA′與面AB′D′所成角θ的正弦值.

二、剖析等體積法難點(diǎn)—貴在理解熟悉模型

縱觀很多資料發(fā)現(xiàn)，對(duì)等體積法的求解分析很多都停留在求解點(diǎn)到平面的距離、錐體體積的求法上，卻沒有在面積、高等細(xì)節(jié)上分析考生做題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，下面將分析等體積法的難點(diǎn)，逐一攻破.

1.熟悉求三角形的面積，學(xué)會(huì)信手拈來

求三棱錐的體積，當(dāng)然免不了求底面三角形的面積，從學(xué)生的測(cè)試反饋結(jié)果看，學(xué)生在求三角形面積時(shí)出現(xiàn)思維障礙，故此，我們應(yīng)該熟悉求底面三角形面積的常用方法，在教學(xué)中教師可以訓(xùn)練學(xué)生具備解三角形面積的方法意識(shí)，下面列舉幾種求三角形面積的方法.

例2根據(jù)圖中線段長度，求以下各三角形的面積：

S1=____S2=____S3=____S△BCO=____

2.熟練應(yīng)用空間垂直關(guān)系，懂得尋找?guī)缀误w的高

求三棱錐的體積第二個(gè)關(guān)鍵問題是要求考生能尋找出幾何體的高，在等體積法求解上，關(guān)鍵字是等體積.誠然在選擇哪個(gè)面做底面來計(jì)算體積，往往看的是哪個(gè)高比較好證明，實(shí)際問題要看題上相關(guān)的已知條件，具體問題具體分析.為了教會(huì)學(xué)生以不變應(yīng)萬變的思想，筆者認(rèn)為考生熟悉以下空間垂直關(guān)系樣例：1)判定定理1：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則該直線與此平面垂直；2)判定定理2：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；3)面面平行的性質(zhì)定理：若兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行；4)面面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

三、突破瓶頸—貴在題型上熟悉，方法上熟練

下面將具體實(shí)例分析等體積法的應(yīng)用，著重分析點(diǎn)到平面的距離、用等體積法求錐體體積法的應(yīng)用，熟悉等體積法的基本題型.

1.求錐體的體積

從上面的討論中我們基本上能夠知道等體積法求錐體體積就是一種轉(zhuǎn)換的思想，即對(duì)所給幾何體進(jìn)行分割或者變換，從而能夠以簡單的方法進(jìn)行求解.看下面的一例：

例4在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分別為AB，AC中點(diǎn)．(1)求證:AB⊥PE；(2)求三棱錐B-PEC的體積．

分析第(2)問求的是三棱錐B-PEC的體積(記VB-PEC),我們或許遇上這樣的困難：倘若選擇以面PAC為底，此時(shí)很難找出以B為頂點(diǎn)，面PAC為底面的高，這時(shí)我們轉(zhuǎn)化角度來看問題，由(1)問得知PD⊥面ABC，顯然就會(huì)有VB-PEC=VP-BEC.以上可以看出借助等體積法這個(gè)神器，恰當(dāng)選擇底面，避開了做輔助線等相對(duì)繁瑣的過程，簡單易操作.

2.求點(diǎn)到平面(或直線到平面)的距離

用等體積法求點(diǎn)到平面的距離主要是一個(gè)轉(zhuǎn)換的思想，即先用簡單的方法求出錐體的體積，然后算出所求高對(duì)應(yīng)面的面積，再根據(jù)體積公式，求得點(diǎn)到平面的距離式h.接下來我們看下面的一例：

例3在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離.

分析題目所求的是點(diǎn)E到面ACD1的距離，首先我們要用簡單的方法求得三棱錐E-ACD1的體積，我們可以從另外一個(gè)角度思考，比如以ACE為底面，以D1D為高很容易就能求得體積，然后算出面ACD1的面積， 最后根據(jù)公式求得點(diǎn)E到面ACD1的距離.從分析我們知道整個(gè)計(jì)算過程都很簡單，關(guān)鍵是如何找出簡單的方法求得體積.

3.求直線與平面所成的角

等體積法也可以求直線與平面所成角的問題，如例1中的(3)問，求線面所成的角，應(yīng)該過點(diǎn)A′作平面AB′D′的垂線，但是能否確定垂足O的位置，實(shí)際上，AA′與平面AB′D′所成的角的正弦值就是A′O與AA′的比值，即關(guān)鍵是求出題中的h=A′O的值.

通過以上的例題分析，我們不難看出等體積法在處理點(diǎn)到面的距離和體積等問題時(shí)非常有效.也告訴我們數(shù)學(xué)的重要思想方法：從側(cè)面迂回地解決一些從正面較難下手的問題.總之，只要同學(xué)們勇于探究，活用等體積法，解決立體幾何體積、點(diǎn)面距等瓶頸問題會(huì)有很大的啟發(fā)與幫助.