導(dǎo)體球殼內(nèi)的電場(chǎng)

廖其力 鄧 婭 余 艷

(重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院，重慶 401520)

圖1 點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球殼(a) 球殼內(nèi)點(diǎn)電荷與像點(diǎn)電荷; (b) 球殼內(nèi)壁上感應(yīng)電荷隨極角的分布; (c) d=0.05m時(shí)的等勢(shì)線; (d) d=0.09m時(shí)的等勢(shì)線

電磁學(xué)理論[1，3]中靜電場(chǎng)的基本規(guī)律是泊松(Poisson)方程(2φ=-ρ/ε)和拉普拉斯(Laplace)方程(2φ=0)，通過(guò)求解該方程和邊界條件來(lái)研究點(diǎn)電荷與特殊形狀的導(dǎo)體(比如無(wú)限大導(dǎo)體平面或者導(dǎo)體球) 相互作用下的電場(chǎng)，也可用格林(Green) 函數(shù)來(lái)研究點(diǎn)電荷作用下特殊形狀導(dǎo)體周圍空間的電場(chǎng)，但這些方法相對(duì)來(lái)說(shuō)較為繁瑣，尤其是求解連續(xù)帶電體下特殊形狀的導(dǎo)體周圍空間的電場(chǎng)，其運(yùn)算量太大無(wú)法給出解析結(jié)果。但用電動(dòng)力學(xué)中[3]的鏡像法來(lái)研究點(diǎn)電荷與無(wú)限大導(dǎo)體平面周圍的電場(chǎng)、點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球外周圍的電場(chǎng)及作用力，就容易很多。文獻(xiàn)[4～7]將鏡像法應(yīng)用于研究在連續(xù)帶電體作用下導(dǎo)體球(或無(wú)限大導(dǎo)體平面)周圍空間的電場(chǎng)，運(yùn)用疊加原理和Mathematica軟件研究了均勻帶電線狀體與無(wú)限大導(dǎo)體平面的電場(chǎng)力及其周圍空間的電場(chǎng)、均勻帶電線狀體與導(dǎo)體球的相互作用力及其導(dǎo)體球外的電勢(shì)以及帶電圓環(huán)與無(wú)限大導(dǎo)體平面和導(dǎo)體球的電磁學(xué)問(wèn)題。鏡像法的原理是：導(dǎo)體球(或無(wú)限大導(dǎo)體平面)外的點(diǎn)電荷在導(dǎo)體球(或無(wú)限大導(dǎo)體平面)表面上產(chǎn)生的異種感應(yīng)電荷在導(dǎo)體球(或無(wú)限大導(dǎo)體平面)外產(chǎn)生的電場(chǎng)，根據(jù)光學(xué)成像原理，等效于該點(diǎn)電荷經(jīng)導(dǎo)體球面(或無(wú)限大導(dǎo)體平面鏡)成像于像點(diǎn)處的異種電荷在導(dǎo)體球(或無(wú)限大導(dǎo)體平面)外產(chǎn)生的電場(chǎng)。本文從鏡像法得到啟示：根據(jù)光學(xué)的可逆性原理可知鏡像法具有可逆性，即導(dǎo)體球殼內(nèi)的點(diǎn)電荷在球殼內(nèi)壁上產(chǎn)生的異種感應(yīng)電荷在導(dǎo)體球殼內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)，也等效于該點(diǎn)電荷經(jīng)球面成像于像點(diǎn)處的異種電荷在導(dǎo)體球殼內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)。運(yùn)用逆鏡像法和靜電平衡條件，用Mathematica軟件，計(jì)算了在導(dǎo)體球殼內(nèi)任一位置處的點(diǎn)電荷作用下，球殼內(nèi)壁上感應(yīng)電荷的分布和殼內(nèi)空間的電場(chǎng)分布，進(jìn)一步計(jì)算了點(diǎn)電荷和球殼內(nèi)壁上感應(yīng)電荷的相互作用的電場(chǎng)力。并繪出在球殼內(nèi)任一位置處的點(diǎn)電荷作用下，殼內(nèi)壁上感應(yīng)電荷隨位置和角度的分布圖像、導(dǎo)體球殼內(nèi)空間的電勢(shì)隨位置的分布，以及點(diǎn)電荷與球殼內(nèi)壁上感應(yīng)電荷的電場(chǎng)力隨位置的變化。再運(yùn)用“逆鏡像法”計(jì)算了球殼內(nèi)沿徑向放置的均勻帶電線狀體作用下，球殼內(nèi)壁上感應(yīng)電荷的分布規(guī)律和球殼內(nèi)的電場(chǎng)，以及它們之間的相互作用力，也給出了相應(yīng)變化的圖像。

1 點(diǎn)電荷作用下導(dǎo)體球殼內(nèi)的電場(chǎng)

如圖1 (a) 所示，設(shè)導(dǎo)體球殼內(nèi)徑為R，外徑為R′(R′>R)，在球殼內(nèi)距球心距離為d(d

電磁學(xué)理論中的鏡像法[3]是指：設(shè)半徑為R的導(dǎo)體球外有一帶電量為q的正點(diǎn)電荷，它到球心的距離為x(x>R)，它的電場(chǎng)會(huì)在導(dǎo)體球面上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，當(dāng)處于靜電平衡時(shí)，這些感應(yīng)負(fù)電荷在導(dǎo)體球外空間(包括導(dǎo)體球表面)產(chǎn)生的作用效果(力學(xué)的、電磁學(xué)的等)等效于該正點(diǎn)電荷經(jīng)導(dǎo)體球面反射成(虛)像于球心與正點(diǎn)電荷的連線上距球心距離為x′=R2/x的負(fù)電荷-q′在球外空間(包括導(dǎo)體球表面)產(chǎn)生的作用效果，其中負(fù)點(diǎn)電荷量為q′=qR/x。根據(jù)光路可逆原理，同樣設(shè)半徑為R的導(dǎo)體球殼內(nèi)的有一帶電量為q的正點(diǎn)電荷，它到球心的距離為d(d

(1)

其中R1、R2分別是P點(diǎn)到A處點(diǎn)電荷和A1處像點(diǎn)電荷的距離。為

(2)

及

(3)

將式(2)、式(3)代入式(1)可得：

(4)

容易驗(yàn)證：球殼內(nèi)點(diǎn)電荷和球殼外像點(diǎn)電荷在球殼上的場(chǎng)強(qiáng)只有徑向分量，其切向分量為零：

上式證明中用到了正弦定理sinα=dsinθ/R1、sin(θ+β)=d1sinθ/R2和d1=R2/d及式(2)。

該處感應(yīng)負(fù)電荷的電荷密度大小σ與此處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E由靜電平衡條件有：

σ=ε0E

(5)

其中，ε0為真空中的介電常數(shù)；E為球殼內(nèi)壁上的所有感應(yīng)負(fù)電荷和球殼內(nèi)點(diǎn)電荷在該處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。則有：

(6)

容易驗(yàn)證球殼內(nèi)壁感應(yīng)負(fù)電荷的電量為q。

(7)

其中S表示對(duì)球殼內(nèi)球面進(jìn)行面積分。

下面研究導(dǎo)體球殼內(nèi)部空間的電場(chǎng)。球殼內(nèi)(包括導(dǎo)體球殼內(nèi)表面)任意一點(diǎn)P1(x,y,z)的電勢(shì)是由球殼內(nèi)點(diǎn)電荷、球殼內(nèi)壁上感應(yīng)負(fù)電荷和球殼外表面上感應(yīng)正電荷的疊加，而球殼內(nèi)壁上感應(yīng)負(fù)電荷在殼內(nèi)產(chǎn)生的作用效果由逆鏡像法可知,它等效于球殼外像點(diǎn)電荷產(chǎn)生的。若取無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則殼內(nèi)任意一點(diǎn)P1(x,y,z)的電勢(shì)為：

(8)

可進(jìn)一步將式(8)化簡(jiǎn)為

(9)

當(dāng)球殼內(nèi)空間的電勢(shì)確定時(shí)，由電勢(shì)與場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系E=-φ就可知道球殼內(nèi)任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)了，即P1(x,y,z)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度在直角坐標(biāo)系中的分量為

(10)

由對(duì)稱性可知，內(nèi)壁上感應(yīng)電荷的分布及殼內(nèi)部電場(chǎng)具有關(guān)于x軸的軸對(duì)稱性，與方位角φ無(wú)關(guān)。為了直觀地顯示在點(diǎn)電荷位于球心不同距離且導(dǎo)體球殼處于靜電平衡時(shí)，畫出了球殼內(nèi)壁上感應(yīng)電荷隨極角分布和殼內(nèi)的不同電值勢(shì)的分布的圖像，在圖1(b)～圖1(d)中球殼半徑取R=0.10m，在圖1(b)是內(nèi)壁上感應(yīng)電荷面密度隨極角θ的分布規(guī)律， 圖像中是直線的表示感應(yīng)電荷面密度不隨極角變化而變化的是d=0，即點(diǎn)電荷位于球心處時(shí)的結(jié)果。圖線從最右邊自上而下分別對(duì)應(yīng)距球心距離d=0m、0.01m、0.03m、0.05m、0.07m、0.09m反映壁上感應(yīng)電荷面密度隨極角的分布。容易看出，點(diǎn)電荷距離球心越遠(yuǎn)，感應(yīng)電荷分布越不均勻，殼內(nèi)壁離點(diǎn)電荷越近，電荷面密度越大，反之，就越小。同樣，球殼內(nèi)的電場(chǎng)(電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì))分布也具有軸對(duì)稱性，故只需研究xOy平面內(nèi)電勢(shì)即可, 在圖1(c)和圖1(d)給出導(dǎo)體球殼接地時(shí)的等勢(shì)線，圖1(c)和圖1(d)分別對(duì)應(yīng)于點(diǎn)電荷距離球心d=0.05m、0.09m的接地球殼內(nèi)等勢(shì)線分布,兩個(gè)圖中的13條等勢(shì)線從外到內(nèi)分別對(duì)應(yīng)的電勢(shì)值為：φ=0、0.2q/(4πε0)、0.4q/(4πε0)、0.6q/(4πε0)、0.8q/(4πε0)、1.0q/(4πε0)、2.0q/(4πε0)、4.0q/(4πε0)、6.0q/(4πε0)、8.0q/(4πε0)、10.0q/(4πε0)、20.0q/(4πε0)、40.0q/(4πε0)。

由于殼外感應(yīng)正電荷在殼內(nèi)產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度為零，故球殼外感應(yīng)正電荷與點(diǎn)電荷無(wú)相互作用的電場(chǎng)力，所以A處點(diǎn)電荷與球殼內(nèi)外壁上感應(yīng)電荷之間的相互作用電場(chǎng)力就等效于A處點(diǎn)電荷與A1處像點(diǎn)電荷之間的作用力，其大小為

(11)

2 沿徑向的均勻帶電線狀體作用下殼內(nèi)的電場(chǎng)

圖2 均勻帶電線狀體與導(dǎo)體球殼(a) 球殼內(nèi)帶電線狀體與像線狀體; (b) d=0m時(shí)的等勢(shì)線; (c) d=0.03m時(shí)的等勢(shì)線; (d) d=0.05m時(shí)的等勢(shì)線

接下來(lái)研究沿徑向放置的均勻帶電線狀體與導(dǎo)體球殼內(nèi)壁上感應(yīng)負(fù)電荷之間相互作用下內(nèi)壁上感應(yīng)負(fù)電荷電荷面密度、殼內(nèi)電勢(shì)和相互作用的電場(chǎng)力。如圖2(a)所示，設(shè)長(zhǎng)為L(zhǎng)，均勻帶電量為q線狀體沿徑向放置，其左端距離球心為d。當(dāng)導(dǎo)體球殼處于靜電平衡時(shí)，在線狀體上任一點(diǎn)A(x1,0,0)(d≤x≤d+L)處取一微元電荷dq， 由逆鏡像法，微元電荷dq經(jīng)球面成像于A1(x2,0,0) 其中x2=R2/x1(R2/(d+L)≤x2≤R2/d)，其像電荷為dq′=-dqR/x1, 則整個(gè)線狀體經(jīng)球面成像于球殼外，仍為線狀體，帶電就不再均勻，遵從dq′=-dqR/x1分布規(guī)律。如該微元電荷在球殼內(nèi)壁上產(chǎn)生等量感應(yīng)負(fù)電荷-dq，其內(nèi)壁上任一點(diǎn)P(Rcosθ,Rsinθcosφ,Rsinθsinφ)電荷分布由式(6)決定。由此整個(gè)均勻帶電線狀體在球殼內(nèi)壁上產(chǎn)生的感應(yīng)負(fù)電荷在P點(diǎn)分布由疊加原理有：

(12)

當(dāng)L→0時(shí)，式(12)將變?yōu)槭?6)。

利用疊加原理，可得在均勻帶電線狀體作用下內(nèi)壁上產(chǎn)生的感應(yīng)負(fù)電荷和帶電線狀體共同產(chǎn)生的電勢(shì)，則殼內(nèi)任意一點(diǎn)P1(x,y,z)的電勢(shì)：

(13)

(14)

下面計(jì)算均勻帶電線體與球殼內(nèi)壁上感應(yīng)電荷相互作用的電場(chǎng)力。根據(jù)逆鏡像法，帶電線體與殼內(nèi)壁上感應(yīng)負(fù)電荷相互作用力等效于均勻帶電線體與像帶電線體之間的作用力，如圖2(a)所示，這就等效于計(jì)算同一直線上兩帶電線體之間的電場(chǎng)力。在均勻帶電線體A(x,0,0)點(diǎn)取一微元電荷dq，它經(jīng)球面成像于A′(x′,0,0) (x′=R2/x)，其像電荷為dq′=-dqR/x。再在殼內(nèi)均勻帶電線體上任一點(diǎn)A1(x1,0,0)取一微元電荷dq1，則這兩個(gè)微元電荷的相互作用力大小為

(15)

對(duì)式(15)的變量x1、x積分可得：

(16)

當(dāng)L→0較小時(shí)，可將上式中的對(duì)數(shù)展開

(17)

將式(17)代入式(16)，當(dāng)L→0時(shí)，上式變?yōu)槭?11)。或直接用Mathematica數(shù)學(xué)軟件中求極限指令對(duì)求極限式(14)也得到相同結(jié)果。

在圖1(b)～圖1(d)中畫出了在接地球殼內(nèi)沿徑向放置的均勻帶電細(xì)棒作用下且導(dǎo)體球殼處于靜電平衡時(shí)殼內(nèi)的不同電勢(shì)值的分布的圖像，圖中球殼半徑仍取R=0.10m，細(xì)棒長(zhǎng)L=0.04m，圖2(b)、圖2(c)和圖2(d)這3個(gè)圖中沿徑向放置的帶電細(xì)棒最近端距球心的距離分別為d=0m、0.03m、0.05m，圖中10條等勢(shì)線從外到內(nèi)分別對(duì)應(yīng)的電勢(shì)值為：φ=0、0.5q/(4πε0)、1.0q/(4πε0)、1.5q/(4πε0)、2.5q/(4πε0)、4.0q/(4πε0)、5.0q/(4πε0)、10.0q/(4πε0)、20.0q/(4πε0)、40.0q/(4πε0)。

3 結(jié)語(yǔ)

本文根據(jù)光學(xué)中光路可逆性原理，將電動(dòng)力學(xué)理論中的鏡像法拓展運(yùn)用，并利用Mathematica數(shù)學(xué)軟件，研究了導(dǎo)體球殼內(nèi)點(diǎn)電荷作用下，球殼內(nèi)壁上感應(yīng)電荷的分布和殼內(nèi)空間的電勢(shì)，并計(jì)算了點(diǎn)電荷與內(nèi)壁上感應(yīng)電荷之間的相互作用力，并繪出感應(yīng)電荷的分布和球殼電勢(shì)的等勢(shì)線的圖像。運(yùn)用這一方法進(jìn)一步計(jì)算了在殼內(nèi)連續(xù)帶電線狀體作用時(shí)殼內(nèi)壁上感應(yīng)電荷分布，球殼電勢(shì)的等勢(shì)線等。本文采用逆行思維方法對(duì)物理研究及教學(xué)有一定的理論價(jià)值。