最大熵原理在推導(dǎo)分子數(shù)分布中的應(yīng)用

慶秉承 劉 萍 陳曉珂 胡 祎 王致遠(yuǎn) 胡云婷 韓英卓 田篷勃 方愛平

(西安交通大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710049)

在物理學(xué)中熵是反映系統(tǒng)無規(guī)程度的量度。1948年，Shannon提出信息熵的概念[1]。事實(shí)證明，信息熵和熱力學(xué)熵有一定的統(tǒng)一性。根據(jù)熵增加原理，在一定條件下，孤立系統(tǒng)在達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，其熵值將會(huì)趨于某個(gè)極大值。因而在1957年，E.T.Jaynes提出最大熵原理[2]，即：一個(gè)穩(wěn)定宏觀系統(tǒng)某個(gè)物理量的信息熵在約束條件下趨于最大值。由于信息熵的大小和該物理量的概率密度分布函數(shù)f(x)有如下關(guān)系：

式中，f(x)為該物理量的概率密度分布函數(shù)；D為概率密度分布函數(shù)的定義域。

根據(jù)最大熵原理，只需求得使信息熵在約束條件下達(dá)到最大值的函數(shù)f(x)，便可確定該物理量的概率密度分布函數(shù)。為求得f(x)，可以利用拉格朗日法求泛函的約束極值。

最大熵原理被學(xué)者廣泛研究，利用最大熵原理，藍(lán)風(fēng)華推導(dǎo)出了麥克斯韋速率分布[3]；晉宏?duì)I推導(dǎo)出了電介質(zhì)極化規(guī)律[4]；方愛平、田蓬勃等人應(yīng)用最大熵原理，在信息缺失的條件下最大效率地實(shí)現(xiàn)對(duì)全局進(jìn)行判斷和決策[5]。但鮮有學(xué)者用最大熵原理研究分子數(shù)密度按自由程以及按高度的分布，本文將利用最大熵原理，研究這些問題。

1 推導(dǎo)分子數(shù)密度按自由程分布

在秦允豪先生的熱學(xué)教材中，為推導(dǎo)分子數(shù)按自由程分布，通過小孔泄流模型，得到了結(jié)果[6]。本文通過最大熵原理，重新推導(dǎo)分子數(shù)按自由程分布。

利用拉格朗日乘數(shù)法，得到

結(jié)合約束條件，解得

則最終得到分子按自由程分布服從指數(shù)分布，與教材上的結(jié)果一致，即為

2 推導(dǎo)分子數(shù)密度按高度的分布

在秦允豪先生的熱學(xué)教材中，給出了等溫條件下，分子數(shù)按高度的分布[6]。而本文將利用最大熵原理，推導(dǎo)考慮溫度分布情況的分子數(shù)按高度分布。

2.1 理論推導(dǎo)

設(shè)分子數(shù)按高度分布的概率密度分布函數(shù)為f(h)，考慮分子平均能量應(yīng)為一個(gè)定值，即

式中，m為單個(gè)分子平均質(zhì)量；h為位勢高度(Geopotential height)；k為玻爾茲曼常數(shù)；T為熱力學(xué)溫標(biāo)。式中近似認(rèn)為分子能量僅僅包括重力勢能和分子動(dòng)能，且空氣分子為剛性雙原子分子。

則根據(jù)最大熵原理，有

利用拉格朗日乘數(shù)法，得到

得到

將其代入歸一化條件，得到

最后得到(參數(shù)β待定)

2.2 結(jié)果驗(yàn)證

(2) 變溫情況 此時(shí)，為了獲得大氣溫度隨高度的變化，參考美國NASA公布的Standard Atmosphere中給出的大氣溫度隨高度變化的數(shù)據(jù)[7]，數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 大氣溫度隨高度變化((a) 為全高度; (b) 為近地區(qū)細(xì)節(jié))

滿足歸一化條件，又由于拉格朗日乘子的唯一性，故該拉格朗日乘子取值是正確的。

由此可以得到分子數(shù)按高度分布的情況，由于

則分子數(shù)密度n滿足

可見n與f(h)呈正比例關(guān)系，將NASA發(fā)布的分子數(shù)密度隨高度變化的曲線[7]與通過上式計(jì)算得到的分子數(shù)密度隨高度分布的曲線進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖2所示。

圖2 分子數(shù)密度隨高度變化((a) 為全高度; (b) 為近地區(qū)細(xì)節(jié))

可見二者吻合較好，說明上文通過最大熵原理進(jìn)行的推導(dǎo)是合理的。

3 結(jié)語

本文首次通過最大熵原理研究分子數(shù)按自由程的分布，基于更弱的假設(shè)，得到的分布函數(shù)和教材吻合，有更好的普適性。首次利用最大熵原理研究了溫度變化情況下，分子數(shù)按高度的分布，結(jié)果和NASA的數(shù)據(jù)相吻合，該結(jié)果將有利于預(yù)測更高海拔的分子數(shù)分布。上述結(jié)果表明最大熵原理在統(tǒng)計(jì)物理中的應(yīng)用是合理的，這或許隱含了統(tǒng)計(jì)物理和信息論的內(nèi)在聯(lián)系。