基于近似熵的斯隆數(shù)字化巡天中類星體光變復(fù)雜性分析*

唐潔 劉曉琴

1)(陜西理工大學(xué)物理與電信工程學(xué)院,漢中 723001)

2)(漢中職業(yè)技術(shù)學(xué)院藥學(xué)與醫(yī)學(xué)技術(shù)系,漢中 723002)

光變是類星體的重要觀測特征之一,類星體在多個波段存在劇烈的光變現(xiàn)象.光變非常復(fù)雜,具有非線性特征.以斯隆數(shù)字化巡天(Sloan digital sky survey,SDSS)stripe 82天區(qū)中的類星體為研究對象,利用近似熵方法分析了類星體光變的復(fù)雜性.首先應(yīng)用模擬信號檢驗(yàn)了近似熵方法對周期序列、白噪聲序列、混沌序列和組合序列的區(qū)分能力,驗(yàn)證了近似熵方法是一種識別不同類型時間序列的有效方法.再計算了SDSS第7次釋放數(shù)據(jù)中光譜證認(rèn)過的類星體光變的近似熵,并分析了它們的復(fù)雜性.結(jié)果表明: SDSS類星體光變的近似熵值最大值為0.58,類星體光變的復(fù)雜性介于周期序列和白噪聲序列的復(fù)雜性之間,近一半樣本的復(fù)雜性與混沌序列基本一致.

1 引 言

作為活動性最強(qiáng)活動星系核,類星體除了強(qiáng)發(fā)射線、較大紅移、高光度等觀測特征外,還具有快速、不規(guī)則、劇烈的光變現(xiàn)象[1,2],從長波的射電波段到高能的伽瑪波段都觀測到較強(qiáng)的光變信號.對光變的研究可以為我們提供許多重要信息,有利于更深入地了解光變產(chǎn)生的物理機(jī)制.獲得了很多觀測現(xiàn)象支持的吸積盤模型認(rèn)為[3],吸積盤結(jié)構(gòu)的改變,吸積盤自身的不穩(wěn)定性和變化的吸積率都有可能導(dǎo)致類星體光變現(xiàn)象的發(fā)生.類星體的光變資料主要來源于長時間的多波段測光監(jiān)測,目前已經(jīng)積累了大量的觀測資料,為進(jìn)一步研究類星體光變提供了便利條件.

類星體被發(fā)現(xiàn)后不久,其輻射流量的變化就被觀測到了.已有研究對類星體光變現(xiàn)象從不同角度做了大量的分析.MacLeod等[4]認(rèn)為類星體光變可以利用隨機(jī)游走模型來擬合,但Kasliwal等[5]卻認(rèn)為該模型并非適合所有的類星體,Guo等[6]認(rèn)為隨機(jī)游走模型不能極好的擬合部分類星體光線曲線.解釋光變現(xiàn)象發(fā)生常用的吸積盤不穩(wěn)定模型也是將光變視為隨機(jī)事件,盤通過黏滯耗散和隨機(jī)因素同外部介質(zhì)產(chǎn)生作用[3,7].隨著觀測技術(shù)水平的提高和一些大型望遠(yuǎn)鏡的使用,在對一些長期監(jiān)測的類星體光變資料分析時發(fā)現(xiàn)光變呈顯出準(zhǔn)周期現(xiàn)象[8,9],如OJ 287長期光變曲線存在約12年的長周期[10,11],運(yùn)用該周期推測OJ 287下一次可能爆發(fā)的時間,其后觀測到的爆發(fā)時間與該預(yù)測時間非常吻合[12,13].隨著非線性動力學(xué)理論的發(fā)展,非線性動力學(xué)分析方法被引入到類星體光變的研究中來[14-16].如果光變具有混沌特性,非線性機(jī)制就可以被用來解釋類星體光變.

類星體光變資料里隱含有線性和非線性的成分,是極其復(fù)雜的[17].將不規(guī)則的光變現(xiàn)象視為復(fù)雜的,僅是一種假設(shè),簡單的定性分析缺乏說服力.類星體光變是不是屬于復(fù)雜系統(tǒng)? 若其存在復(fù)雜性,復(fù)雜到何種程度? 這些問題值得進(jìn)一步深入研究.復(fù)雜性研究處于有序與混沌的邊緣,現(xiàn)在主要指的是對非線性現(xiàn)象的研究[18].混沌動力學(xué)理論可以進(jìn)行復(fù)雜性分析,但混沌分析方法一般要求數(shù)據(jù)量非常大,少則上千,多則上萬,對觀測資料的質(zhì)量要求也較高,要想獲得較完整的類星體光變的資料需要占用望遠(yuǎn)鏡較長的觀測時間.盡管與過去相比,目前類星體的監(jiān)測項(xiàng)目增多,但監(jiān)測樣本數(shù)還是較少,觀測時間的跨度也較短.

斯隆數(shù)字化巡天(Sloan digital sky survey,SDSS)項(xiàng)目提供了大量類星體測光監(jiān)測數(shù)據(jù),SDSS第7次釋放數(shù)據(jù)(data release 7,DR7)釋放有光譜證認(rèn)過的類星體5個波段10年觀測的數(shù)據(jù),但單個類星體樣本光變資料數(shù)據(jù)量少.常用的、對時間序列長度要求相對較低的復(fù)雜性分析方法有近似熵[19,20]、Lempel-Ziv 算法[21]、樣本熵[22]和Kolmogrov熵[23]等方法.超過100個數(shù)據(jù)量時,利用近似熵方法就能獲得比較可靠的估計值,并且沒有粗?；幚硪?這樣可以保留原始數(shù)據(jù)的有效信息[19],近似熵方法優(yōu)于后兩種方法.本文利用近似熵方法計算和度量類星體光變的復(fù)雜性,分析類星體光變的復(fù)雜度有助于我們更好地了解光變的復(fù)雜特征,揭示復(fù)雜光變的非線性動力學(xué)特性.

2 近似熵方法

混沌動力學(xué)理論常用Kolmogrov熵來度量動力學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性,要獲得Kolmogrov熵值,理論上要求被分析的對象數(shù)據(jù)量足夠多,且該方法抗噪能力差,對于信噪比低的時間序列較難獲得可靠的熵值,因此最好別疊加有噪聲,但實(shí)測數(shù)據(jù)很難達(dá)到這些要求.Pincus和Huang[19]提出了對數(shù)據(jù)量長度要求相對較低,有較好的抗干擾、抗噪能力的近似熵 (approximate entropy,ApEn).不同于Kolmogrov熵,近似熵不需要利用大量數(shù)據(jù)重構(gòu)奇異吸引子,主要是從統(tǒng)計角度來度量時間序列產(chǎn)生新模式的概率大小,概率越大復(fù)雜性越大,近似熵值也越大,隨機(jī)成分增多; 近似熵值越小,時間序列周期成分增多.

若存在一個給定長度的一維時間序列X={x(n),n=1,2,···,N},如模式維數(shù)m和相似容限r(nóng)已經(jīng)確定,構(gòu)建一個m維的向量空間:

將任意向量X(i)與其他向量X(j)的對應(yīng)元素差值最大的記為

對每個向量X(i)計算Dij小于相似容限r(nóng)的數(shù)目,將該數(shù)目與向量總數(shù)N-m的比記為將模式維數(shù)增加1,按上面的方法計算維數(shù)m+1的時間序列的近似熵Sapen可表示為[19]

3 典型時間序列的近似熵

為了檢驗(yàn)近似熵對于不同時間序列的區(qū)分能力,選取周期序列、混沌序列、白噪聲序列和組合序列,分析5種典型時間序列的近似熵,通過分析典型不同類型時間序列在復(fù)雜度的取值范圍,可以作為類星體光變屬于哪種類型時間序列的參照.

5種典型時間序列如圖1所示,其中周期序列(用Sine表示)為y=sin(2πt/10);混沌序列(用Logistic表示)為x(n+1)=ωx(n)[1-x(n)],其中初始值x(0)=0.7,ω=0.75,由該方程產(chǎn)生混沌序列;白噪聲序列(用White noise表示)由均值為0、方差為1的隨機(jī)序列組成;組合序列包括混沌序列疊加周期序列(用Logistic+Sine表示)和混沌序列疊加白噪聲序列(用Logistic+White noise表示).

對于時間序列長度的選取,Pincus和Huang[19]通過他們的大量研究,建議數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)最好取100以上,一般也不要超過5000.我們將時間序列長度都取900,模式維數(shù)m=2,相似容限r(nóng)取0.05—0.50,5種典型時間序列的近似熵分析結(jié)果見圖2.從近似熵值分布可以看出: 周期序列的近似熵最小,白噪聲序列的近似熵最大,混沌序列的近似熵值介于周期序列和白噪聲序列之間,混沌序列疊加周期序列比混沌序列的近似熵值略大,相似容限小于0.35時,混沌序列疊加白噪聲序列比白噪聲序列的近似熵值小; 相似容限大于0.35時,混沌序列疊加白噪聲序列比白噪聲序列的大.對于不同類型的時間序列,近似熵值按周期序列、混沌序列、混沌序列疊加周期序列、混沌序列疊加白噪聲序列到白噪聲序列的順序逐漸增大,近似熵值越大復(fù)雜性也越高,周期序列、混沌序列、白噪聲序列的近似熵值差別很大,各自分別在不同的區(qū)間,白噪聲序列是混沌序列的近似熵值近5倍,白噪聲序列和混沌序列疊加白噪聲序列復(fù)雜度差別不大,白噪聲序列近似熵值接近組合序列,近似熵值都超過1.

這些結(jié)果說明近似熵能有效將混沌序列、周期序列、白噪聲序列和不同成分組合序列區(qū)分開,復(fù)雜性能夠區(qū)分不同隨機(jī)程度的時間序列,驗(yàn)證了近似熵可以描述時間序列隨機(jī)程度,對混沌有一定的識別能力,較好地表征了非線性結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性,且復(fù)雜度隨著隨機(jī)成分增加而增大.

圖1 典型時間序列Fig.1.Typical time series.

圖2 典型時間序列的近似熵Fig.2.The approximate entropy of typical time series.

4 SDSS類星體光變的復(fù)雜性分析

SDSS項(xiàng)目使用2.5 m專用望遠(yuǎn)鏡,裝備了先進(jìn)的大視場掃描成像裝置,觀測底板的640條光纖可以同時拍攝640個目標(biāo),從2000年項(xiàng)目開始巡天觀測后,已經(jīng)積累了許多高質(zhì)量的u,g,r,i,z波段測光數(shù)據(jù).

為了展示近似熵方法在度量SDSS類星體光變復(fù)雜性的能力,我們先以類星體SDSS J012228.72-001332.0為例來分析該方法的可行性.由于SDSS有很多觀測任務(wù),望遠(yuǎn)鏡觀測時間有限,不可能長時間觀測某個類星體,這些類星體大多是間隔90—270 d才有測光數(shù)據(jù).為了便于計算近似熵,缺失值用插值方法求得,圖3給出了類星體SDSS J012228.72-001332.0原始和插值處理后的5個波段光變曲線.

在計算近似熵的值前,需要先選取模式維數(shù)m、相似容限r(nóng)和時間序列的長度N.對于N的選取,Pincus和Huang[19]通過他們的大量研究,建議數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)最好取100以上,一般也不要超過5000,本文對原觀測數(shù)據(jù)每隔10 d插值一個數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)量完全滿足條件.對于模式維數(shù)m,一般選取m=2,相對于m=1,可以在時間序列的聯(lián)合概率重構(gòu)過程中,獲得更多更詳細(xì)的信息; 若取m大于2,相似容限r(nóng)要求比較大,但這樣會導(dǎo)致丟失許多信息.對于參數(shù)相似容限r(nóng),Pincus和Huang[19]認(rèn)為相似容限r(nóng)取0.10—0.25倍原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差,可以估計出比較理想的統(tǒng)計特性.

圖4給出了類星體SDSS J012228.72-001332.0光變資料的相似容限-近似熵圖,在相似容限為0.2前,近似熵值隨相似容限的增加而增大,相似容限r(nóng)在增為0.2倍原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差后,5個波段光變資料的近似熵值基本保持一個比較穩(wěn)定的值.g波段近似熵最小,在0.3左右振蕩; u波段近似熵最大,最大值接近0.35,相似容限在區(qū)間0.4—0.6時,近似熵值隨相似容限增加有減小的趨勢.因此,在本文后面的大樣本近似熵值分析時,將相似容限r(nóng)取為0.2倍原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.從單個樣本近似熵分析可以看出,5個波段光變資料的近似熵值相差不多,同一類星體不同波段光變曲線復(fù)雜性基本相同,這可能是因?yàn)樗鼈兊墓庾兦€波形非常相似.

本文選取的類星體樣本來源于SDSS DR7中的stripe 82天區(qū)光譜證認(rèn)過的類星體,Macleod等[4]搜集整理提供了9258個類星體測光數(shù)據(jù),為了獲得可靠的分析結(jié)果,要求每隔360 d需要至少一次的觀測數(shù)據(jù),由于2000—2003年觀測數(shù)據(jù)太少,起始時間選擇從2003年開始,并除去測光誤差大于0.1個星等的數(shù)據(jù)點(diǎn),并且要求這些數(shù)據(jù)大致均勻分布,按這些條件再選擇觀測數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)超過20的作為樣本.最后,我們得到i,r,g,z,u波段的樣本數(shù)分別是6465,6547,6439,6373和6092.

圖3 SDSS J012228.72-001332.0的光變曲線Fig.3.Light curve of SDSS J012228.72-001332.0.

將模式維數(shù)和相似容限分別取m=1,r=0.2對選取的樣本進(jìn)行近似熵分析,獲得的結(jié)果如圖5和表1所示.可以看出,類星體光變的近似熵值都處于0—0.6范圍內(nèi),最大值分別是0.552,0.553,0.575,0.571和0.580,最小值都為0.008,接近于0.白噪聲序列和混有白噪聲序列的混沌序列都比光變的近似熵最大值超過2倍,因此類星體樣本光變不可能完全是白噪聲序列,這是因?yàn)轭愋求w觀測總會有噪聲干擾,但其占的比例不大.近一半的近似熵值分布在0.3—0.4的范圍內(nèi),遠(yuǎn)大于周期序列,又遠(yuǎn)小于白噪聲序列,和混沌序列在初始值取為 x (0)=0.7,ω=0.75 時的近似熵值非常接近,說明近一半的類星體光變既不是完全周期性的也不是完全白噪聲的系統(tǒng),而是一個與混沌序列近似的、帶有非線性結(jié)構(gòu)的、具有混沌特性的動力學(xué)系統(tǒng).

圖4 SDSS J012228.72-001332.0的近似熵Fig.4.The approximate entropy of SDSS J012228.72-001332.0.

近似熵值的大小和被分析的時間序列復(fù)雜程度存在成正比例的關(guān)系,時間序列越復(fù)雜,其近似熵值也就越大,時間序列越趨近于隨機(jī)性,反之,近似熵值越小,越趨于周期性.類星體光變的近似熵值低于0.2的樣本數(shù)很少,最多的r波段才占到7.3%,最少的u波段只有3.56%,說明周期性光變占主導(dǎo)的類星體比例很少.近似熵值高于0.5的類星體樣本數(shù)也少,除z波段剛超過1%,其余波段1%都不到,說明所有類星體光變的近似熵值都偏小,類星體光變趨于隨機(jī)性概率較少.同一類星體樣本不同波段,近似熵值都比較接近,說明同一類星體光變的復(fù)雜性基本一致.不同類星體近似熵值不盡相同,說明類星體光變的非線性結(jié)構(gòu)是有區(qū)別的,可能光變產(chǎn)生的原因不一樣引起的.

圖5 SDSS類星體的近似熵分布Fig.5.Approximate entropy distribution of SDSS quasars.

表1 SDSS類星體的近似熵Table 1.Approximate entropy of SDSS quasars.

5 結(jié) 論

自從類星體發(fā)現(xiàn)以來,劇烈的光變現(xiàn)象引起了天文學(xué)家的廣泛關(guān)注.盡管現(xiàn)在觀測技術(shù)有很大進(jìn)步,但現(xiàn)有的觀測設(shè)備仍然無法分辨類星體的中心區(qū)域,對類星體光變的深入研究有助于了解其中心區(qū)域輻射的物理機(jī)制.常用分析類星體光變資料的方法如結(jié)構(gòu)函數(shù)[24]、功率譜[25]、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[26]等,應(yīng)用這些方法如要獲得可信度高的結(jié)論,對觀測數(shù)據(jù)量要求較高,這就對數(shù)據(jù)分析方法提出了要求.本文采用的近似熵只需要100個以上的數(shù)據(jù)點(diǎn)就能獲得比較可靠的復(fù)雜度,完全滿足數(shù)據(jù)分析的需要.

本文利用近似熵方法分析了混沌序列、周期序列、白噪聲序列和不同成分組合序列的近似熵,發(fā)現(xiàn)近似熵值能有效區(qū)分不同隨機(jī)程度的時間序列,驗(yàn)證了近似熵對不同復(fù)雜性的時間序列有較好的識別能力,金寧德等[20]也用模擬信號獲得了跟我們一樣的結(jié)論.本文進(jìn)一步基于SDSS stripe 82天區(qū)的類星體測光數(shù)據(jù)分析了類星體光變的復(fù)雜性,從單個源的分析結(jié)果看來,5個波段光變曲線波形非常相似,它們的近似熵值相差較小,同一類星體不同波段光變曲線復(fù)雜性基本相同.對6000多個大樣本的類星體分析發(fā)現(xiàn),所有的近似熵值都低于0.6,最大值為0.58,說明類星體光變中白噪聲占的比例都不高.近一半的類星體光變和Logistic方程產(chǎn)生的混沌序列的復(fù)雜性是一樣的,說明一部分類星體光變以混沌成分占主導(dǎo).小部分近似熵值接近于0,這說明周期性成分占主導(dǎo)的類星體比例非常少.類星體光變不可能是完全周期性的,也不可能是白噪聲,因?yàn)槿羰峭耆芷谛曰虬自肼?近似熵值是0或超過1,也不可能是完全混沌的,因?yàn)橛^測中總夾雜著噪聲的影響.因此類星體光變可能是周期性成分,混沌成分和噪聲疊加在一起,并以3種成分中的一種占主導(dǎo).

用結(jié)構(gòu)函數(shù)、功率譜等周期分析方法分析類星體長期光變資料,發(fā)現(xiàn)光變具有周期性[1,8-13],這和我們的結(jié)論并不矛盾,這些文獻(xiàn)只提取了類星體光變中隱含的部分周期信息,忽略了其他部分的有效信息.MacLeod等[4]用隨機(jī)游走模型來描述光變,發(fā)現(xiàn)該模型能較好地擬合類星體光變曲線,但Kasliwal等[5]和Guo等[6]認(rèn)為隨機(jī)游走模型在描述類星體光變中還是存在部分缺陷.Misra等[14]運(yùn)用混沌動力學(xué)理論分析了GRS 1915+105 的光變曲線,獲得的結(jié)果是GRS 1915+105光變也存在混沌性疊加隨機(jī)性的現(xiàn)象.唐潔[17]應(yīng)用集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法將類星體光變資料分解成周期項(xiàng)、混沌項(xiàng)和趨勢項(xiàng),認(rèn)為類星體光變是由周期成分、混沌成分和趨勢成分疊加而成.這些已有的研究成果與我們分析的結(jié)論是比較一致的.

感謝美國SDSS項(xiàng)目提供的類星體光變數(shù)據(jù).