雙氣泡振子系統(tǒng)的非線性聲響應(yīng)特性分析*

莫潤陽 王成會(huì) 胡靜 陳時(shí)

(陜西師范大學(xué),超聲學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710062)

對(duì)初始半徑不同的雙氣泡振子系統(tǒng)在聲波作用下的共振行為和聲響應(yīng)特征進(jìn)行了分析.利用微擾法分析了雙泡系統(tǒng)的非線性共振頻率,由于氣泡間耦合振動(dòng)的非線性影響,雙泡系統(tǒng)存在雙非線性共振頻率.倍頻共振和分頻共振現(xiàn)象的存在使得雙泡系統(tǒng)振幅-頻率響應(yīng)曲線有多共振峰,且隨著非線性增強(qiáng),共振區(qū)向低頻區(qū)移動(dòng).通過對(duì)氣泡平衡半徑、雙泡平衡半徑比以及氣泡間距的分析發(fā)現(xiàn),耦合作用較強(qiáng)的情形發(fā)生在系統(tǒng)共振頻率附近、氣泡半徑比接近1以及氣泡間距小于10R10的范圍內(nèi),同時(shí)觀察到了此消彼長的現(xiàn)象,充分體現(xiàn)了氣泡在聲場(chǎng)中能量轉(zhuǎn)換器的特征.

1 引 言

液體中的微氣泡在聲波的驅(qū)動(dòng)下做受迫振動(dòng),它既是聲散射源[1,2],也是聲場(chǎng)中的換能器.液體中氣泡的振動(dòng)引起周圍液體流場(chǎng)分布變化,進(jìn)而影響液體內(nèi)的壓力差分布,進(jìn)一步增強(qiáng)了對(duì)液體介質(zhì)的擾動(dòng)作用.液體中空化氣泡在較高強(qiáng)度聲波作用下還會(huì)引起空化效應(yīng),伴隨氣泡振動(dòng)還會(huì)出現(xiàn)聲致發(fā)光、局部高溫高壓、微射流以及沖擊波等現(xiàn)象,空化泡有效充當(dāng)了能量轉(zhuǎn)換器的角色[3,4].人們對(duì)聲場(chǎng)中的氣泡運(yùn)動(dòng)相關(guān)的效應(yīng)進(jìn)行了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究[5-13],對(duì)空化現(xiàn)象及其在超聲治療、超聲診斷、超聲提取、超聲清洗和超聲聲化學(xué)等領(lǐng)域的作用機(jī)理有了一定的認(rèn)識(shí).但由于氣泡振動(dòng)以及其擾動(dòng)下液體流場(chǎng)變化本身的復(fù)雜性使得空化氣泡以及空化場(chǎng)的物理圖景并不十分清晰,因此,聲場(chǎng)中的氣泡動(dòng)力學(xué)仍然需要從理論和實(shí)驗(yàn)等角度展開進(jìn)一步研究.

實(shí)際的空化環(huán)境通常為多泡系統(tǒng),氣泡動(dòng)力學(xué)研究逐步從單氣泡動(dòng)力學(xué)過渡到多泡動(dòng)力學(xué),然而,由于多氣泡系統(tǒng)是極為復(fù)雜的高維系統(tǒng),人們?cè)谘芯窟^程中常從雙氣泡耦合動(dòng)力學(xué)入手.通過雙泡模型人們發(fā)現(xiàn),氣泡之間的相互作用可引起復(fù)雜的微射流、負(fù)脈沖以及空化噪聲譜等[14-18],還可通過注入大氣泡來抑制空化氣泡振動(dòng)強(qiáng)度進(jìn)而達(dá)到抑制空化強(qiáng)度的效果[19].為了更好地分析氣泡間的耦合效應(yīng),球狀或者鏈?zhǔn)脚萑耗Ｐ鸵脖粡V泛采用[20].在理論分析時(shí)常將氣泡的徑向振動(dòng)線性化為振子模型,分析氣泡在聲場(chǎng)中線性響應(yīng)模式.但是,氣泡本身是三維系統(tǒng),在絕熱條件下其內(nèi)部氣泡的物態(tài)變化本身具有非線性特征,故為分析氣泡振子的非線性聲響應(yīng)特征,在弱非線性條件下忽略振動(dòng)方程中三階以上小量后可得到雙氣泡或多氣泡系統(tǒng)的非線性耦合振動(dòng)方程,基于此方程可進(jìn)一步探索多氣泡體系的聲響應(yīng)特征[21-24].

Sugita和Toshihiko[22]通過多尺度法、微擾法等分析手段探索耦合振動(dòng)氣泡在共振頻率附近的幅值和相位變化特征,發(fā)現(xiàn)在氣泡共振頻率附近存在四種模式的耦合振動(dòng)狀態(tài),即等幅同相振動(dòng)、等幅反相振動(dòng)、局域同相振動(dòng)模式(x1a≤x2a或x1a≥x2a).Ooi等[1]采用線性化后耦合振子方程組分析氣泡鏈的耦合振動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)存在多共振頻率,氣泡鏈的存在可影響聲波在介質(zhì)中的傳播特性.他們?cè)谘芯恐芯?jì)入了氣泡次級(jí)聲輻射延遲效應(yīng)對(duì)耦合振動(dòng)的影響.盡管有許多學(xué)者對(duì)雙氣泡耦合振動(dòng)從不同角度展開了研究,但主要基于線性振子或者同尺寸氣泡系統(tǒng)研究,而實(shí)際的多氣泡系統(tǒng)氣泡平衡半徑通常處在分布狀態(tài)[24],如造影劑微泡尺寸范圍大致在1—10μm,因此,僅分析尺度相同的氣泡間相互作用的非線性特征是不夠的.本文分析了兩個(gè)不同平衡半徑氣泡組成的雙氣泡系統(tǒng)的共振行為及聲響應(yīng)特性,考慮聲波、液體介質(zhì)及氣泡本身相關(guān)的參量對(duì)雙泡系統(tǒng)振動(dòng)行為的影響.

2 基本方程

2.1 雙氣泡動(dòng)力學(xué)方程

超聲空化環(huán)境下液體中通常有大量的振動(dòng)氣泡,其振動(dòng)在液體中形成次級(jí)聲輻射,次級(jí)輻射聲場(chǎng)與源聲場(chǎng)一起共同影響空化場(chǎng)中氣泡的振動(dòng),因此,聲場(chǎng)中的空化泡構(gòu)成多氣泡耦合振動(dòng)系統(tǒng).氣泡間耦合振動(dòng)狀態(tài)非常復(fù)雜,與液體環(huán)境、驅(qū)動(dòng)聲波屬性、氣泡分布特征等多種因素有關(guān),而次級(jí)輻射聲場(chǎng)將隨距離的變化而衰減且有相位變化,因此,在引入次級(jí)聲輻射影響考慮氣泡的振動(dòng)動(dòng)力學(xué)時(shí),需考慮聲傳輸相關(guān)的推遲效應(yīng)的影響.為簡化分析,本文考慮耦合振動(dòng)的雙氣泡系統(tǒng),其振動(dòng)可用修正的Keller-Miksis方程表示[22],即

式中Rj為初始半徑Rj0(j=1,2)的氣泡的瞬時(shí)半徑,τ=d/cl為推遲時(shí)間,d為兩氣泡中心距離,ρl和cl分別為液體密度和聲速,p0為液體環(huán)境壓力,pa和φ分別為驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值和初相位.pB(Rj,t)為泡壁處液體壓力,可表示為

其中σ和η分別為液體表面張力系數(shù)和黏度系數(shù),Rj=Rj0(1+xj),κ為泡內(nèi)氣體多方指數(shù).

為更好地分析次級(jí)聲輻射推遲效應(yīng)對(duì)氣泡耦合振動(dòng)的影響,假定氣泡振動(dòng)保持球形且處于弱非線性狀態(tài).令

式中xj為j氣泡壁無量綱振動(dòng)位移,且xj視作一階小量.將(3)式代入(1)式,約去三階以上小量,則考慮次級(jí)聲輻射的時(shí)間推遲效應(yīng)影響后的耦合振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為

式中

其他系數(shù)參看附錄.在近似過程中,為分析氣泡振動(dòng)導(dǎo)致的次級(jí)聲輻射引起附加壓力相關(guān)的因子3-j|t-τ中推遲時(shí)間相關(guān)的作用效果,取其線性近似[1],即

2.2 系統(tǒng)非線性共振頻率

由于氣泡間相互作用的影響,氣泡在外場(chǎng)作用下的非線性振動(dòng)將變得更加復(fù)雜.下面分析雙氣泡系統(tǒng)在聲波作用下的非線性聲響應(yīng).忽略系統(tǒng)振動(dòng)阻尼和驅(qū)動(dòng)聲波的影響,耦合振動(dòng)雙氣泡系統(tǒng)線性共振頻率ωr滿足特征方程

可得系統(tǒng)線性共振頻率近似為

由此可以看出,耦合振動(dòng)系統(tǒng)線性共振頻率與各氣泡本征頻率相關(guān),氣泡間的耦合相互作用將影響系統(tǒng)共振頻率.但從(7)式可以看出,次級(jí)聲輻射時(shí)間推遲效應(yīng)對(duì)線性共振頻率的影響較小.為更好地認(rèn)識(shí)聲波作用下氣泡較大振幅振動(dòng)對(duì)氣泡共振聲響應(yīng)的影響,下面分析耦合振動(dòng)雙氣泡系統(tǒng)非線性振動(dòng)頻率.對(duì)忽略系統(tǒng)振動(dòng)阻尼和驅(qū)動(dòng)聲波影響后的動(dòng)力學(xué)方程(4)采用逐級(jí)近似法,設(shè)xj=xj0+xj1+xj2+ ···且零級(jí)近似解為

若要等式右端無共振項(xiàng),必有qj=0,自然振動(dòng)頻率偏移量近似為

且

式中

同理,將近似解(8)式和(11)式代入方程(4),約去三階以上的高階小量,得到二級(jí)近似解滿足的方程近似為

式中

要(12)式右側(cè)無共振項(xiàng),必有 g1j=0,即

(13)式即為考慮氣泡相互作用以及時(shí)間延遲效應(yīng)影響后的雙氣泡系統(tǒng)非線性振動(dòng)頻率的表達(dá)式.對(duì)于液體中兩個(gè)不同初始半徑氣泡組成的雙氣泡系統(tǒng),其非線性振動(dòng)頻率分別分布在兩氣泡線性自由振動(dòng)頻率附近.比較(13)式和(7)式可以看出,非線性情形下氣泡的振動(dòng)頻率將受到振動(dòng)幅值、系統(tǒng)本質(zhì)屬性以及次級(jí)聲輻射作用相關(guān)的時(shí)間推遲效應(yīng)的影響.

2.3 雙氣泡系統(tǒng)的非線性聲響應(yīng)

雙氣泡系統(tǒng)受到聲波激勵(lì),氣泡將做受迫振動(dòng).下面采用逐級(jí)近似法,基于振動(dòng)方程(4)分析不同初始半徑氣泡組成的雙氣泡系統(tǒng)的非線性聲響應(yīng)特征.為簡化計(jì)算,設(shè)近似解x1=x1acos(ωt+φ1),x2=x2acos(ωt),代入方程(4),有

式中

(14)式—(17)式給出了一級(jí)近似下不同平衡半徑組成的雙泡系統(tǒng)氣泡徑向振動(dòng)幅值和相位隨驅(qū)動(dòng)聲波頻率和振幅的變化關(guān)系.可以看出,在考慮氣泡徑向耦合振動(dòng)的情形下,由于次級(jí)聲輻射以及介質(zhì)黏性等因素的共同影響,氣泡的小振幅非線性受迫振動(dòng)并不是同相位振動(dòng),雙氣泡系統(tǒng)非線性振動(dòng)相位差和氣泡平衡半徑、驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值和頻率等有關(guān).因此,平衡半徑不同的氣泡構(gòu)成的多氣泡-液體混合介質(zhì)中氣泡在聲波驅(qū)動(dòng)下的振動(dòng)行為將變得更加復(fù)雜.液體空化場(chǎng)內(nèi)存在大量平衡半徑不同的氣泡,氣泡間的相互作用必將增加空化場(chǎng)分布的復(fù)雜性,雙氣泡系統(tǒng)相互作用引起的聲響應(yīng)狀態(tài)分析必將為理解空化場(chǎng)的復(fù)雜性奠定基礎(chǔ).

3 數(shù)值分析

在一定強(qiáng)度聲波的作用下,氣泡對(duì)在聲場(chǎng)中做非線性徑向振動(dòng),其振動(dòng)相圖可展示出豐富的信息.從不同情形下氣泡的振動(dòng)相圖可知,考慮次級(jí)聲輻射對(duì)鄰近氣泡作用的延遲效應(yīng)后,氣泡的振動(dòng)相位和幅值均可能發(fā)生變化.由于氣泡受迫振動(dòng)相關(guān)的次級(jí)聲輻射延遲效應(yīng)與氣泡受迫振動(dòng)頻率成正比,當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲波頻率較低時(shí),次級(jí)聲輻射延遲效應(yīng)的影響幾乎可忽略,因此,主要分析頻率500 kHz以上超聲波作用下氣泡振動(dòng)行為的變化規(guī)律.本文數(shù)值計(jì)算所取各參量值如下: 驅(qū)動(dòng)聲壓幅值0.5 atm(1 atm=1.013 × 105Pa),驅(qū)動(dòng)聲波頻率515 kHz,液體密度998 kg/m3,液體黏滯系數(shù)0.001 Pa·s,液體表面張力為0.0725 N/m,泡內(nèi)氣體多方指數(shù)為1.4.主要考察驅(qū)動(dòng)聲波頻率、驅(qū)動(dòng)壓力幅值、氣泡間距,兩氣泡平衡半徑比等因素對(duì)氣泡聲響應(yīng)的影響.

3.1 聲輻射延遲效應(yīng)對(duì)氣泡振動(dòng)行為的影響

為考察次級(jí)聲輻射的延遲效應(yīng)對(duì)氣泡振動(dòng)行為的影響,利用Mathmatica軟件對(duì)(1)式進(jìn)行數(shù)值分析,取平衡半徑 R10=2 μm 和 R20=2R10的氣泡對(duì),氣泡間距為 2 0R10,當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲壓幅值分別為0.5,1.0 atm和1.5 atm時(shí),氣泡1振動(dòng)相圖如圖1(a)—圖1(c)所示,氣泡2振動(dòng)相圖如圖1(d)—圖1(f)所示.結(jié)果表明,驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值越高,次級(jí)聲輻射對(duì)氣泡振動(dòng)行為的影響越顯著; 氣泡的初始半徑越小,延遲效應(yīng)對(duì)氣泡振動(dòng)的影響越大.影響氣泡非線性振動(dòng)行為的因素很多,驅(qū)動(dòng)聲壓幅值越高,氣泡的振動(dòng)越劇烈,越容易在幾個(gè)聲周期后崩潰,形成沖擊波和微射流等次級(jí)效應(yīng),還可形成更多的微氣泡核調(diào)節(jié)空化進(jìn)程.

3.2 氣泡振動(dòng)幅值-頻率特性分析

求解(14)式和(15)式可得一級(jí)近似條件下氣泡振動(dòng)幅值隨驅(qū)動(dòng)聲波頻率的變化,如圖2(a)所示.對(duì)雙氣泡組成的系統(tǒng)而言,弱非線性情形下系統(tǒng)存在兩個(gè)共振區(qū),分別在兩氣泡本征頻率附近.氣泡在其本征頻率附近將出現(xiàn)強(qiáng)烈的非線性響應(yīng),表現(xiàn)為共振頻率的偏移以及振幅的躍變,即驅(qū)動(dòng)聲波頻率的微小變化可導(dǎo)致氣泡振動(dòng)振幅的大幅變化和不穩(wěn)定響應(yīng).因此,在共振區(qū)內(nèi),氣泡吸收聲波能力明顯增強(qiáng),不穩(wěn)定性也明顯增強(qiáng),進(jìn)而增加系統(tǒng)的復(fù)雜性.為驗(yàn)證一級(jí)近似條件下氣泡振幅—頻率關(guān)系,根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程(1)式對(duì)幅值-頻率關(guān)系做數(shù)值分析,結(jié)果見圖2(b).對(duì)比圖2(a)與圖2(b)發(fā)現(xiàn),一級(jí)近似條件下氣泡振幅-頻率變化特征與動(dòng)力學(xué)方程給出的特征基本一致.由于氣泡間相互作用以及氣泡振動(dòng)非線性的影響,共振頻率發(fā)生偏移,在兩共振區(qū)內(nèi)均出現(xiàn)非主共振氣泡的小幅共振峰,且小幅共振峰值均在主共振氣泡峰值的左側(cè),但兩種分析得到的峰值頻率稍有差別,主要原因在于理論分析過程中取一級(jí)近似抑制了氣泡振動(dòng)的某些非線性特征,圖2(b)顯示雙泡振動(dòng)系統(tǒng)存在次諧頻共振現(xiàn)象.隨著驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值的增加,氣泡將做強(qiáng)非線性振動(dòng),氣泡振幅幅值-頻率在低頻區(qū)的響應(yīng)將更加復(fù)雜,在低頻區(qū)更容易激勵(lì)氣泡的大振幅振動(dòng),如圖3所示.對(duì)比考慮氣泡間相互作用相關(guān)的次級(jí)聲輻射延遲效應(yīng)影響的各曲線發(fā)現(xiàn),除共振區(qū)外,一般情況下次級(jí)聲輻射的延遲效應(yīng)對(duì)氣泡非線性振動(dòng)幅值影響不大.

圖1 驅(qū)動(dòng)壓力幅值分別為1.5,1.0和0.5 atm時(shí)氣泡徑向振動(dòng)相圖 其中圖 (a)-(c)為氣泡1的振動(dòng)相圖,圖(d)-(f)為氣泡2的振動(dòng)相圖Fig.1.Radial vibration phase diagram at 1.5,1.0,0.5 atm driving pressure amplitude for bubble 1 (a)-(c)and bubble 2 (d)-(f).

圖2 氣泡振動(dòng)幅值-驅(qū)動(dòng)頻率響應(yīng)關(guān)系對(duì)比 (a)理論分析; (b)數(shù)值分析(bubble 1,3 μm,bubble 2,5 μm,驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值pa=0.1 atm)Fig.2.Comparison the responding relationship between vibration amplitude and driving frequency: (a)Theoretical analysis; (b)numerical analysis,where the diameter of the bubble 1 is 3 μm and the bubble 2 is 5 μm,the amplitude of driving pressure is pa=0.1 atm.

圖4給出的數(shù)值分析結(jié)果表明,平衡半徑在2—10 μm間的氣泡具有較強(qiáng)的聲響應(yīng)能力,即在同樣的驅(qū)動(dòng)聲波條件和液體環(huán)境中,氣泡能夠獲得較大徑向振動(dòng)振幅,且平衡半徑接近3 μm的氣泡能夠在較寬的頻率范圍內(nèi)有較好的聲響應(yīng).為探究氣泡平衡半徑變化對(duì)氣泡間相互作用的影響,保持兩氣泡平衡半徑比為5/3,分析平衡半徑 R10在1—30 μm間變化時(shí)氣泡在驅(qū)動(dòng)聲波強(qiáng)度為0.5 atm和500 kHz的振動(dòng)幅值變化規(guī)律.驅(qū)動(dòng)聲波頻率500 kHz對(duì)應(yīng)的線性氣泡共振半徑約為6.25 μm,兩氣泡的響應(yīng)曲線均在線性共振半徑處出現(xiàn)共振峰; 此外,在平衡半徑為3.58 μm處出現(xiàn)次共振峰,此為非線性振動(dòng)氣泡的倍頻共振現(xiàn)象.對(duì)比兩氣泡響應(yīng)曲線可以看出,在考慮次級(jí)聲輻射影響后,發(fā)生相互作用的兩不同平衡半徑氣泡構(gòu)成的系統(tǒng)中小氣泡振幅-平衡半徑曲線的主共振峰受到一定程度的抑制,次共振峰得到加強(qiáng),對(duì)相對(duì)尺度較大的氣泡而言,其兩次共振峰值影響不大,幾乎可以忽略不計(jì).

圖3 氣泡振動(dòng)幅值與驅(qū)動(dòng)頻率的關(guān)系 (a)pa=0.5 atm; (b)pa=1 atm (bubble 1,3 μm; bubble 2,5 μm)Fig.3.Vibration amplitude vs.driving frequency: (a)pa=0.5 atm; (b)pa=1 atm,where the diameter of the bubble 1 is 3 μm,the bubble 2 is 5 μm.

圖4 氣泡振動(dòng)幅值隨初始半徑變化曲線 (a)氣泡1; (b)氣泡2Fig.4.Curves of vibration amplitude with initial radius: (a)Bubble 1,(b)bubble 2.

通過對(duì)耦合振動(dòng)雙氣泡系統(tǒng)的幅值-頻率以及幅值-平衡半徑響應(yīng)分析看出,平衡半徑約為3 μm的小氣泡更容易激發(fā)非線性振動(dòng),但其非線性振動(dòng)幅度在一定程度也受到大氣泡的抑制,此抑制與彼此間次級(jí)聲輻射導(dǎo)致的相互作用有關(guān).在考慮延遲效應(yīng)影響后,彼此間的次級(jí)耦合受到氣泡間距的影響,因此,對(duì)氣泡振幅隨距離變化關(guān)系進(jìn)行了數(shù)值分析,如圖5所示.當(dāng)氣泡間距離較小時(shí),氣泡間的相互作用強(qiáng),小氣泡振動(dòng)受到的抑制也強(qiáng).隨著距離的增加,小氣泡振動(dòng)振幅先減小后增大,最后趨于單氣泡在聲場(chǎng)中的受迫振動(dòng)幅值,大氣泡振動(dòng)幅值有先增加后減小并趨于定值的趨勢(shì),說明氣泡間距超過一定距離后彼此間的相互作用可忽略不計(jì).經(jīng)估計(jì),平衡半徑分別為3 μm和5 μm的氣泡間的有效相互作用距離小于30 μm.

圖5 氣泡間距對(duì)氣泡聲響應(yīng)的影響Fig.5.Influence of bubble distance on sound response of bubbles.

氣泡間的耦合振動(dòng)還受到初始半徑比的影響.圖6給出了平衡半徑 R10=3 μm的氣泡1與不同平衡半徑 R20的氣泡2相互作用的振動(dòng)幅值變化趨勢(shì),驅(qū)動(dòng)聲波頻率為氣泡 R10的線性共振頻率.隨著比值 R20/R10的增大,氣泡1的振動(dòng)幅值先減小后逐步小幅起伏變化,兩氣泡的平衡半徑越接近,氣泡振動(dòng)耦合作用越強(qiáng); 在 1 ＜R20/R10＜2 的范圍內(nèi),氣泡1的振動(dòng)受抑制程度逐漸增加; 在比值 R20/R10＞2 的范圍內(nèi),氣泡2平衡半徑的變化對(duì)氣泡1振動(dòng)幅值的擾動(dòng)相對(duì)較小.對(duì)氣泡2而言,其振動(dòng)幅值先增加后減小并逐步過渡到小幅起伏區(qū),除耦合作用較強(qiáng)的峰值區(qū)外,其聲響應(yīng)變化趨勢(shì)與單氣泡基本一致.氣泡在聲場(chǎng)中平衡半徑會(huì)隨著液體中溶解氣體濃度變化有發(fā)生變化,但從本文數(shù)值分析結(jié)果可以看出,當(dāng) R20/R10＞2 時(shí),弱非線性條件下其平衡半徑變化不會(huì)大幅增加對(duì)氣泡1的抑制作用.

圖6 氣泡平衡半徑比的影響Fig.6.Influence of bubble equilibrium radius ratio.

圖7 驅(qū)動(dòng)壓力影響 (a)R10=R20=3 μm ; (b)R10=3 μm ,R20=5 μmFig.7.Effects of driving pressure: (a)R10=R20=3 μm ; (b)R10=3 μm ,R20=5 μm .

事實(shí)上,氣泡的非線性聲響應(yīng)影響因素很多,驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值、頻率以及氣泡大小是決定性因素,首先頻率和氣泡大小決定了聲場(chǎng)中能夠有共振現(xiàn)象發(fā)生,驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值則影響聲響應(yīng)的強(qiáng)弱,如圖7所示.從圖7(a)可以看出,初始半徑相同的兩氣泡在頻率為其線性共振頻率的聲波驅(qū)動(dòng)下當(dāng)驅(qū)動(dòng)壓力幅值超過0.5 atm后將顯示出較強(qiáng)的非線性特征,次級(jí)聲輻射延遲效應(yīng)的影響也表現(xiàn)得更為顯著; 驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值影響可分為三個(gè)區(qū)域,當(dāng)pa＜ 0.5 atm時(shí),壓力幅值增加,氣泡振幅也隨之增加,二者間的變化率也緩慢增加; 當(dāng)0.5 atm＜ pa＜ 0.7 atm時(shí),壓力幅值變化將引起氣泡振幅較大變化; 當(dāng)pa＞ 0.7 atm,隨著驅(qū)動(dòng)壓力幅值增加氣泡振幅進(jìn)入起伏變化區(qū),表明在此區(qū)域內(nèi)氣泡振動(dòng)具有強(qiáng)非線性,極小的擾動(dòng)可能引起氣泡狀態(tài)的變化.從圖7(b)可以看出,當(dāng)兩平衡半徑不同的氣泡在聲波作用下耦合振動(dòng)時(shí),小氣泡( R10=3 μm)的振動(dòng)將受到抑制,但由于驅(qū)動(dòng)聲波頻率等于小氣泡的自然振動(dòng)頻率,故小氣泡為共振氣泡,仍有較強(qiáng)的聲響應(yīng),但是其振幅隨驅(qū)動(dòng)聲波壓力幅值增加的速率變慢,共振氣泡振幅-驅(qū)動(dòng)聲波幅值變化的趨勢(shì)和雙共振氣泡幅值的變化一致; 雙氣泡系統(tǒng)中大氣泡( R10=5 μm)在該條件下振幅增加的趨勢(shì)相對(duì)平緩,聲響應(yīng)狀態(tài)相對(duì)較弱,但是由于耦合作用的影響,在共振氣泡振幅變化率較大的區(qū)域內(nèi)( 1 .0atm＜pa＜1.5atm ),大氣泡幅值有小幅減小的情況發(fā)生,表明系統(tǒng)在聲耦合時(shí)存在一定程度的此消彼長的情形.

3.3 氣泡非線性振動(dòng)相位特征

Sugita 和Toshihiko[22]在分析平衡半徑等大的氣泡組成雙氣泡振子系統(tǒng)在共振頻率附近的弱非線性聲響應(yīng)時(shí)發(fā)現(xiàn)存在四種模式: 等幅同相振動(dòng)、等幅反相振動(dòng)、局域同相振動(dòng)模式 (x1a≤x2a或 x1a≥x2a),展示了平衡半徑有微小差異時(shí)雙泡振子系統(tǒng)在共振頻率附近聲響應(yīng)的幅值和相位變化特征.實(shí)際上,聲場(chǎng)中的氣泡尺寸分布范圍較大,僅分析等大的雙泡振子系統(tǒng)是不夠的,因此,本文在一級(jí)近似條件下分析了黏性液體中雙泡振動(dòng)系統(tǒng)的相位特征,發(fā)現(xiàn)兩氣泡振動(dòng)相位差在系統(tǒng)共振頻率兩側(cè)有躍變現(xiàn)象,如圖8所示,與Sugita和Toshihiko的分析結(jié)論一致.本文中,氣泡1振動(dòng)初相位為φ1,氣泡2振動(dòng)初相位為0,驅(qū)動(dòng)力振動(dòng)初相位為φ,兩氣泡的振動(dòng)相位差可用φ1表示.雙泡系統(tǒng)存在兩共振頻率,對(duì)由3 μm和10 μm氣泡組成的雙泡系統(tǒng),共振頻率約為 0 .27ω10和 ω10.從驅(qū)動(dòng)力相位變化看,對(duì)氣泡R10=3 μm 而言,當(dāng)ω＜ω10時(shí),氣泡1與驅(qū)動(dòng)力相位相同,當(dāng)ω＞ω10時(shí),可近似認(rèn)為氣泡1與驅(qū)動(dòng)力相位相反.對(duì)氣泡R20=10 μm 而言,在區(qū)間 ( 0.27ω10,ω10)內(nèi),氣泡 2相位落后 π ,其他頻率范圍內(nèi),其振動(dòng)幾乎和驅(qū)動(dòng)力同步.隨著驅(qū)動(dòng)頻率的增加,兩氣泡保持一定的相位差振動(dòng),相位差大小與驅(qū)動(dòng)聲波頻率、驅(qū)動(dòng)聲波強(qiáng)度以及液體黏性等因素有關(guān).在區(qū)間(0.27ω10,ω10)內(nèi),兩氣泡幾乎反相振動(dòng); 但在其他區(qū)域內(nèi),總體上看,平衡半徑3 μm的氣泡1的振動(dòng)超前于平衡半徑10 μm的氣泡2.

圖8 氣泡振動(dòng)相位隨頻率變化 (a)R10=3μm 氣泡初相位φ1; (b)驅(qū)動(dòng)力振動(dòng)初相位φFig.8.Oscillation phase varies with frequency: (a)Initial phase φ1 of R10=3μm ; (b)initial phase φ of driving force.

4 結(jié) 論

基于雙氣泡系統(tǒng)耦合振動(dòng)方程,考慮聲波作用下振動(dòng)氣泡次級(jí)聲輻射延遲效應(yīng)的影響,通過微擾法分析了平衡半徑不同的雙氣泡系統(tǒng)的非線性聲響應(yīng).從數(shù)值分析結(jié)果可看出,微擾法的一級(jí)近似解可近似表征系統(tǒng)聲響應(yīng)的振幅和相位的變化趨勢(shì)和大致規(guī)律.同時(shí),基于非線性振動(dòng)方程分析了驅(qū)動(dòng)聲波頻率、氣泡平衡半徑、氣泡間距、氣泡平衡半徑比值以及驅(qū)動(dòng)壓力幅值等因素對(duì)氣泡聲響應(yīng)振幅的影響.結(jié)果表明,氣泡在聲波驅(qū)動(dòng)下其振動(dòng)可表現(xiàn)出明顯的非線性特征甚至過渡到混沌狀態(tài).次級(jí)聲輻射的延遲效應(yīng)只在共振區(qū)內(nèi)對(duì)氣泡的耦合振動(dòng)幅值有影響,其他區(qū)域可忽略不計(jì).但當(dāng)驅(qū)動(dòng)聲波頻率處在兩氣泡非線性共振頻率之間時(shí),耦合振動(dòng)氣泡在聲波作用下可出現(xiàn)反相振動(dòng)現(xiàn)象.一般應(yīng)用環(huán)境下,超聲波與氣泡之間能量交換環(huán)境為多氣泡體系,體系內(nèi)氣泡間耦合將非常復(fù)雜,因此,通常情況下簡化為特定模型,如雙泡、球狀泡群等研究氣泡間耦合相互作用,雙氣泡體系的聲響應(yīng)研究對(duì)認(rèn)識(shí)多氣泡體系的聲響應(yīng)具有非常重要的研究意義,可為超聲波作用下氣泡參與的超聲治療、超聲診斷以及超聲清洗等應(yīng)用提供理論基礎(chǔ).