用Lagrange方程求自由質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)微分方程

張剛臺(tái)

摘 要：利用Lagrange方程和坐標(biāo)變換的方法，本文詳細(xì)地給出了自由質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)微分方程的求解過(guò)程.在求解過(guò)程中，數(shù)學(xué)推導(dǎo)嚴(yán)密，過(guò)程詳盡，并且思路清晰，這對(duì)于理解和掌握這部分知識(shí)有一定的指導(dǎo)和參考意義。

關(guān)鍵詞：球坐標(biāo)系;Lagrange方程;質(zhì)點(diǎn);微分方程

在分析力學(xué)中，利用Lagrange方程求解力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)微分方程是非常方便的。因?yàn)橹灰肋@個(gè)力學(xué)體系用廣義坐標(biāo)和廣義速度所表示的動(dòng)能以及作用在此力學(xué)體系的廣義力，就可以寫(xiě)出力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)方程。[1]然而，在理論力學(xué)教程（周衍柏編）第五章第三節(jié)中，作者在講授利用Lagrange方程求解自由質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)發(fā)現(xiàn)，雖然教材中已經(jīng)給出了結(jié)果，但推導(dǎo)過(guò)程不夠詳盡，且推導(dǎo)速度表達(dá)式所采用的方法不易理解。一般求解速度的方法通過(guò)對(duì)位置矢量關(guān)于時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)即可得到。另外，教材也是直接給出了力學(xué)體系廣義力的表達(dá)式，并沒(méi)有詳細(xì)說(shuō)明廣義力的表達(dá)式是如何推導(dǎo)出來(lái)的，這使得完全理解更加的困難。本文采用基本的坐標(biāo)變化方法，并給出了詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程和最終結(jié)果。雖然數(shù)學(xué)推導(dǎo)較多，但推導(dǎo)嚴(yán)密、解題思路清晰，這對(duì)于更好理解和掌握這部分知識(shí)有一定的指導(dǎo)和參考意義。

1 球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的基矢變換關(guān)系

5 結(jié)論

本文從球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的基矢變換關(guān)系出發(fā)，詳細(xì)地給出了球坐標(biāo)系中用廣義坐標(biāo)和廣義速度所表示的力學(xué)體系的動(dòng)能及廣義力表達(dá)式的推導(dǎo)過(guò)程，然后將此結(jié)果代入基本形式的Lagrange方程，從而得到了自由質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)微分方程。在求解過(guò)程中，力求數(shù)學(xué)推導(dǎo)嚴(yán)密和過(guò)程詳盡，同時(shí)也注重解題思路澄清，這對(duì)于理解和掌握應(yīng)用Lagrange方程求解自由質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)微分方程有一定的指導(dǎo)和參考價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

[1]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京：高等教育出版社，2009：210-220（3）.

[2]李宏，許文龍.空間直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系變換研究[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，2：49-51.

[3]丁光濤.理論力學(xué)[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013：58-65（1）.