利用理論力學(xué)知識(shí)對(duì)紙飛機(jī)飛行距離的研究

尚余祥

摘 要：紙飛機(jī)為多數(shù)人都玩過的一個(gè)玩具，本文利用理論力學(xué)知識(shí)，把紙飛機(jī)作為研究對(duì)象，探究其飛行原理、飛行過程以及飛行距離和各類因素之間的相關(guān)關(guān)系，最終得出紙飛機(jī)飛行距離的表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：理論力學(xué);紙飛機(jī);飛行距離

世界上有若干具有一定影響力的紙飛機(jī)比賽，通常的參賽規(guī)定是使用一張?zhí)囟ㄒ?guī)格的紙，例如 A4 大小的紙張，折成一架紙飛機(jī)。折好后在無風(fēng)的室內(nèi)環(huán)境投擲，并測(cè)量其留空時(shí)間和飛行距離等成績。一種叫做 Suzanne 的折法曾創(chuàng)下飛行距離的吉尼斯世界紀(jì)錄，現(xiàn)以 Suzanne 紙飛機(jī)為例（圖1），探究飛機(jī)飛行距離表達(dá)式。

一、紙飛機(jī)重心分析

紙飛機(jī)的平衡關(guān)鍵因素是它的重心，如果重心在中心對(duì)稱點(diǎn)上，那么紙飛機(jī)將更加平衡。根據(jù)對(duì)稱性原理，紙飛機(jī)的中心點(diǎn)一般就是飛機(jī)前端到尾翼的中間之處，這樣飛機(jī)就可以十分穩(wěn)定。紙飛機(jī)重心點(diǎn)的位置會(huì)影響到飛行的距離。如果我們折的紙飛機(jī)重心點(diǎn)位置適中，在紙飛機(jī)的下滑過程中，紙飛機(jī)機(jī)翼會(huì)受到均勻的空氣動(dòng)力，保證了飛行的穩(wěn)定性，能飛得更久。機(jī)翼在機(jī)身上的位置決定了紙飛機(jī)重心的位置，如果重心太過靠前，就很難獲得空氣的反作用力，從而有可能加劇了飛機(jī)下落的速度，這種情況下重心與升力之間有偶力矩作用，飛機(jī)前部會(huì)重于后部，使飛機(jī)前部向下俯沖。重心靠后的情況下重心與升力產(chǎn)生的力矩會(huì)使飛機(jī)迅速爬升，但是隨之阻力增加而失速墜落。如果能控制機(jī)翼的位置使重心點(diǎn)位置準(zhǔn)確，則會(huì)增加紙飛機(jī)的穩(wěn)定性，從而使飛機(jī)飛得更遠(yuǎn)。

所以在疊紙飛機(jī)的時(shí)候應(yīng)該盡量將重心靠近最佳位置升力點(diǎn)上（即升力的合力作用點(diǎn)），如此才能保持紙飛機(jī)的穩(wěn)定。[1]升力主要是靠空氣給機(jī)翼反作用力的向上分力，假設(shè)這些力量是均勻分布在機(jī)翼表面，那升力的合力應(yīng)該作用在飛機(jī)機(jī)翼的幾何重心位置。由于紙飛機(jī)是左右對(duì)稱的，所以重心一定在中間的對(duì)稱面上，把紙飛機(jī)對(duì)折起來，然后利用理論力學(xué)上常用的細(xì)繩懸掛法來求出紙飛機(jī)的重心，如圖2所示。

二、建立力學(xué)模型分析飛機(jī)飛行表達(dá)式

紙飛機(jī)的機(jī)翼是平整的，上下表面氣流流速相同，無壓力差，因此我們不能利用伯努利原理去求解紙飛機(jī)的升力，只能利用牛頓第三定律來求解。

對(duì)紙飛機(jī)的機(jī)翼做受力分析，投擲紙飛機(jī)的時(shí)，一般都會(huì)與水平面形成一定的角度，斜向上投擲。這時(shí)機(jī)身與水平線的夾角稱為投擲角。當(dāng)紙飛機(jī)前進(jìn)時(shí)會(huì)給空氣一個(gè)垂直于機(jī)翼的力量，相對(duì)的空氣也會(huì)給機(jī)翼一個(gè)反作用力，這個(gè)力量的垂直分力即為飛機(jī)的升力，水平分力成為阻力的一部分。[2]

紙飛機(jī)的飛行，在不考慮其形狀變化，同時(shí)認(rèn)為折疊完全理想的狀態(tài)下，其飛翔可以看作是給定一定動(dòng)能的飛機(jī)滑翔，即紙滑翔機(jī)，因我們研究的是紙飛機(jī)的水平飛行距離，所以暫且假設(shè)紙飛機(jī)在飛行過程中左翼和右翼受力均勻，而且手在投擲時(shí)也是水平向前發(fā)力，最終紙飛機(jī)不會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，可看作飛機(jī)在一個(gè)平面內(nèi)做上升和滑翔運(yùn)動(dòng)。但是由于紙飛機(jī)飛行過程中受力大小和方向在改變，導(dǎo)致其加速度在改變，進(jìn)一步使得飛機(jī)速度在改變，其實(shí)質(zhì)為變加速曲線運(yùn)動(dòng)，研究該類運(yùn)動(dòng)，則需利用高等數(shù)學(xué)中微積分的知識(shí)，建立加速度、速度和距離之間的關(guān)系。

從x 和 y 兩個(gè)維度去考察紙飛機(jī)上升和滑翔兩個(gè)階段，在紙飛機(jī)離手的時(shí)候，飛機(jī)獲得一定的初速度，初速度與水平方向存在一定的角度，即迎角，當(dāng)紙飛機(jī)上升到最高點(diǎn)時(shí)，紙飛機(jī)在y方向的速度分量變?yōu)?，在水平方向的分量為vx1，在滑翔一段時(shí)間后，紙飛機(jī)落地，落地時(shí)刻水平方向的速度為vx2，y方向的速度分量為0。

上升階段：

受力分析圖3如圖所示。

下降階段：

受力分析如圖4所示：

三、結(jié)語

本文主要進(jìn)行了紙飛機(jī)的飛行原理的探究，在求得重心的基礎(chǔ)上，運(yùn)用理論力學(xué)關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)方面的知識(shí)，并結(jié)合高等數(shù)學(xué)以及非線性目標(biāo)規(guī)劃的方法，建立使得投擲距離最遠(yuǎn)的函數(shù)，然后根據(jù)牛頓第二定律及物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律等知識(shí)建立相應(yīng)的約束條件，建立完整的飛行距離與起飛角度等因素之間的函數(shù)。紙飛機(jī)雖然很小，但是蘊(yùn)含著豐富的力學(xué)和物理學(xué)知識(shí)，讓我們體回到科技的無窮奧妙。

參考文獻(xiàn)：

[1]賈躍華.理論力學(xué)小論文紙飛機(jī)[J].OL，2014-01-14.

[2]陳立群.《理論力學(xué)Ⅰ，Ⅱ》評(píng)介[J].力學(xué)與實(shí)踐，2013，35（04）：98+94.