不確定大氣分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步

王春彥, 邸金紅, 毛北行

(1. 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 智能工程學(xué)院, 鄭州 450015；2. 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 鄭州 450015)

目前, 混沌同步已引起人們廣泛關(guān)注[1-2], 隨著分?jǐn)?shù)階微積分的引入, 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步研究已取得了較多成果[3-4], 由于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)比整數(shù)階系統(tǒng)更貼近模型本身和實(shí)際情況, 因此在系統(tǒng)建模時(shí)可將系統(tǒng)建模為分?jǐn)?shù)階微分方程. 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)同步在生物、 化學(xué)、 醫(yī)療衛(wèi)生、 通訊和物理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 由于滑模方法具有良好的魯棒性, 因此將其引入混沌同步中, 并已取得很多研究成果[5-8], 其中： 文獻(xiàn)[5]研究了三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步; 文獻(xiàn)[6]研究了分?jǐn)?shù)階高維混沌系統(tǒng)的滑模同步; 文獻(xiàn)[7]研究了分?jǐn)?shù)階多混沌系統(tǒng)的滑模同步; 文獻(xiàn)[8]研究了Victor-Carmen分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模新方法. 在實(shí)際應(yīng)用中, 由于存在建模的不確定性和外部擾動(dòng), 使系統(tǒng)性能變差, 甚至使系統(tǒng)癱瘓, 因此必須考慮這些不確定因素的影響: 文獻(xiàn)[9]研究了大氣混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與系統(tǒng)仿真, 對(duì)大氣混沌現(xiàn)象進(jìn)行了研究和系統(tǒng)描述; 文獻(xiàn)[10]研究了分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步. 但利用自適應(yīng)邊界層理論對(duì)分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)的研究尚未見文獻(xiàn)報(bào)道, 基于此, 本文給出分?jǐn)?shù)階滑模面的設(shè)計(jì)及控制器的構(gòu)造, 從而得到大氣混沌系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模同步的兩個(gè)充分條件.

1 主要結(jié)果

Stenflo的大氣熱對(duì)流混沌系統(tǒng)[11]可描述為

(1)

其中α,β,γ,c為常值參數(shù), 當(dāng)α=1,β=0.7,γ=1.5,c=26時(shí), 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractors of system (1)

以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng), 設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

(2)

其中φ(t)=(x1,y1,z1,ω1)T, Δf(φ(t))為不確定項(xiàng),d(t)為有界的外部擾動(dòng), 定義e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=ω1-ω, 可得

(3)

假設(shè)1設(shè)不確定項(xiàng)Δf(φ(t))和外部擾動(dòng)d(t)有界, 即存在未知參數(shù)m,n>0, 使得|Δf(φ(t))|≤m, |d(t)|≤n.

適應(yīng)律為

(5)

x1y1-xy=(x1y1-x1y)+(x1y-xy)=x1e2+ye1,

當(dāng)不在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí), 設(shè)計(jì)

(6)

根據(jù)引理1對(duì)式(6)求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得

兩邊積分,

由引理1可得s(t)→0.

定義1[13]Caputo型分?jǐn)?shù)階微分定義為

分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)[10]可描述為

(7)

設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

(8)

定義

e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=ω1-ω,

可得誤差方程為

(9)

引理2[13]若x(t)為連續(xù)可微函數(shù), 則有

則

即‖y1(t)‖→0, 其中Eα,β(g)表示雙參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù).

(10)

x1y1-xy=(x1y1-x1y)+(x1y-xy)=x1e2+ye1,

當(dāng)不在滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí), 設(shè)計(jì)

(11)

根據(jù)引理2對(duì)式(11)求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù), 可得

由引理3可得s(t)→0.

2 數(shù)值仿真

用MATLAB仿真程序進(jìn)行仿真, 參數(shù)為α=1,β=0.7,γ=1.5,c=26,q=0.947,η=2, 初始值設(shè)為

(x(0),y(0),z(0),ω(0))=(3.2,8.5,3.5,2.0),

Δf(φ(t))+d(t)=0.1sin(t)x1+0.1cost,

定理1和定理2中的系統(tǒng)誤差曲線分別如圖2和圖3所示.由圖2和圖3可見, 系統(tǒng)誤差在初始時(shí)相差較大, 且距原點(diǎn)較遠(yuǎn), 一段時(shí)間后逐漸趨近于原點(diǎn), 表明大氣混沌系統(tǒng)取得了滑模同步.該問題的解決為進(jìn)一步了解和掌握大氣混沌運(yùn)動(dòng)及氣象預(yù)報(bào)具有重要作用.

圖2 定理1中的系統(tǒng)誤差曲線Fig.2 Systematic error curves of theorem 1

圖3 定理2中的系統(tǒng)誤差曲線Fig.3 Systematic error curves of theorem 2

綜上, 本文研究了大氣分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步, 利用控制理論和分?jǐn)?shù)階微分將系統(tǒng)建模為分?jǐn)?shù)階微分方程, 得到大氣混沌系統(tǒng)取得自適應(yīng)滑模同步的兩個(gè)充分條件.結(jié)果表明, 大氣混沌系統(tǒng)在一定的假設(shè)條件下可取得自適應(yīng)滑模同步, 并將整數(shù)階系統(tǒng)的結(jié)論推廣到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng), 對(duì)掌握大氣運(yùn)行規(guī)律和大氣對(duì)流氣象具有一定的指導(dǎo)作用.