三角函數(shù)在高考中的探究

一、三角函數(shù)的地位和作用

三角函數(shù)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容、也是重要內(nèi)容之一.歷年來(lái)在數(shù)學(xué)科高考中都占有重要地位.張景中院士指出：“在中學(xué)數(shù) 學(xué)課程中，三角函數(shù)的內(nèi)容至關(guān)重要.三角函數(shù)不僅是連接幾何與代數(shù)的一座橋梁，還是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條通道.”三角函數(shù)除了具有一般函數(shù)的性質(zhì)外，還呈現(xiàn)出與其他基本初等函數(shù)不一樣的特征，例如具有其獨(dú)特的周期性和對(duì)稱性，并且與向量、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等數(shù)學(xué)知識(shí)有較為緊密的聯(lián)系.更進(jìn)一步，三角函 數(shù)知識(shí)具有豐富的實(shí)際背景和廣泛的應(yīng)用價(jià)值，在其它學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，例如地理學(xué)、力學(xué)、電磁學(xué)等.正是因?yàn)槿呛瘮?shù)內(nèi)容具有這么豐富的特征，因此在高考中考查體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，綜合性和應(yīng)用性的特征.

二、三角函數(shù)在高考中的考查特點(diǎn)

課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來(lái)，高考對(duì)三角函數(shù)的考查呈現(xiàn)出新的特點(diǎn).一是因?yàn)榻陙?lái)課標(biāo)中新增內(nèi)容比較多，三角部分內(nèi)容總體的題量有所控制，在解答題中，與數(shù)列內(nèi)容交替，一般是一大兩小，難度控制中等，在不出解答題的年份，是三道小題，但難度沒(méi)有下降，保持在中 等難度.二是對(duì)三角函數(shù)的考查突出基礎(chǔ)，體現(xiàn)綜合，對(duì)恒等變形的要求和過(guò)去比有所下降，更多強(qiáng)調(diào)對(duì)公式的靈活運(yùn)用.

數(shù)學(xué)科高考對(duì)三角函數(shù)的考查主要體現(xiàn)在以下四個(gè)方面：1.利用數(shù)形結(jié)合考查，通過(guò)圖形分析、研究、總結(jié)三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像特點(diǎn);2.利用三角公式考查，創(chuàng)設(shè)試題情境，靈活運(yùn)用公式，解決問(wèn)題;3.利用真實(shí)情境考查，考查解三角形內(nèi)容，體現(xiàn)三角函數(shù)的 工具性作用;4.體現(xiàn)思維深度，考查創(chuàng)新意識(shí).

（一）利用數(shù)形結(jié)合考查

三角函數(shù)的基本特征之一就是具有很強(qiáng)的幾何特點(diǎn)，這是與其他基本初等函數(shù)不一樣的地方，高中課本中的三角函數(shù)是以單位圓的定義形式給出的.利用圖形解釋、理解知識(shí)，能更好的幫助學(xué)生理解比較抽象的概念，形成直觀印象.因此，在對(duì)三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行考查時(shí)，可以充分利用數(shù)形結(jié)合的思想命制試題.

例1 如圖，圓 O 的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為 M.將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖像大致為（ ）.

本題的背景正是借助單位圓給出了三角函數(shù)的自然語(yǔ)言表征與三角函數(shù)的圖像表征，即“點(diǎn)M到直線OP的距離”與四個(gè)圖像的選項(xiàng).要建立這兩者的關(guān)聯(lián)，可以選擇以三角函數(shù)的解析式表征為橋梁，也可以選擇三角函數(shù)的列表法表征（即尋找特殊值）定性地建立三角函數(shù)的自然語(yǔ)言表征與三角函數(shù)的圖像表征之間的關(guān)聯(lián)，解決問(wèn)題。

（二） 利用三角公式考查

與高中其他內(nèi)容知識(shí)相比，三角函數(shù)知識(shí)的最大特點(diǎn)是公式.通 過(guò)對(duì)公式的應(yīng)用，重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)課程中，要求學(xué)生掌握的三角恒等變形公式主要有兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，正弦、余弦的二倍角公式等.相對(duì) 以前的考試大綱來(lái)說(shuō)，要記憶和掌握的基本公式是減少了，所以更強(qiáng)調(diào)公式的靈活運(yùn)用.這些公式之間存在著密切的聯(lián)系，公式之間可以相互轉(zhuǎn)化，互相推導(dǎo).例如誘導(dǎo)公式中角的周期性變化、正負(fù)取值，兩角和與差公式中角的組合變化等，因此在考查時(shí)，重點(diǎn)考查對(duì)一個(gè)公式的靈活運(yùn)用即可.

例2 已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則 sin（α+β）= .

本題給出兩個(gè)角正弦與余弦關(guān)系式，是兩個(gè)角并不是唯一確定的，角的正弦值和余弦值也不是完全確定的.但是其中的一個(gè)結(jié)果是唯一確定的，即sin（α+β）=.在解題過(guò)程中，需要綜合考慮用哪個(gè)公式，能更有效、準(zhǔn)確地解決問(wèn)題.實(shí)際上既可以通過(guò)整體運(yùn)算，得到sinαcosβ+cosαsinβ的值，也可以通過(guò)兩個(gè)等式的關(guān)系，求出每一個(gè)角的正弦與余弦值

（三）利用真實(shí)情景考查

近年來(lái)，三角函數(shù)試題的背景越來(lái)越豐富，不少試題背景涉及實(shí)際生活情境，考查解三角形內(nèi)容，體現(xiàn)了三角函數(shù)的工具性特點(diǎn)，考查了學(xué)生的應(yīng)用能力.這主要體現(xiàn)在拓寬試題材料來(lái)源，設(shè)計(jì)自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活等多個(gè)領(lǐng)域中能運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)的內(nèi)容作為背景材料，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決學(xué)習(xí)和生活中實(shí)際問(wèn)題的能力，體現(xiàn)出三角函數(shù)的工具性作用.

（四） 對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查

創(chuàng)新意識(shí)是高考的考查重點(diǎn)和特點(diǎn)，高考對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的考查主要體現(xiàn)在，對(duì)于社會(huì)和自然中存在的各種現(xiàn)象或問(wèn)題，鼓勵(lì)學(xué)生敢于沖破習(xí)慣思維的束縛打破常規(guī)發(fā)現(xiàn)思考問(wèn)題或提出理論.在此過(guò)程中學(xué)生要運(yùn)用豐富的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，從各種數(shù)據(jù)文字資料中獲取有用信息，運(yùn)用判斷、歸納、演繹、比較、概括等方法辯證地討論問(wèn)題的各個(gè)影響因素，提出研究問(wèn)題的思路和方法步驟，或者提出新的觀點(diǎn)、新的發(fā)現(xiàn)、新的規(guī)律.三角函數(shù)兼具幾何與代數(shù)兩方面的特點(diǎn)，其變式是多種多樣的.因此可以充分利用這些特點(diǎn)考查學(xué)生的獨(dú)立思考、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，要求學(xué)生能夠?qū)⑷呛瘮?shù)的知識(shí)應(yīng)用到問(wèn)題情境中.

例3 在平面四邊形ABCD 中，∠A=∠B= ∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 .

本題給出了四邊形的一條邊的度量值，以及三個(gè)角的大小，是一 個(gè)局部可解的四邊形問(wèn)題.學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)需要注意三角形與四邊形之間的橫向聯(lián)系.本試題的考查目標(biāo)不是為了獲得解四邊形的一般法則、原理或公式，而是把解三角形的一般理論、法則與公式運(yùn)用到一個(gè)新的情境中，據(jù)此考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，特別是幾何思維能力.當(dāng)學(xué)生在幾何上分析清楚四邊形ABCD 的各種變化的可能性后，運(yùn)用解三角形的基本知識(shí)與技能即可最后解決問(wèn)題。

從高考對(duì)三角函數(shù)的考查可以看出，考查形式靈活多變，考查側(cè)重點(diǎn)有所不同.這是由于三角函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)決定的，這部分內(nèi)容容易與其他部分的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，更容易與實(shí)際情境相結(jié)合.在這部分命題實(shí)踐時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意三個(gè)方面的結(jié)合：一是問(wèn)題與已有知識(shí)間的聯(lián)系;二是不同的數(shù)學(xué)概念及其表征的聯(lián)系;三是數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用背景間的聯(lián)系。

作者簡(jiǎn)介：黃顯富（1978-5），男，滿族，遼寧鞍山人，本科學(xué)歷，鞍山市第十三中學(xué)，一級(jí)教師，任教學(xué)科：數(shù)學(xué)