數(shù)學(xué)中考代數(shù)綜合題的命題規(guī)律及教學(xué)策略

陳建平

【摘要】結(jié)合新課標(biāo)與考綱，通過(guò)對(duì)2017年幾個(gè)省的中考數(shù)學(xué)代數(shù)綜合題進(jìn)行分析，尋找隱含在解題思路中相對(duì)穩(wěn)定的命題規(guī)律，然后從“重視概念的精致，構(gòu)建完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”“重視數(shù)學(xué)思想方法領(lǐng)悟”“重視答題的心理狀態(tài)”三個(gè)角度和常規(guī)、融合、深化三個(gè)教學(xué)階段，制定相應(yīng)的教學(xué)策略，提高學(xué)生解決此類數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)中考；代數(shù)綜合題；教學(xué)策略

代數(shù)綜合題是中考數(shù)學(xué)的必考題目，是實(shí)現(xiàn)試題區(qū)分度的主要題目之一，考察學(xué)生關(guān)于代數(shù)部分的綜合解題能力。在廣東中考的考綱中，明確規(guī)定第23題分值為9分，對(duì)于考生的總分能否上100分有決定性作用。因此，無(wú)論從提升學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力，還是從提高學(xué)生應(yīng)試水平來(lái)看，研究它的教學(xué)策略都有著重要的意義和價(jià)值。筆者將對(duì)2017年的幾道中考數(shù)學(xué)代數(shù)綜合題進(jìn)行分析。

一、真題呈現(xiàn)

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+ax+b交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線BP與y軸相交于點(diǎn)C。

（1）求拋物線y=-x2+ax+b的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，求sin∠OCB的值。

本題還用到2017年中考數(shù)學(xué)真題的“廣州卷第23題”、“嘉興卷第20題”、“深圳卷第21題”、“湖南省湘潭卷第25題”。

二、分析真題，尋找命題規(guī)律

（一）求函數(shù)解析式

上述真題考察了求解二次函數(shù)（拋物線）、一次函數(shù)（直線）、反比例函數(shù)（雙曲線）的解析式，而求解析式一般的做法是用待定系數(shù)法。待定系數(shù)法最關(guān)鍵一步是：得到在圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)。

題型1，直接用待定系數(shù)法，把已知點(diǎn)代入。如廣東省的題目直接給出圖象上的兩點(diǎn)求兩個(gè)待定系數(shù)，湖南省的題目直接給出圖象上的一個(gè)點(diǎn)求出一個(gè)待定系數(shù)。題型2，轉(zhuǎn)換交點(diǎn)定義，給出兩個(gè)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)。學(xué)生需要理解交點(diǎn)就是在每個(gè)相交的圖象上的點(diǎn)，如廣州、深圳、嘉興的題目。由于三元一次方程組是選修內(nèi)容，因此題目一般不會(huì)給出圖象上三個(gè)點(diǎn)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。除非其中一個(gè)點(diǎn)是與y軸的交點(diǎn)，即獲得常數(shù)項(xiàng)c的值，從而代入數(shù)值即得二元一次方程組。題型3，給出的交點(diǎn)坐標(biāo)含有未知數(shù)。要先用一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)求出其中一個(gè)解析式，再把另一個(gè)含有未知數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出該交點(diǎn)坐標(biāo)，如深圳、嘉興的題目。題型4，需要結(jié)合其他知識(shí)求出圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，如2016年廣東省的中考題第23題。給出一個(gè)已知點(diǎn)P，先要求出點(diǎn)P關(guān)于直線y=x對(duì)稱點(diǎn)Q（拋物線上點(diǎn)）的坐標(biāo)。又如，2017廣州的中考題：二次函數(shù)y1的對(duì)稱軸與y2交于點(diǎn)A（-1，5），學(xué)生需要理解對(duì)稱軸就是x=-1，便可求出m的值，再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入，即可求出n的值，從而得到解析式。其第2問(wèn)，若y2隨著的增大而增大，且y1與y2都經(jīng)過(guò)x軸上的同一點(diǎn)。要求y2的解析式，只有一個(gè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是不夠的，還要尋找二次函數(shù)y2圖象上的另一點(diǎn)?！皔1與y2都經(jīng)過(guò)x軸上的同一點(diǎn)”，即告訴學(xué)生令y1=0，可以列出一個(gè)一元二次方程，求出與x軸交點(diǎn)，這就是y2經(jīng)過(guò)的第2個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于與x軸交點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為0，于是就得到另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。

還有一些題目給出一次函數(shù)或反比例函數(shù)名稱但沒(méi)有給出解析式，需要先設(shè)解析式，再用待定系數(shù)求出其解析式。

（二）在函數(shù)圖象的背景下，構(gòu)造三角形模型問(wèn)題

題型1，構(gòu)造直角三角形。如廣東題的第2小題，點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，知道點(diǎn)B的坐標(biāo)，但不知道點(diǎn)C的坐標(biāo)，無(wú)法利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。如果學(xué)生能用構(gòu)造直角三角形的想法，便很容易獲得解題思路。如圖2，在Rt△ABC中，作PD垂直于直線AB于點(diǎn)D，則PD∥OC。此時(shí)，圖中出現(xiàn)了Rt△PBD和Rt△OBC。因?yàn)辄c(diǎn)P為線段BC中點(diǎn)，所以點(diǎn)D也為線段OB的點(diǎn)，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1.5。再把橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，便可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)。如果學(xué)生做第三問(wèn)求sin∠OCB，想到在Rt△OBC中運(yùn)用解直角三形的方法，會(huì)自然獲得解題思路，先求點(diǎn)C的坐標(biāo)。而求點(diǎn)C的坐標(biāo)，又需要用到前面Rt△PBD和Rt△OBC構(gòu)成的圖形，得到OC=2PD。PD就是點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，前面已經(jīng)求出，此題解題思路已明。深圳的題目（圖3）也可以構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，把證AD=BC的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求這兩個(gè)直角三角形全等的問(wèn)題。圖2圖3

題型2，構(gòu)造等腰三角形。嘉興題目的第二問(wèn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使其為等腰三角形？題目只給出線段AB（圖4），需要在x軸上找點(diǎn)P，連接PA、PB構(gòu)造等腰三角形?？煞秩惽闆r構(gòu)造等腰三角形，PA=AB、PB=AB、PA=PB。第1類以A為圓心，線段AB為半徑作圓，與x軸相交的點(diǎn)即為點(diǎn)P（圖中的P1、P2）；第2類以B為圓心，線段AB為半徑作圓，與x軸相交的點(diǎn)即為點(diǎn)P（圖中的P3、P4）。最后一類，作線段AB的垂直平分線，與x軸相交的點(diǎn)即為點(diǎn)P（圖中的P5）。本題的點(diǎn)P是有限制的，要求n>0，即點(diǎn)P要在x軸的正半軸。因此符合要求的點(diǎn)P，只有P2、P4。湖南省湘潭市題目的最后一問(wèn)，要在拋物線上找點(diǎn)P。比較容易想到的一種情況是，過(guò)點(diǎn)A作PA//BC，交拋物線點(diǎn)于P，由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可知此時(shí)點(diǎn)P為所求。但另外一種情況，就需要構(gòu)造等腰三角形，如圖5，作線段AB的垂直平分線，交拋物線于點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)D，則△ABD為等腰三角形，AD=BD。

圖4圖5

題型2，把多邊形切割為三角形或梯形求面積最值。把廣東的題目進(jìn)行變式，加上問(wèn)題“在（2）的條件下，在線段PB上方的拋物線上找點(diǎn)Q，使得四邊形PABQ的面積最大，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)和四邊形PABQ的面積。”方法1（圖6），由于四邊形PABQ可以切割為△ABP和△PBQ，而⊿ABP是不變的，要求四邊形的最大值，即求△PBQ的最大值。過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線并線段BC于點(diǎn)H。此時(shí)把△PBQ拆成△PQH和△BQH，拆成的兩個(gè)三角形，它們的底都是QH，高的和是點(diǎn)P與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)之差（固定值）。線段QH取最大值的時(shí)候，△PBQ的面積最大。QH的長(zhǎng)度可以用拋物線與直線BC的解析式之差來(lái)表示，這樣就轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)的最大值問(wèn)題。方法2（圖7），把四邊形PABQ拆為△PAG、△BQH和梯形PGHQ。其中△PAG面積不變，梯形PGHQ與△BQH的和可以用含有x的函數(shù)來(lái)表示，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題。圖6圖7

三、教學(xué)策略

（一）重視概念的精致，構(gòu)建完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)教育心理學(xué)理論指出：個(gè)體對(duì)概念的理解結(jié)果既非來(lái)自外部提供的信息，也不是原來(lái)的長(zhǎng)時(shí)記憶，而是思維過(guò)程的產(chǎn)物，認(rèn)知心理學(xué)家將之稱為“精致的概念”。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“精致”的實(shí)質(zhì)是對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延進(jìn)行盡量詳細(xì)的“深加工”，對(duì)“概念要素”進(jìn)行具體界定，以使學(xué)生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證，對(duì)概念的細(xì)節(jié)把握得更加準(zhǔn)確，理解概念的各個(gè)方面，獲得概念的某些限制條件等。對(duì)概念的精致越充分，越能形成良好的記憶。一旦某個(gè)概念出現(xiàn)遺忘，精致還可以幫助個(gè)體進(jìn)行重新推導(dǎo)。對(duì)概念的另一種精致方式是組織。組織是對(duì)新信息分類并標(biāo)明它們之間關(guān)系的過(guò)程。在概念的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念，使所學(xué)概念與其相關(guān)的知識(shí)之間的聯(lián)系明確化，使概念的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)更加清晰。這一過(guò)程使概念成為一種有層次的“組織”，其作用是能使人對(duì)記憶進(jìn)行結(jié)構(gòu)化地搜索，這將使概念的提取更加迅速和準(zhǔn)確。[1]

因此，在中考數(shù)學(xué)代數(shù)綜合題的教學(xué)中，先讓學(xué)生把一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)各自的概念、性質(zhì)理解透徹，再把三者結(jié)合一起研究學(xué)習(xí)，重新組織三者，進(jìn)行混合運(yùn)用。當(dāng)對(duì)概念精致到一定程度后，自然會(huì)構(gòu)建一個(gè)相對(duì)完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）重視數(shù)學(xué)思想方法領(lǐng)悟

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。因此把數(shù)學(xué)思想方法作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是必要的。從上述討論構(gòu)造三角形模型的解題思路，滲透著數(shù)學(xué)建模思想與數(shù)形結(jié)合思想；從圖中找等腰三角形，滲透著幾何直觀的思想；從構(gòu)建函數(shù)解決面積最大值問(wèn)題，滲透著函數(shù)的思想；求解析式時(shí)，使用待定系數(shù)法等。因此，在講解中滲透各種數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生領(lǐng)悟并掌握顯得尤為重要。

（三）重視答題的心理狀態(tài)

從每年廣東的中考評(píng)卷情況來(lái)看，大部分學(xué)生的第1、第2問(wèn)做得并不理想。除了不會(huì)做的原因外，更重要的原因是心理狀態(tài)。要解決學(xué)生的畏難情緒，教師需要在平時(shí)教學(xué)中教會(huì)學(xué)生如何保持心理的平穩(wěn)、安定、適度緊張的心理狀態(tài)。要學(xué)生在平時(shí)的解題中理解第1問(wèn)一般是常規(guī)題，只要平時(shí)做到概念的精致，并且靈活組織運(yùn)用三類函數(shù)，就能快速解決。如果遇到稍難的第2問(wèn)，一般用化歸、建模、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想可以解決。教師盡量不主張題海戰(zhàn)術(shù)，但適量的題目練習(xí)還是必須的。

四、結(jié)語(yǔ)

中考數(shù)學(xué)代數(shù)綜合題是歷年中考的拉分題，是提高試題區(qū)分度的主要題目。學(xué)生需要一個(gè)系統(tǒng)的專題教學(xué)才能達(dá)到中考考查優(yōu)生的應(yīng)有水平。本文只是選擇2017年的五道中考數(shù)學(xué)代數(shù)綜合題，必然存在一定的片面性，還有很多考察的題型并沒(méi)有在本文敘述。其次，如果能從一道基本的典型的母題，逐步變式，把所有的題型都能涉及，學(xué)生可能更容易領(lǐng)悟并掌握。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

[2]鄒香根.淺談中考數(shù)學(xué)試題的題型及解題策略[J].中學(xué)教學(xué)參考，2015（08）：47～48.

[3]張雁.中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題四——代數(shù)與幾何綜合題復(fù)習(xí)[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2013（06）.