一類具有Lévy跳的隨機(jī)三種群食物網(wǎng)模型

冀星 劉桂榮

摘 要：為了深入研究具有雙參數(shù)擾動(dòng)及Lévy跳的隨機(jī)三種群食物網(wǎng)模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，首先給出了模型全局正解的存在唯一性;然后通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，并且應(yīng)用It公式和Chebyshev不等式證明了該模型的隨機(jī)最終有界性;接著利用指數(shù)鞅不等式和Borel-Cantelli引理分析了種群滅絕的充分條件;最后運(yùn)用數(shù)值模擬驗(yàn)證了相應(yīng)理論結(jié)果的合理性。研究結(jié)果表明，在Lévy噪聲的影響下模型是隨機(jī)最終有界的，并且較大的Lévy噪聲可以導(dǎo)致種群的滅絕。研究方法在理論證明和數(shù)值模擬方面都得到了良好的預(yù)期結(jié)果，對(duì)于探究其他隨機(jī)種群模型的一些問題具有一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞：定性理論;食物網(wǎng)模型;最終有界性;滅絕性;Lévy跳

中圖分類號(hào)：O21163?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-1542（2019）04-0301-06

捕食者與食餌之間的相互作用是最重要的生態(tài)現(xiàn)象之一。近年來，三種群捕食者-食餌模型的一些動(dòng)力學(xué)性質(zhì)得到了許多學(xué)者的廣泛研究[1-5]。

考慮到種群系統(tǒng)因不可避免地受到環(huán)境白噪聲的影響而受到許多關(guān)注[6-12]，文獻(xiàn)[6]建立了下列隨機(jī)三種群食物網(wǎng)模型：

3?結(jié)?論

本文研究了一類具有雙參數(shù)擾動(dòng)及Lévy跳的隨機(jī)三種群食物網(wǎng)模型全局正解的存在唯一性和隨機(jī)最終有界性，討論了種群滅絕的充分條件，并運(yùn)用數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)果的合理性。研究結(jié)果表明，在Lévy噪聲的影響下模型是隨機(jī)最終有界的，并且Lévy噪聲可以導(dǎo)致種群的滅絕。因此，在考慮某些突發(fā)性環(huán)境沖擊時(shí)，具有Lévy跳的隨機(jī)模型有利于更好地研究種群的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。在未來的研究中，將著力于考慮該模型的一些其他的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。

參考文獻(xiàn)/References：

[1]?SEN D， GHORAI S， BANERJEE M . Complex dynamics of a three species prey-predator model with intraguild predation [J]. Ecological Complexity， 2018， 34： 9-22.

[2]?PANJA P， MONDAL S K. Stability analysis of coexistence of three species prey-predator model [J]. Nonlinear Dynamics， 2015， 81（1/2）： 373-382.

[3]?趙治濤， 張開蕊， 張玲. 具有食餌互惠的隨機(jī)三種群捕食模型的持續(xù)與滅絕[J]. 黑龍江大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)， 2017，34（1）：23-34.

ZHAO Zhitao， ZHANG Kairui， ZHANG Ling. Persistence and extinction for a stochastic three species predation model with prey mutualism [J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University， 2017，34（1）：23-34.

[4]?CHEN Bin， WANG Minxing. Positive solutions to a three-species predator-prey model [J]. Acta Mathematica Scientia， 2008， 28（6）： 1256-1266.

[5]?DUBEY B， UPADHYAY R K. Persistence and extinction of one-prey and two-predators system [J]. Nonlinear Analysis Modelling & Control， 2004， 9（4）： 307-329.

[6]?QIU Hong， DENG Wenmin. Stationary distribution and global asymptotic stability of a three-species stochastic food-chain system [J].Turkish Journal of Mathematics， 2017， 41： 1292-1303.

[7]?DALAL N， GREENHALGH D， MAO Xuerong. A stochastic model for internal HIV dynamics [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2008， 341（2）： 1084-1101.

[8]?VASILOVA M. Asymptotic behavior of a stochastic Gilpin-Ayala predator-prey system with time-dependent delay [J]. Mathematical & Computer Modelling， 2013， 57（3/4）： 764-781.

[9]?MAITI A， JANA M M， SAMANTA G P. Deterministic and stochastic analysis of a ratio-dependent predator-prey system with delay [J]. Nonlinear Analysis Modelling & Control， 2013， 12（3）： 383-398.

[10]DU Bo. Existence， extinction and global asymptotical stability of a stochastic predator-prey model with mutual interference [J]. Journal of Applied Mathematics and Computing， 2014， 46（1/2）： 79-91.

[11]劉蒙. 隨機(jī)種群模型若干性質(zhì)的研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)， 2012.

LIU Meng. Analysis on Some Properties of Stochastic Population Systems [D]. Harbin： Harbin Institute of Technology， 2012.

[12]DU Bo， WANG Yamin， LIAN Xiuguo. A stochastic predator-prey model with delays [J]. Advances in Difference Equations， 2015， 2015（1）： 141-148.

[13]LIU Qun， JIANG Daqing， SHI Ningzhong， et al. Stochastic mutualism model with Lévy jumps [J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation， 2017， 43： 78-90.

[14]臧彥超， 李俊平. 帶Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)和Lévy噪聲的隨機(jī)捕食-被捕食系統(tǒng)的漸近性質(zhì)[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2015， 38（2）： 340-349.

ZANG Yanchao， LI Junping. A dynamics of a stochastic predator-prey system with Beddington-DeAngelis functional response and Lévy jumps [J]. Acta Mathematicae Applicatae Sinica， 2015， 38（2）： 340-349.

[15]LIU Meng， ZHU Yu. Stationary distribution and ergodicity of a stochastic hybrid competition model with Lévy jumps [J]. Nonlinear Analysis： Hybrid Systems， 2018， 30： 225-239.

[16]ZHANG Xinhong， JIANG Daqing， HAYAT T， et al. Dynamics of a stochastic SIS model with double epidemic diseases driven by Lévy jumps [J]. Physica A： Statistical Mechanics and its Applications， 2017， 471（1）： 767-777.

[17]ZHANG Qiumei， JIANG Daqing， ZHAO Yanan， et al. Asymptotic behavior of a stochastic population model with Allee effect by Lévy jumps [J]. Nonlinear Analysis： Hybrid Systems， 2017， 24： 1-12.

[18]LIU Meng ， BAI Chuanzhi ， DENG Meiling ， et al. Analysis of stochastic two-prey one-predator model with Lévy jumps [J]. Physica A： Statistical Mechanics and Its Applications， 2016， 445： 176-188.

[19]MAO Xuerong. Stochastic Differential Equations and Applications [M]. Chichester： Horwood ?Publishing Limited， 2007.

[20]LIPSTER R S H. A strong law of large numbers for local martingales [J]. Stochastics，1980， 3（4）： 217-3228.

[21]ZOU Xiaoling， WANG Ke. Numerical simulations and modeling for stochastic biological systems with jumps[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2014， 19（5）： 1557-1568.