一類(lèi)分?jǐn)?shù)階q型差分邊值問(wèn)題中的混合單調(diào)方法

韓偉 孟曉宇 桑彥彬

摘 要：為了研究一類(lèi)非線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階q型差分方程邊值問(wèn)題非平凡解的存在唯一性。首先，在一個(gè)新的集合上定義一個(gè)新概念，再利用正規(guī)錐的定義，建立了2個(gè)混合單調(diào)算子唯一不動(dòng)點(diǎn)的存在性，獲得了線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階q型邊值問(wèn)題的Green函數(shù)，并且對(duì)Green函數(shù)的上下界進(jìn)行了估計(jì)，由此可得到特解的表達(dá)形式。其次，運(yùn)用抽象定理，討論了符合定理?xiàng)l件的非線(xiàn)性項(xiàng)，建立了上述問(wèn)題的唯一解的存在性，并獲得逼近唯一解的迭代序列，進(jìn)而證明了分?jǐn)?shù)階q型差分方程邊值問(wèn)題非平凡解的存在唯一性。最后，通過(guò)列舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明主要定理和結(jié)果的有效性。研究結(jié)果表明，定理?xiàng)l件得證且方程組邊值問(wèn)題非平凡解滿(mǎn)足存在唯一性。研究方法在理論證明和邊值問(wèn)題方面都得到了良好的結(jié)果，對(duì)探究其他邊值問(wèn)題具有一定的借鑒意義。

關(guān)鍵詞：非線(xiàn)性偏微分方程;分?jǐn)?shù)階q型差分方程;混合單調(diào)算子;存在唯一性;非平凡解

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.25?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-1542（2019）04-0307-10

分?jǐn)?shù)階微分方程一直是人們關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題，其研究成果不斷涌現(xiàn)。近幾年，由于分?jǐn)?shù)階q型差分方程邊值問(wèn)題在許多不同的專(zhuān)業(yè)場(chǎng)合中具有廣泛的應(yīng)用，具備了重要的應(yīng)用價(jià)值，如文獻(xiàn)[1—6]及其參考文獻(xiàn)。分?jǐn)?shù)階q型差分方程邊值問(wèn)題已被證明是非常有前途的研究與應(yīng)用領(lǐng)域。AGARWAL[1]提出了分?jǐn)?shù)階q型微積分，相關(guān)的研究包括分?jǐn)?shù)階q型差分微積分理論的推廣、分?jǐn)?shù)階q型差分方程邊值問(wèn)題的耦合系統(tǒng)[3，7-18]。例如，AHMAD等[7]研究出用不動(dòng)點(diǎn)理論解出具有分離邊界條件的q積分差分方程解的存在性和唯一性。此外，MIAO等[17]利用偏序集中的不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了帶p拉普拉斯算子的分?jǐn)?shù)階q型差分方程邊值問(wèn)題正解的唯一性。FERREIRA[12]利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)理論，研究了非線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階q型差分方程邊值問(wèn)題正解的存在性：

4?結(jié)?論

本文研究了一類(lèi)非線(xiàn)性分?jǐn)?shù)q階型差分方程邊值問(wèn)題，在正規(guī)錐中建立2個(gè)混合單調(diào)算子不動(dòng)點(diǎn)的存在性，獲得了Green函數(shù)中特解的結(jié)構(gòu)和上下界的估計(jì)，運(yùn)用抽象定理構(gòu)造迭代序列和抽象和算子，在前人的基礎(chǔ)上建立了其解的存在性定理，通過(guò)驗(yàn)證定理所滿(mǎn)足的條件得出具有混合單調(diào)性的二元方程組的非平凡解并證出唯一性，最后舉出一個(gè)例子說(shuō)明主要結(jié)果。結(jié)果表明，定理?xiàng)l件得證且方程組邊值問(wèn)題非平凡解滿(mǎn)足存在唯一性。研究方法在理論證明和邊值問(wèn)題方面都得到了良好的結(jié)果，對(duì)探究其他邊值問(wèn)題具有一定的借鑒意義。

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