變頻空調(diào)器最大APF指標(biāo)的快速求解方法

(上海交通大學(xué)制冷與低溫工程研究所 上海 200240)

變頻空調(diào)器具有高效、節(jié)能和舒適的優(yōu)點(diǎn)，已發(fā)展成家用空調(diào)器市場(chǎng)的主導(dǎo)產(chǎn)品[1]。變頻空調(diào)器能效采用APF指標(biāo)衡量，其計(jì)算式由GB/T 7725—2004規(guī)定[2]。變頻空調(diào)器APF由額定制冷、中間制冷、額定制熱、中間制熱和低溫制熱5個(gè)工況下的能力、能效值計(jì)算得到，是一個(gè)具有10個(gè)自變量的函數(shù)[3-4]。APF定義式由國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中的隱式表達(dá)式給出。APF各個(gè)變量之間存在相互關(guān)系，使APF最大值無(wú)法直接從APF定義式中獲得[5]。

目前主要采用多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)獲得空調(diào)器最大APF[6-7]，進(jìn)行多次空調(diào)器的整機(jī)實(shí)驗(yàn)，直至APF達(dá)到最大值[8-9]。獲得一個(gè)APF需要實(shí)驗(yàn)測(cè)得5個(gè)工況的能力和能效數(shù)據(jù)，所以通過(guò)多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)獲得最大APF的方法所需的總實(shí)驗(yàn)次數(shù)極大。此外，該方法得到的最大APF是有限工況點(diǎn)下的最大APF，并非理論上的APF全局最大值。

采用系統(tǒng)仿真方法獲得最大APF可以減少實(shí)驗(yàn)次數(shù)，但仍需大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行精度驗(yàn)證[10-11]。系統(tǒng)仿真方法是通過(guò)國(guó)標(biāo)性能約束和幾何尺寸約束建立空調(diào)整機(jī)模型，并進(jìn)行多次空調(diào)器的系統(tǒng)仿真，直至APF達(dá)到最大值?？照{(diào)器在APF 5個(gè)測(cè)試工況下的運(yùn)行特性差異很大，如環(huán)境溫度、蒸發(fā)溫度、冷凝溫度、壓縮機(jī)的壓縮比[12-13]，導(dǎo)致空調(diào)器整機(jī)模型精度驗(yàn)證十分復(fù)雜。

目前還沒(méi)有一種簡(jiǎn)單快速地求解變頻空調(diào)器最大APF的方法?？焖偾蠼饪照{(diào)器的最大APF存在兩個(gè)困難：1)國(guó)標(biāo)中APF定義式是隱式的，無(wú)法直接用優(yōu)化算法求解最大APF；2)空調(diào)器5個(gè)工況之間存在相互聯(lián)系，能力和能效的值也受到約束，將每個(gè)工況單獨(dú)匹配到最優(yōu)并不能使APF最大[14-15]。

本文提出一種多約束條件下的尋優(yōu)方法，可快速求解出最大APF。

1 快速求解最大APF的方法

快速求解APF最大值的思路是以APF公式作為目標(biāo)函數(shù)，以國(guó)標(biāo)性能約束和幾何尺寸約束作為約束方程，采用多約束條件尋優(yōu)法求解。

快速求解APF最大值的步驟如下：1)將國(guó)標(biāo)中復(fù)雜的APF隱式定義式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的APF顯示計(jì)算公式；2)根據(jù)國(guó)標(biāo)中的限制和空調(diào)器幾何尺寸的約束，推導(dǎo)APF各個(gè)自變量的相互約束方程；3)聯(lián)立目標(biāo)函數(shù)與約束條件，采用多約束條件尋優(yōu)法求解得到APF最大值，如式(1)、式(2)所示。

APFmax=f(φcr,φcm,φhr,φhm,φdef,EERcr,EERcm,COPhr,COPhm,COPdef)

(1)

(2)

2 APF目標(biāo)函數(shù)顯式公式推導(dǎo)

為提升APF的計(jì)算速度，首先需要解決隱式方程迭代計(jì)算速度過(guò)慢的問(wèn)題，需要將APF的原始隱式定義式轉(zhuǎn)化為顯式公式；其次應(yīng)盡可能簡(jiǎn)化表達(dá)式，以進(jìn)一步提升計(jì)算速度。

2.1 國(guó)標(biāo)中的APF隱式定義式

APF是指空調(diào)器在制冷季節(jié)和制熱季節(jié)期間，從室內(nèi)空氣中除去的冷量與送入室內(nèi)熱量的總和與同期間內(nèi)消耗電量的總和之比，定義式由GB/T 7725—2004給出，如式(3)所示。CSTL為制冷季節(jié)總負(fù)荷，Wh；HSTL為制熱季節(jié)總負(fù)荷，Wh；CSTE為制冷季節(jié)耗電量，Wh；HSTE為制熱季節(jié)耗電量，Wh。這4個(gè)變量的定義分別由式(4)～式(7)確定，計(jì)算過(guò)程中的其余變量由GB/T 7725—2004給出。

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：tj為室外溫度，℃；nj為各個(gè)室外溫度的小時(shí)數(shù)，h；φcr2(tj)為空調(diào)器的制冷能力，W；Pc2為額定耗電量，W；BLc(tj)為建筑冷負(fù)荷，W；BLh(tj)為建筑熱負(fù)荷，W；Ph(tj)為制熱運(yùn)行耗電量，W；PRH(tj)為輔助電加熱量，W。

2.2 APF隱式公式的顯式化推導(dǎo)

根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)定義的APF計(jì)算方法，需要利用大量公式，非常繁雜。其中CSTL、HSTL、CSTE和HSTE的表達(dá)式是隱式的，計(jì)算中需要反復(fù)迭代，增加了計(jì)算量。因此需要將APF的隱式定義式轉(zhuǎn)化為顯式計(jì)算式。

轉(zhuǎn)換成顯式計(jì)算式的思路是，先通過(guò)消元將APF計(jì)算式中的隱式變量CSTL、HSTL、CSTE和HSTL分別推導(dǎo)為顯式表達(dá)式，然后將這些顯式表達(dá)式帶入APF定義式。

轉(zhuǎn)換過(guò)程主要步驟為：將國(guó)標(biāo)中φcr2(tj)和BLc(tj)的公式代入式(4)，得到CSTE關(guān)于額定制冷量的函數(shù)，如式(8)所示；將國(guó)標(biāo)中BLh(tj)的公式代入式(5)，得到HSTL關(guān)于額定制冷量的函數(shù)，如式(9)所示；將國(guó)標(biāo)中Pclm(tj)、Pcm2(tj)和Pc2(tj)的公式代入式(6)，得到CSTE的顯式公式，如式(10)所示；將國(guó)標(biāo)中Ph(tj)、PRH(tj)的公式代入式(7)，得到HSTE的顯式公式，如式(11)所示。

CSTL=626.67φcr

(8)

HSTL=368.29φcr

(9)

(10)

(11)

最后將式(8)～式(11)帶入式(3)，得到APF的顯式表達(dá)式，如式(12)所示。

APF=991.29φcr2/(CSTE+HSTE)

(12)

2.3 APF顯式計(jì)算式簡(jiǎn)化

由式(12)給出的APF顯式計(jì)算式，雖然比式(3)～式(7)組成的隱式計(jì)算式簡(jiǎn)單，但其中CSTE和HSTE的表達(dá)式仍較復(fù)雜，還需進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

2.3.1 APF顯式計(jì)算簡(jiǎn)化的思路

簡(jiǎn)化的思路是首先將形式復(fù)雜的變量CSTE和HSTE進(jìn)行擬合，得到形式簡(jiǎn)單的CSTEfit和HSTEfit，然后將CSTEfit和HSTEfit代入APF顯式計(jì)算式，得到簡(jiǎn)單的APF計(jì)算式。

2.3.2 變量CSTE的擬合

變量CSTE的擬合步驟如下：

1)根據(jù)CSTE的自變量的形式確定CSTEfit的擬合形式。CSTE的自變量包括EERcr2/EERcrm和Pc2。CSTE與Pc2成正比，且與EERcr2/EERcrm的關(guān)系接近線(xiàn)性，如圖1所示，即CSTE/Pc2可以擬合成EERcr2/EERcrm的線(xiàn)性函數(shù)。

2)確定空調(diào)器各個(gè)自變量的變化范圍。通過(guò)調(diào)研常用機(jī)型空調(diào)器的參數(shù)，EERcr2/EERcrm的變化范圍為0.6～1.0[16]。

3)利用數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，確定公式中的擬合系數(shù)，擬合結(jié)果如式(13)所示。

(13)

圖1 CSTE/Pc2在不同自變量下的取值Fig.1 Variation of CSTE/Pc2 with EERcr/EERcm

2.3.3 變量HSTE的擬合

變量HSTE的擬合步驟如下：

1)根據(jù)HSTE自變量的形式確定HSTEfit擬合形式。HSTE的自變量包括Phr、Phm、Pdef、φhr/φcr2、φdef/φcr2。HSTE是關(guān)于變量Phr、Phm、Pdef的線(xiàn)性函數(shù)；Pdef的系數(shù)可用φhr/φcr2、φdef/φcr2的二次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合；Phr和Phm的系數(shù)可用φhr/φcr2的二次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。

2)確定空調(diào)器各個(gè)自變量的變化范圍。通過(guò)調(diào)研常用機(jī)型空調(diào)器的參數(shù)，φdef/φcr2的變化范圍為1.0～1.4，φhr/φcr2的變化范圍為1.0～1.4，Phr的變化范圍為600～1 400 W，Pdef的變化范圍為1 300～1 600 W[16]。

3)利用數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，確定公式中的擬合系數(shù)，擬合結(jié)果如式(14)所示。

2.3.4 顯式計(jì)算的APF簡(jiǎn)化公式

最后將CSTEfit和HSTEfit的計(jì)算式(13)和(14)代入式(12)，得到APF顯式計(jì)算的簡(jiǎn)化公式(15)。

(14)

(15)

2.4 APF顯式計(jì)算公式誤差分析

簡(jiǎn)化后的APF顯式計(jì)算式的誤差來(lái)源于變量CSTEfit和HSTEfit的近似擬合。

變量CSTEfit最大擬合誤差由式(16)計(jì)算。在常用空調(diào)器參數(shù)范圍內(nèi)[16]，計(jì)算出當(dāng)EERcr2/EERcrm=0.6時(shí)，CSTEfit的誤差最大，最大誤差為0.45%。

(16)

HSTEfit的最大擬合誤差由式(17)計(jì)算。在常用空調(diào)器的參數(shù)范圍內(nèi)[16]，計(jì)算可得，在φdef/φcr2=1.18，φhr/φcr2=1.31，Phr=1 323 W，Phm=461 W，Pdef=1 538 W時(shí)，誤差最大，最大誤差為0.2%。

APF顯式計(jì)算式的誤差由式(18)計(jì)算，變量CSTEfit和HSTEfit是APFfit分母的一部分，APF近似計(jì)算誤差

(17)

(18)

3 APF約束方程組的推導(dǎo)

3.1 約束方程的類(lèi)別

APF有兩類(lèi)約束方程，分別為能力約束方程和能效約束方程；能力約束方程來(lái)自國(guó)標(biāo)性能約束，能效約束方程來(lái)自幾何尺寸約束。GB/T 7725—2004規(guī)定了關(guān)于額定工況能力和半工況能力的約束關(guān)系。空調(diào)換熱器的幾何尺寸約束了空調(diào)器在5個(gè)測(cè)試工況下的能效。

為了滿(mǎn)足國(guó)標(biāo)的規(guī)定和空調(diào)器結(jié)構(gòu)參數(shù)的要求，需要將上述兩類(lèi)約束條件轉(zhuǎn)化成約束方程，作為APF目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化求解的約束條件。

3.2 能力的約束方程推導(dǎo)

能力約束方程來(lái)自國(guó)標(biāo)性能約束。GB/T 7725—2004規(guī)定，中間制冷能力是額定制冷能力的一半，如式(19)所示；中間制熱能力是額定制熱能力的一半，如式(20)所示。

φcm=0.5φcr

(19)

φhm=0.5φhr

(20)

3.3 能效的約束方程推導(dǎo)

3.3.1 理論推導(dǎo)

空調(diào)器在APF 5個(gè)測(cè)試工況下運(yùn)行時(shí)，空調(diào)換熱器的幾何尺寸是不變的，所以空調(diào)器在5個(gè)測(cè)試工況下的能效值是受到約束的。

能效約束方程就是通過(guò)換熱器的幾何尺寸約束推導(dǎo)得到的。理論循環(huán)示意圖如圖2所示，能效值可表示為室內(nèi)機(jī)進(jìn)出口的制冷劑焓差與壓縮機(jī)進(jìn)出口制冷劑焓差的比值，如式(21)所示。式中(h2-h1)/(h2s-h2)的值只與蒸發(fā)溫度Te、冷凝溫度Tc有關(guān)，且與Te和Tc的關(guān)系接近線(xiàn)性，運(yùn)用數(shù)據(jù)擬合的方法可將變量(h2-h1)/(h2s-h2)簡(jiǎn)化為T(mén)e和Tc的線(xiàn)性函數(shù)，如圖3、圖4所示。蒸發(fā)溫度或冷凝溫度可表示為室內(nèi)機(jī)的UA與換熱量的函數(shù)，如式(22)所示。其中UA主要由空氣側(cè)的熱阻決定，可近似視為定值。UA的值可通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的蒸發(fā)溫度或冷凝溫度和對(duì)應(yīng)的能力值計(jì)算，如式(23)所示。將式(22)、式(23)帶入式(21)，得到測(cè)試工況能效的約束方程，如式(24)所示。

圖2 理論循環(huán)示意圖Fig.2 Diagram of the theoretical cycle

圖3 不同蒸發(fā)溫度下變量(h2-h1)/(h2s-h2)的值Fig.3 Variation of (h2-h1)/(h2s-h2)with evaporating temperature

圖4 不同冷凝溫度下變量(h2-h1)/(h2s-h2)的值Fig.4 Variation of (h2-h1)/(h2s-h2)with condensing temperature

(21)

Tindoor=Tair,indoor-φ/UA

(22)

(23)

EER=k[a+b(Tair,indoor-

(24)

式中：k為壓縮機(jī)等熵壓縮效率；EER為理論循環(huán)的能效；h1、h2、h2s為循環(huán)各點(diǎn)的焓，kJ/kg；Te為蒸發(fā)溫度，℃；Tc為冷凝溫度，℃；a、b、c為擬合系數(shù)；Tair,indoor為室內(nèi)空氣干球溫度，℃；Tindoor為室內(nèi)機(jī)的蒸發(fā)或冷凝溫度，℃；UA為室內(nèi)機(jī)的換熱系數(shù)，kJ/K；φ為制冷量或制熱量，W；Texp為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的蒸發(fā)或冷凝溫度，℃；φexp為實(shí)驗(yàn)測(cè)得的能力值，W。

采用上述方法，可以分別得到額定制冷、中間制冷、額定制熱、中間制熱和低溫制熱5個(gè)工況能效的約束方程，分別如式(25a)～式(25e)所示。

(25)

3.3.2 誤差分析

能效約束方程的誤差由能效與蒸發(fā)溫度和冷凝溫度之間的近似擬合導(dǎo)致，由式(26)計(jì)算。對(duì)于制冷劑R410A，擬合系數(shù)a=13.121 2、b=0.189 0、c=-0.194 9，常用空調(diào)器蒸發(fā)溫度范圍為5～12 ℃，冷凝溫度范圍為40～50 ℃。根據(jù)式(26)計(jì)算可得，在蒸發(fā)溫度為12 ℃，冷凝溫度為45 ℃時(shí)誤差最大，最大誤差為0.42%。

(26)

4 多約束尋優(yōu)求解APF最大值

APF最大值采用多約束條件尋優(yōu)進(jìn)行求解。多約束條件尋優(yōu)以APF顯式公式為目標(biāo)函數(shù)，基于能力約束方程和能效約束方程，運(yùn)用遺傳算法求解最優(yōu)值。多約束條件尋優(yōu)過(guò)程如下：

1)將額定制冷、額定制熱和低溫制熱能力組合作為個(gè)體初始化種群G0。

2)根據(jù)APF約束方程計(jì)算個(gè)體特征參數(shù)。

3)利用APF目標(biāo)函數(shù)計(jì)算每個(gè)個(gè)體的APF，若個(gè)體APF增大，轉(zhuǎn)至第4步；否則選取APF最大的個(gè)體參數(shù)作為最終求解結(jié)果，迭代終止。

4)在Gn代種群中挑選出適應(yīng)度高的個(gè)體組成下一代種群Gn+1，Gn+1代種群發(fā)生遺傳變異產(chǎn)生子代Pn+1，轉(zhuǎn)至步驟2。

5)重復(fù)步驟2～4，直到產(chǎn)生APF的最大值和各個(gè)測(cè)試工況性能值。

5 案例分析

本文選擇了一款常用的變頻空調(diào)器進(jìn)行APF最大值求解?？照{(diào)器的輸入?yún)?shù)包括一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，包括額定制冷、中間制冷、額定制熱、中間制熱和低溫制熱5個(gè)工況點(diǎn)的蒸發(fā)溫度、冷凝溫度、能力和能效值，如表1所示。

表1 常用房間空調(diào)器各工況點(diǎn)測(cè)試數(shù)據(jù)Tab.1 Testing data of a commonly used room air conditioner

采用多約束尋優(yōu)方法求解APF最大值，目標(biāo)函數(shù)是APF顯式計(jì)算式，如式(15)所示；約束方程由式(19)、式(20)和式(25)給出，式中參數(shù)由表1中的數(shù)據(jù)確定；尋優(yōu)算法是遺傳算法，可以直接使用MATLAB optimtool工具箱中提供的遺傳算法。具體步驟如下：

目標(biāo)函數(shù)：APF顯式計(jì)算公式，式(15)；

約束條件：

求解工具：MATLAB optimal工具箱中遺傳算法。

APF最大值的求解結(jié)果如表2所示。通過(guò)計(jì)算結(jié)果可知，該型號(hào)變頻空調(diào)器需要適當(dāng)降低額定制冷和中間制冷工況的能力以提高能效，而額定制熱、中間制熱和低溫制熱工況需要提升能力，能效可以適當(dāng)降低。優(yōu)化后該變頻空調(diào)器的APF與原測(cè)試值相比提升了6.37%。

表2 房間空調(diào)器最大APF及各工況性能Tab.2 Maximum APF and detailed capacities and powers of air conditioner

6 結(jié)論

1)本文提出一種快速求解變頻空調(diào)器最大APF的方法。該方法首先將國(guó)標(biāo)中復(fù)雜的APF隱式定義轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的APF顯式計(jì)算式，作為優(yōu)化計(jì)算的目標(biāo)函數(shù)；根據(jù)國(guó)標(biāo)規(guī)定和空調(diào)器結(jié)構(gòu)參數(shù)的限制，得到優(yōu)化計(jì)算的約束方程；通過(guò)優(yōu)化計(jì)算得到變頻空調(diào)APF的最大值和對(duì)應(yīng)5個(gè)工況能力能效組合。

2)根據(jù)GB/T 7725—2004中APF的隱式定義式，推導(dǎo)了APF的顯式公式并進(jìn)行了簡(jiǎn)化，得到了形式簡(jiǎn)單的APF顯式公式，其計(jì)算誤差在常用空調(diào)器性能數(shù)值范圍內(nèi)<0.65%。

3)根據(jù)本文提供的最大APF求解方法，對(duì)一款常用變頻空調(diào)器的運(yùn)行工況進(jìn)行了優(yōu)化，得到的APF比原有值提升了6.37%。